1、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的性质'， '向量的夹角'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( {\bf1}， \ \ -\sqrt{3} ) \ \， \ \ \overrightarrow{b}=\ ( {\bf0}， \ -2 )$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
2、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知若$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是夹角为$${{9}{0}^{∘}}$$的两个单位向量，则$$\overrightarrow{a}=3 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}， \; \; \overrightarrow{b}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}$$的夹角为（）
C
A.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质'， '向量的夹角']正确率40.0%已知向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=1， \ \vert\overrightarrow{b} \vert=\sqrt{3}， \ \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-\frac{3} {2}， \ \langle\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}， \ \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \rangle=3 0^{\circ}$$，则$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的最大值等于
A
A.$${{2}{\sqrt {7}}}$$
B.$${\sqrt {7}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
4、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=1， \; \; \vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=\sqrt{7}， \; \; \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} )=-4$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角是（）
A
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$\vert a \vert=2， ~ \vert b \vert=3， ~ \vert2 a+b \vert=\sqrt{3 7}$$，则$${{a}{，}{b}}$$的夹角为
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
6、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%已知单位向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$$| a-3 b |=( \textit{} {} )$$
C
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
7、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角']正确率60.0%等边$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的边长为$${{2}}$$，则$${{A}{B}^{→}}$$在$${{B}{C}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{{1}}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
8、['存在量词命题的否定'， '充分、必要条件的判定'， '向量的夹角'， '命题的真假性判断'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%下列命题正确的个数是$${{(}{)}}$$
$${①}$$命题$$\exists x_{0} \in R， x_{0}^{2}+1 > 3 x_{0} "$$的否定是$$\mathrm{` `} \forall x \in R， x^{2}+1 \leqslant3 x "$$；
$${②}$$函数$$f \left( x \right)=\operatorname{c o s}^{2} a x-\operatorname{s i n}^{2} a x$$的最小正周期为$${{π}}$$是$$\omega a=1 "$$的必要不充分条件；
$$\odot x^{2}+2 x \geq a x$$在$$x \in[ 1， 2 ]$$上恒成立$$\Leftrightarrow\left( x^{2}+2 x \right)_{\mathrm{m i n}} \geqslant\left( a x \right)_{\mathrm{m a x}}$$在$$x \in[ 1， 2 ]$$上恒成立；
$${④{“}}$$平面向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角是钝角$${{”}}$$的充分必要条件是$$\omega\to\cdot\stackrel{\rightarrow} {b} < 0^{n}$$.
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}}$$是$${{A}{B}}$$的中点，则$$\operatorname{s i n} \langle\overrightarrow{D B}_{1}， \overrightarrow{C M} \rangle$$的值等于 （）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{2 1 0}} {1 5}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\frac{\sqrt{1 1}} {1 5}$$
10、['数量积的性质'， '充分、必要条件的判定'， '向量的夹角'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为非零向量，则$$( \vec{a} \cdot\vec{b} )^{2}=\vec{a}^{2} \vec{b}^{2}$$是$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$共线的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1. 解析：
首先计算向量$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$的点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 0 + (-\sqrt{3}) \times (-2) = 2\sqrt{3}$$。
计算向量的模：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$$。
根据点积公式$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta$$，解得$$\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此$$\theta = \frac{\pi}{6}$$。
正确答案为$$\boxed{A}$$。
2. 解析：
由于$$\overrightarrow{e_1}$$和$$\overrightarrow{e_2}$$是单位向量且夹角为$$90^\circ$$，所以$$\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} = 0$$。
计算向量$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$的点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3\overrightarrow{e_1} - \overrightarrow{e_2}) \cdot (2\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}) = 6|\overrightarrow{e_1}|^2 - |\overrightarrow{e_2}|^2 = 6 - 1 = 5$$。
计算向量的模：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$。
根据点积公式，$$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，因此$$\theta = 45^\circ$$。
正确答案为$$\boxed{C}$$。
3. 解析：
根据题意，$$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$$，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{3}{2}$$。
设$$\overrightarrow{c}$$的终点在平面上，由$$\langle \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}, \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \rangle = 30^\circ$$，利用几何关系可得$$|\overrightarrow{c}|$$的最大值为$$2\sqrt{7}$$。
正确答案为$$\boxed{A}$$。
4. 解析：
由$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{7}$$，平方得$$1 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7$$。
由$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = -4$$，得$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 1 = -4$$，即$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3$$。
代入上式得$$1 + |\overrightarrow{b}|^2 - 6 = 7$$，解得$$|\overrightarrow{b}|^2 = 12$$。
根据点积公式，$$\cos \theta = \frac{-3}{1 \times \sqrt{12}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此$$\theta = \frac{5\pi}{6}$$。
正确答案为$$\boxed{A}$$。
5. 解析：
由$$|2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{37}$$，平方得$$4|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 37$$。
代入$$|\overrightarrow{a}| = 2$$，$$|\overrightarrow{b}| = 3$$，得$$16 + 9 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 37$$，解得$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$。
根据点积公式，$$\cos \theta = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$$，因此$$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
正确答案为$$\boxed{C}$$。
6. 解析：
由单位向量性质，$$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 1$$，夹角为$$120^\circ$$。
计算$$|\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}|$$的平方：$$1 + 9 - 6\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10 - 6 \times (-\frac{1}{2}) = 13$$。
因此$$|\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}| = \sqrt{13}$$。
正确答案为$$\boxed{C}$$。
7. 解析：
等边三角形边长为2，$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = 2$$。
$$\overrightarrow{AB}$$在$$\overrightarrow{BC}$$方向上的投影为$$|\overrightarrow{AB}| \cos 120^\circ = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$$。
正确答案为$$\boxed{A}$$。
8. 解析：
①命题的否定错误，应为$$\forall x \in R, x^2 + 1 \leq 3x$$，错误；
②函数$$f(x) = \cos^2(ax) - \sin^2(ax)$$的最小正周期为$$\pi$$时，$$a = \pm 1$$，是必要不充分条件，正确；
③不等式$$x^2 + 2x \geq ax$$在$$x \in [1, 2]$$上恒成立的条件错误，应为$$(x^2 + 2x - ax)_{\text{min}} \geq 0$$，错误；
④向量夹角为钝角的充要条件是$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$$且$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$不共线，错误。
正确答案为$$\boxed{A}$$。
9. 解析：
设正方体边长为1，建立坐标系计算向量$$\overrightarrow{DB_1} = (1, 1, 1)$$，$$\overrightarrow{CM} = (-\frac{1}{2}, 1, 0)$$。
点积为$$1 \times (-\frac{1}{2}) + 1 \times 1 + 1 \times 0 = \frac{1}{2}$$。
模为$$|\overrightarrow{DB_1}| = \sqrt{3}$$，$$|\overrightarrow{CM}| = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。
$$\cos \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$，因此$$\sin \theta = \frac{\sqrt{210}}{15}$$。
正确答案为$$\boxed{B}$$。
10. 解析：
$$(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2$$等价于$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$共线（平行），因此是充要条件。
正确答案为$$\boxed{C}$$。
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