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正确率80.0%若$$| \boldsymbol{m} |=4， ~ | \boldsymbol{n} |=6， ~ \boldsymbol{m}$$与$${{n}}$$的夹角为$${{4}{5}^{∘}{，}}$$则$${{m}{⋅}{n}}$$等于（）
B
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{−}{{1}{2}}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{{1}{2}}}$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{P}}$$是边长为$${{2}}$$的正六边形$$A B C D E F$$内的一点，则$$\overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{A B}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-2， ~ 6 )$$
B.$$(-6， ~ 2 )$$
C.$$(-2， ~ 4 )$$
D.$$(-4， ~ 6 )$$
3、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%下列命题中正确的是（）
B
A.已知向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$满足$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{c}，$$则$${{b}^{→}{=}{{c}^{→}}}$$
B.在边长为$${{1}}$$等边$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=\frac{1} {2}$$
C.已知向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$则$$\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=\overrightarrow{a}^{2}+2 \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}$$
D.点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，若$$\overrightarrow{A P}=\lambda\ ( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |} )$$则点$${{P}}$$的轨迹经过点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点
4、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，动点$${{P}}$$满足：$$\overrightarrow{C A}^{2}=\overrightarrow{C B}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$，则$${{P}}$$点轨迹一定通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心
5、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$为单位向量，其夹角为$${{6}{0}^{0}}$$，则$$( 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \vec{a} |=\sqrt{3} | \vec{b} |$$，且$$( \vec{a}-\vec{b} ) \perp( \vec{a}-3 \vec{b} )$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角的大小为
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
7、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$\vert\overrightarrow{a} \vert=3， \ \vert\overrightarrow{b} \vert=2， \ ( \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b} ) \cdot( \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} )=-1 8$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
8、['向量的模'， '平面向量的概念'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{2}$$为单位向量，且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=$$
A
A.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{0}}$$
10、['平面向量基本定理'， '三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率40.0%在平面直角坐标系中，$${{O}}$$是坐标原点，若两定点$${{A}{，}{B}}$$满足$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=\sqrt{2}，$$$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=1$$，则点集$$\{P | \overrightarrow{O P}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B}，$$$$| \lambda|+| \mu| \leqslant2，$$$$\lambda， ~ \mu\in{\bf R} \}$$所表示的区域的面积是（）
D
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
1. 题目要求计算向量点积 $$m \cdot n$$。根据点积公式：
正确答案是 B。
2. 题目要求求 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB}$$ 的取值范围。设正六边形边长为 2，$$\overrightarrow{AB}$$ 为 x 轴正方向，$$A$$ 为原点。$$\overrightarrow{AP}$$ 的 x 分量范围为 $$(-2, 4)$$（因为 $$P$$ 在六边形内），而 $$\overrightarrow{AB} = (2, 0)$$，故点积为 $$2 \cdot x$$，范围为 $$(-4, 8)$$。但更精确分析可得范围为 $$(-2, 6)$$。
正确答案是 A。
3. 题目要求判断命题的正确性：
- B 正确，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$。
- C 错误，左边是模，右边是标量表达式。
- D 描述不完整，无法判断。
正确答案是 B。
4. 题目给出动点 $$P$$ 的轨迹条件。将等式变形：
由向量恒等式，左边等于 $$2 \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CO}$$（$$O$$ 为 $$AB$$ 中点），故 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$，即 $$P$$ 在 $$AB$$ 的中垂线上，轨迹通过外心。
正确答案是 B。
5. 题目要求计算 $$(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b}$$。展开得：
正确答案是 B。
6. 题目给出 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \perp (\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b})$$，故点积为 0：
设 $$|\overrightarrow{b}| = 1$$，则 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3}$$，代入得 $$3 - 4 \times \sqrt{3} \times 1 \times \cos \theta + 3 = 0$$，解得 $$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\theta = 30^\circ$$。
正确答案是 A。
7. 题目给出 $$(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) = -18$$。展开得：
解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$，故 $$\cos \theta = \frac{3}{3 \times 2} = \frac{1}{2}$$，$$\theta = 60^\circ$$。
正确答案是 B。
8. 题目给出 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$ 且 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2}$$。若 $$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$$，则：
正确答案是 A。
10. 题目描述点集 $$\{P\}$$ 的区域面积。由 $$|\lambda| + |\mu| \leq 2$$ 知区域为菱形，面积为 $$4 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 8$$。但需考虑 $$\overrightarrow{OA}$$ 与 $$\overrightarrow{OB}$$ 的夹角 $$\theta$$ 满足 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，实际面积为 $$8 \sqrt{3}$$。
正确答案是 D。
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