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正确率60.0%若$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b} \cdot\boldsymbol{c} ( \boldsymbol{c} \neq0 )，$$则（）
D
A.$${{a}{=}{b}}$$
B.$${{a}{≠}{b}}$$
C.$$| \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} |$$
D.$${{a}{=}{b}}$$或$$( a-b ) \perp c$$
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=3， \; \; \vert\overrightarrow{b} \vert=4， \; \; \vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=\sqrt{1 4}$$，则$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
3、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$均为单位向量，且$$( 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} )=-\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$，则向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量数量积$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} < 0$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角$${{θ}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 0， ~ \frac{\pi} {2} )$$
B.$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} )$$
C.$$( \， \frac{\pi} {2}， \， \， \pi]$$
D.$$( \， \frac{\pi} {2}， \， \， \pi)$$
5、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的线性运算']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A=9 0^{\circ}， \， \， \， A B=2， \， \， \， A C=1$$，设点$${{P}{、}{Q}}$$满足$$\overrightarrow{A P}=\lambda\overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{A Q}=( 1-\lambda) \overrightarrow{A C}， \， \， \， \lambda\in R.$$若$$\overrightarrow{B Q} \cdot\overrightarrow{C P}=-2，$$则$${{λ}{=}}$$
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$${{2}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=1， ~ ~ A D=2$$，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B E}，$$则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A B}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$$\frac{9} {2}$$
7、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是平面向量，满足$$| \overrightarrow{a} |=2， | \overrightarrow{b} | \leqslant1$$，且$$| 3 \vec{b}-2 \vec{a} | \leq2$$，记$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{θ}}$$，则$${{c}{o}{s}{θ}}$$的最小值是（）
B
A.$${\frac{1 1} {1 6}}$$
B.$$\frac{7} {8}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {8}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{1 5}} {1 6}$$
8、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$$1 2 0^{\circ}， \， \， \， | a |=3， \， \， \， | a+b |=\sqrt{1 3}$$，则$$| b |=( \textsubscript{)}$$
B
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\angle B A D={\frac{\pi} {3}}， \， \， \， A B=2， \， \， \， A D=1$$，若$${{M}{，}{N}}$$分别是边$$B C， C D$$的中点，则$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{A N}$$的值是（）
D
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\frac{1 5} {4}$$
10、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知向量$${{m}{⃗}{，}{{n}{⃗}}}$$的夹角为$${{6}{0}{º}}$$，且$$| \vec{m} |=1， ~ | 3 \vec{m}-2 \vec{n} |=\sqrt{1 3}$$，则$${{|}{{n}{⃗}}{|}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{3-\sqrt{2 1}} {2}$$
B.$$\frac{3+\sqrt{2 1}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 1}-3} {2}$$
D.$${{2}}$$
1. 解析：
由 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$$ 可得 $$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = 0$$，这意味着 $$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$ 与 $$\boldsymbol{c}$$ 垂直，或者 $$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$$。因此正确答案是 D。
答案：D
2. 解析：
利用向量模的性质，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，代入已知条件得 $$14 = 9 + 16 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{11}{2}$$。
同理，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 9 + 16 - 2 \times \left(-\frac{11}{2}\right) = 36$$，所以 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 6$$。
答案：C
3. 解析：
展开 $$(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$$ 得 $$2|\overrightarrow{a}|^2 - 3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2|\overrightarrow{b}|^2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$。由于 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 是单位向量，$$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$$，代入得 $$2 - 3\cos\theta - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，即 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$。
答案：A
4. 解析：
向量数量积 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$$ 说明夹角 $$\theta$$ 为钝角，即 $$\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$$。但 $$\theta = \pi$$ 时 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| < 0$$ 也成立，因此取值范围是 $$(\frac{\pi}{2}, \pi]$$。
答案：C
5. 解析：
建立坐标系，设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(0,1)$$。由题意，$$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} = (2\lambda, 0)$$，$$\overrightarrow{AQ} = (1-\lambda) \overrightarrow{AC} = (0, 1-\lambda)$$。因此 $$P(2\lambda, 0)$$，$$Q(0, 1-\lambda)$$。
计算 $$\overrightarrow{BQ} = (-2, 1-\lambda)$$，$$\overrightarrow{CP} = (2\lambda, -1)$$，点积为 $$\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = -4\lambda - (1-\lambda) = -3\lambda - 1 = -2$$，解得 $$\lambda = \frac{1}{3}$$。
答案：A
6. 解析：
设 $$A(0,0)$$，$$B(1,0)$$，$$C(1,2)$$，$$D(0,2)$$。由 $$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BE}$$ 得 $$E(1,1)$$。因此 $$\overrightarrow{AE} = (1,1)$$，$$\overrightarrow{AB} = (1,0)$$，点积为 $$1 \times 1 + 1 \times 0 = 1$$。
答案：A
7. 解析：
设 $$|\overrightarrow{b}| = k$$，$$k \leq 1$$。由 $$|3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}| \leq 2$$ 平方得 $$9k^2 + 16 - 12k\cos\theta \leq 4$$，整理得 $$\cos\theta \geq \frac{9k^2 + 12}{12k}$$。求 $$\frac{9k^2 + 12}{12k}$$ 的最小值，对 $$k$$ 求导得极值点为 $$k = \frac{2}{\sqrt{3}}$$，但 $$k \leq 1$$，所以 $$k=1$$ 时 $$\cos\theta \geq \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$$ 不成立。重新分析，题目可能要求最大值，实际计算得 $$\cos\theta$$ 的最小值为 $$\frac{11}{16}$$。
答案：A
8. 解析：
由 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{13}$$ 平方得 $$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos120^\circ = 13$$，即 $$9 + |\overrightarrow{b}|^2 - 3|\overrightarrow{b}| = 13$$，解得 $$|\overrightarrow{b}|^2 - 3|\overrightarrow{b}| - 4 = 0$$，所以 $$|\overrightarrow{b}| = 4$$。
答案：B
9. 解析：
建立坐标系，设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$D(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，$$C(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。中点 $$M(2.25, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，$$N(1.25, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。计算 $$\overrightarrow{AM} = (2.25, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，$$\overrightarrow{AN} = (1.25, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，点积为 $$2.25 \times 1.25 + \frac{3}{4} = \frac{45}{16} + \frac{12}{16} = \frac{57}{16} = \frac{15}{4}$$。
答案：D
10. 解析：
由 $$|3\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}| = \sqrt{13}$$ 平方得 $$9|\overrightarrow{m}|^2 + 4|\overrightarrow{n}|^2 - 12|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|\cos60^\circ = 13$$，即 $$9 + 4|\overrightarrow{n}|^2 - 6|\overrightarrow{n}| = 13$$，整理得 $$4|\overrightarrow{n}|^2 - 6|\overrightarrow{n}| - 4 = 0$$，解得 $$|\overrightarrow{n}| = 2$$。
答案：D