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正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{3}{，}{A}{C}{=}{2}{，}{∠}{B}{A}{C}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{M}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，$${{N}}$$在直线$${{A}{M}}$$上，且$${{B}{N}{⊥}{A}{M}{、}}$$则向量$$\overrightarrow{B N}$$在向量$$\overrightarrow{A C}$$上的投影为（）
B
A.$$\frac{2 7} {1 9}$$
B.$$- \frac{2 7} {3 8}$$
C.$$- \frac{2 7} {1 9}$$
D.$$\frac{2 7} {3 8}$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}{=}{(}{5}{，}{−}{4}{)}{，}{b}{=}{(}{1}{，}{0}{)}{，}}$$则$${{a}}$$在$${{b}}$$上的投影向量为（）
B
A.$${{(}{4}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{5}{，}{0}{)}}$$
C.$${{(}{−}{4}{，}{0}{)}}$$
D.$${{(}{−}{5}{，}{0}{)}}$$
3、['向量的模'， '投影向量（投影）']正确率19.999999999999996%已知$${{|}{m}{|}{=}{|}{n}{|}{=}{1}{，}{p}{=}{m}{+}{x}{n}{(}{x}{∈}{R}{)}{，}}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{p}{|}{，}}$$当$$x=\frac{\sqrt{3}} {4}$$时$${，{f}{(}{x}{)}}$$取得最小值，则$${{m}}$$在$${{n}}$$上的投影向量为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {4} n$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2} n$$
C.$$- \frac{\sqrt{3}} {4} n$$
D.$$- \frac{\sqrt3} 2 n$$
4、['投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}}$$，$${{b}^{⃗}}$$满足$${{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{1}}$$，$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$，则$${{a}{⃗}{−}{2}{{b}^{⃗}}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影向量为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{{a}{⃗}}}$$
C.$${{−}{2}{{b}^{⃗}}}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%设向量$${{a}{¯}{，}{{b}^{¯}}}$$满足$${{|}{{a}{¯}}{|}{=}{2}{，}{|}{{b}^{¯}}{|}{=}{1}}$$，且$${{b}^{¯}{⊥}{(}{{a}{¯}}{+}{{b}^{¯}}{)}{，}}$$则向量$${{b}^{¯}}$$在向量$${{a}{¯}{+}{2}{{b}^{¯}}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '向量的线性运算']正确率40.0%设$$| \overrightarrow{O A} |=1， \; \; | \overrightarrow{O B} |=2， \; \; \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=0， \; \; \overrightarrow{O P}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B}$$，且$${{λ}{+}{μ}{=}{1}{，}}$$则$$\overrightarrow{O A}$$在$$\overrightarrow{O P}$$上的投影的取值范围（）
D
A.$$(-\frac{2 \sqrt{5}} {5}， ~ 1 ]$$
B.$$( {\frac{2 \sqrt{5}} {5}}， ~ 1 ]$$
C.$$( \frac{\sqrt{5}} {5}， ~ 1 ]$$
D.$$(-\frac{\sqrt{5}} {5}， ~ 1 ]$$
8、['向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '投影的数量']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角是$$\frac{2 \pi} {3}，$$且$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{4}}$$，则$${{a}{⃗}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影为（）
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
9、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$的夹角为$$1 2 0^{\circ}， ~ \left| \overrightarrow{a} \right|=2， ~ \left| \overrightarrow{b} \right|=2$$，则$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为（）
D
A.$$\frac{4} {7} \sqrt{7}$$
B.$$- \frac{4} {7} \sqrt{7}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{−}{4}}$$
10、['投影向量（投影）']正确率60.0%设$${{a}^{→}{，}{{e}^{→}}}$$均为单位向量，当$${{a}^{→}{，}{{e}^{→}}}$$的夹角为$$\frac{2 \pi} {3}$$时，$${{a}^{→}}$$在$${{e}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
1. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，首先计算$${\overrightarrow{AM}}$$和$${\overrightarrow{AC}}$$的坐标。利用余弦定理求出$${BC}$$的长度：$${BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 4 - 6 = 7}$$，所以$${BC = \sqrt{7}}$$。由于$${M}$$是中点，$${\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})}$$。设坐标系使$${A}$$为原点，$${\overrightarrow{AB} = (3, 0)}$$，$${\overrightarrow{AC} = (1, \sqrt{3})}$$，则$${\overrightarrow{AM} = (2, \frac{\sqrt{3}}{2})}$$。由$${BN \perp AM}$$，利用点积为零的条件求出$${N}$$的坐标，再计算$${\overrightarrow{BN}}$$在$${\overrightarrow{AC}}$$上的投影为$${-\frac{27}{38}}$$，故选B。
2. 向量$${a}$$在$${b}$$上的投影为$${\frac{a \cdot b}{|b|} = \frac{5 \times 1 + (-4) \times 0}{1} = 5}$$。投影向量为$${(5, 0)}$$，故选B。
3. 由$${f(x) = |p| = \sqrt{1 + x^2 + 2x \cos \theta}}$$，其中$${\theta}$$为$${m}$$与$${n}$$的夹角。当$${x = \frac{\sqrt{3}}{4}}$$时取得最小值，说明$${\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$$。$${m}$$在$${n}$$上的投影为$${|m| \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$$，投影向量为$${-\frac{\sqrt{3}}{2}n}$$，故选D。
4. 由于$${a \perp b}$$，$${a \cdot b = 0}$$。$${a - 2b}$$在$${b}$$方向上的投影为$${\frac{(a - 2b) \cdot b}{|b|} = -2}$$，投影向量为$${-2b}$$，故选C。
5. 由$${b \perp (a + b)}$$得$${b \cdot (a + b) = 0}$$，即$${a \cdot b = -1}$$。$${b}$$在$${a + 2b}$$方向上的投影为$${\frac{b \cdot (a + 2b)}{|a + 2b|} = \frac{-1 + 2}{\sqrt{4 + 4(-1) + 4}} = \frac{1}{2}}$$，故选D。
6. 由$${\lambda + \mu = 1}$$，$${\overrightarrow{OP}}$$可表示为$${\overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}}$$。$${\overrightarrow{OA}}$$在$${\overrightarrow{OP}}$$上的投影为$${\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 4\mu^2}}}$$。当$${\mu = 0}$$时投影为1，当$${\mu \neq 0}$$时，范围为$${\left( \frac{\sqrt{5}}{5}, 1 \right]}$$，故选C。
8. $${\overrightarrow{a}}$$在$${\overrightarrow{b}}$$方向上的投影为$${|\overrightarrow{a}| \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}}$$，故选A。
9. $${2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}$$在$${\overrightarrow{b}}$$方向上的投影为$${\frac{(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{2 \times (-2) - 4}{2} = -4}$$，故选D。
10. $${\overrightarrow{a}}$$在$${\overrightarrow{e}}$$方向上的投影为$${|\overrightarrow{a}| \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}}$$，故选B。
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