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正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆的圆心为$${{O}{，}}$$若$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A O}，$$且$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{A C} |=2，$$则向量$$\overrightarrow{B A}$$在向量$$\overrightarrow{B C}$$上的投影向量为（）
A
A.$$\frac{3} {4} \overrightarrow{B C}$$
B.$${\frac{3} {2}} \overrightarrow{B C}$$
C.$$\sqrt{3} \overrightarrow{B C}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {2} \overrightarrow{B C}$$
2、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3 A C=1 2， \， \， D$$是$${{A}{C}}$$的中点，$$\overrightarrow{B D}$$在$$\overrightarrow{A C}$$方向上的投影为$${{−}{4}}$$，则向量$$\overrightarrow{B A}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为
C
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
3、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%设向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=1$$，且$$\vec{b} \perp( \vec{a}+\vec{b} )$$则向量$${{b}^{→}}$$在向量$$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$$方向上的投影为（）
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
4、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个顶点坐标分别为$$A ~ ( 1， ~ 1 ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{~-3， ~ 3 ) ~} ~， ~ C ~ ( 4， ~ 2 )$$，则向量$$\overrightarrow{A B}$$在$$\overrightarrow{A C}$$方向上的投影为（）
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
5、['向量坐标与向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率60.0%在直角$$\backslash\mathrm{D e l t a \ A B C}$$中，$$\mathrm{A B=4， ~ \ A C=2， ~ \ M ~}$$是斜边$${{B}{C}}$$的中点，则向量$$\overrightarrow{\mathrm{A M}}$$在向量$$\overrightarrow{\mathrm{B C}}$$方向上的投影是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{-}{1}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
6、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量垂直'， '投影向量（投影）'， '投影的数量']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{2}， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=1， \， \， \， ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{b}$$，则向量$${{b}^{→}}$$在$${{a}^{→}}$$方向上的正射影的数量为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
7、['向量的模'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$$a=( 2， 4 )， \， \， \， | b |=2， \， \， \， | a-2 b |=8$$，则$${{a}}$$在$${{a}{+}{b}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {5}$$
B.$$\frac{3 \sqrt2} {8}$$
C.$$\frac{5 \sqrt{5}} {7}$$
D.$$\frac{1 3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
8、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%若向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| a |=| b |=2， \， \， a$$与$${{b}}$$的夹角为$${{6}{0}{º}}$$，则$${{a}}$$在$${{a}{+}{b}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$$a x+b y+c=0$$与圆$$O_{\colon} ~ x^{2}+y^{2}=1$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$| A B |=\sqrt{3}$$，则$$\overrightarrow{O A}$$在$$\overrightarrow{O B}$$上的投影为（）
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{0}}$$
10、['投影向量（投影）'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 3， 2， 1 )$$，则向量$${{a}^{→}}$$在坐标平面$${{O}{x}{z}}$$上的投影向量是$${{(}{)}}$$
A.$$( 3， 0， 1 )$$
B.$$( 1， 0， 3 )$$
C.$$( 0， 2， 1 )$$
D.$$( 0， 2， 0 )$$
1. 解析：
由题意，$$O$$ 是 $$△ABC$$ 的外接圆圆心，故 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 2$$。
由 $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}$$，可得 $$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$，即 $$O$$ 是 $$BC$$ 的中点，因此 $$BC$$ 为直径，$$∠A = 90°$$。
由 $$|\overrightarrow{AC}| = 2$$，得 $$AC = 2$$。在直角三角形中，$$BC = 2 \times 2 = 4$$，$$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}$$。
向量 $$\overrightarrow{BA}$$ 在 $$\overrightarrow{BC}$$ 上的投影长度为 $$|\overrightarrow{BA}| \cos ∠ABC = 2\sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{3}}{4} = 3$$。
投影向量为 $$\frac{3}{4} \overrightarrow{BC}$$，故选 A。
2. 解析：
设 $$AC = x$$，则 $$AB = 12$$，$$AD = \frac{x}{2}$$。
$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$。
投影为 $$\overrightarrow{BD} \cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \left(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right) \cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{x} = -4$$。
化简得 $$-\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}x^2 = -4x$$。
由 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos θ = 12x \cos θ$$，代入得 $$-12x \cos θ + \frac{1}{2}x^2 = -4x$$。
解得 $$\cos θ = -\frac{1}{2}$$，故 $$θ = 120°$$，选 C。
3. 解析：
由 $$\vec{b} \perp (\vec{a} + \vec{b})$$，得 $$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$$，即 $$\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 0$$。
代入 $$|\vec{b}| = 1$$，得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$$。
向量 $$\vec{b}$$ 在 $$\vec{a} + 2\vec{b}$$ 方向上的投影为 $$\frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})}{|\vec{a} + 2\vec{b}|}$$。
计算分子：$$\vec{b} \cdot \vec{a} + 2|\vec{b}|^2 = -1 + 2 = 1$$。
计算分母：$$|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2} = \sqrt{4 - 4 + 4} = 2$$。
故投影为 $$\frac{1}{2}$$，选 B。
4. 解析：
$$\overrightarrow{AB} = (-3 - 1, 3 - 1) = (-4, 2)$$，$$\overrightarrow{AC} = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1)$$。
投影为 $$\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{-4 \times 3 + 2 \times 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{-10}{\sqrt{10}} = -\sqrt{10}$$，选 B。
5. 解析：
在直角三角形中，$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$$。
$$M$$ 是斜边中点，故 $$AM = \frac{BC}{2} = \sqrt{5}$$。
$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。
投影为 $$\frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})}{2\sqrt{5}} = \frac{\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2)}{2\sqrt{5}} = \frac{\frac{1}{2}(4 - 16)}{2\sqrt{5}} = -\frac{3\sqrt{5}}{5}$$，选 D。
6. 解析：
由 $$(\vec{a} - \vec{b}) \perp \vec{b}$$，得 $$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$$，即 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$$。
向量 $$\vec{b}$$ 在 $$\vec{a}$$ 方向上的正射影数量为 $$\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 D。
7. 解析：
设 $$\vec{b} = (x, y)$$，由 $$|\vec{b}| = 2$$，得 $$x^2 + y^2 = 4$$。
由 $$|\vec{a} - 2\vec{b}| = 8$$，得 $$(2 - 2x)^2 + (4 - 2y)^2 = 64$$，化简得 $$(1 - x)^2 + (2 - y)^2 = 16$$。
联立解得 $$x = -1$$，$$y = 2$$，故 $$\vec{b} = (-1, 2)$$。
$$\vec{a} + \vec{b} = (1, 6)$$，投影为 $$\frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{2 \times 1 + 4 \times 6}{\sqrt{1 + 36}} = \frac{26}{\sqrt{37}} = \frac{13\sqrt{10}}{10}$$，选 D。
8. 解析：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60° = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$$。
投影为 $$\frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}}{\sqrt{|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2}} = \frac{4 + 2}{\sqrt{4 + 4 + 4}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$，选 C。
9. 解析：
圆 $$O$$ 的半径为 $$1$$，弦长 $$|AB| = \sqrt{3}$$，故弦心距 $$d = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}$$。
设 $$∠AOB = θ$$，则 $$\cos θ = \frac{|\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 - |AB|^2}{2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$$。
投影为 $$\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|} = |\overrightarrow{OA}| \cos θ = -\frac{1}{2}$$，选 A。
10. 解析：
向量 $$\vec{a} = (3, 2, 1)$$ 在 $$Oxz$$ 平面上的投影向量为 $$(3, 0, 1)$$，选 A。