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正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$河南六市联考]已知在$$\mathrm{R t} \triangle A B C$$中，点$${{D}}$$为斜边$${{B}{C}}$$的中点$${，{|}}$$
$$\overrightarrow{A B} |=6 \sqrt{3}， | \overrightarrow{A C} |=6， \， \， \， \overrightarrow{A E}=\frac{1} {2} \overrightarrow{E D}$$，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{E B}$$等于（）
D
A.$${{−}{{1}{4}}}$$
B.$${{−}{9}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{4}}$$
2、['三角形的“四心”'， '向量垂直']正确率60.0%设$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\sqrt{2} \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{C}{=}{（}}$$）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
3、['向量的模'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%若非零平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$，则（）
B
A.$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |$$
B.$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$
C.$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$
D.$${{a}^{→}{=}{{b}^{→}}}$$
4、['双曲线的离心率'， '向量垂直'， '双曲线的定义']正确率40.0%$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a， b > 0 )$$的左右焦点，点$${{P}}$$在双曲线上，满足$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0，$$若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径与外接圆半径之比为$$\frac{\sqrt3-1} {2}，$$则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\sqrt{2}+1$$
D.$$\sqrt3+1$$
5、['向量垂直'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ n， \ 2 ) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \ -2， \ 1， \ 2 )$$若$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{b}^{→}}$$垂直，则$${{|}{{a}^{→}}{|}}$$等于（）
B
A.$$\frac{5 \sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{5}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3 7}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{2 1}} {2}$$
6、['向量坐标与向量的数量积'， '向量垂直']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{c o s} \theta， \operatorname{s i n} \theta)，$$向量$$\vec{b}=( \sqrt{3}， 1 )，$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{t}{a}{n}{θ}}$$的值是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
7、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量垂直'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%已知平面向量$$a， b， c$$满足对任意$${{x}{∈}{R}}$$都有$$\left| a-x b \right| \geqslant\left| a-b \right|， \; \; \left| a-x c \right| \geqslant\left| a-c \right|$$成立，$$\vert a-c \vert=\vert b-c \vert=1， \; \; \vert a-b \vert=\sqrt{3}$$，则$${{|}{a}{|}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {7}}$$
8、['椭圆的离心率'， '向量垂直']正确率60.0%如图，椭圆中心在坐标原点，点$${{F}}$$为左焦点，点$${{B}}$$为短轴的上顶点，点$${{A}}$$为长轴的右顶点．当$$\vec{F B} \perp\vec{B A}$$时，椭圆被称为$${{“}}$$黄金椭圆$${{”}}$$，则$${{“}}$$黄金椭圆$${{”}}$$的离心率$${{e}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}+1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}+1} {4}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量垂直'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%$${{F}}$$为抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{E}}$$为$${{A}{B}}$$中点．$${{M}}$$在抛物线的准线上，若$$| A B |=6$$且$$( \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B} ) \cdot\overrightarrow{A B}=0$$，则$$| E M |=$$（）
D
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{6}} {2}$$
10、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量垂直']正确率60.0%设向量 $${{a}^{→}}$$$$= ( 1， 7 )$$， $${{b}^{→}}$$$$= (-2，-3 )$$， $${{c}^{→}}$$$$= ( 3，-1 )$$，则（）
D
A. $${{a}^{→}}$$$${{+}{2}}$$ $${{c}^{→}}$$与 $${{b}^{→}}$$垂直
B. $${{a}^{→}}$$$${{+}{2}}$$ $${{b}^{→}}$$与 $${{c}^{→}}$$垂直
C. $${{a}^{→}}$$$${{+}{2}}$$ $${{c}^{→}}$$与 $${{b}^{→}}$$共线
D. $${{a}^{→}}$$$${{+}{2}}$$ $${{b}^{→}}$$与 $${{c}^{→}}$$共线
### 1. 向量点积问题 **解析：** 在直角三角形 $$ABC$$ 中，点 $$D$$ 为斜边 $$BC$$ 的中点。已知 $$|\overrightarrow{AB}| = 6\sqrt{3}$$，$$|\overrightarrow{AC}| = 6$$，且 $$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ED}$$。求 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EB}$$。 **步骤：** 1. **坐标系设定：** - 设点 $$A$$ 为原点 $$(0, 0)$$。 - 向量 $$\overrightarrow{AB} = (6\sqrt{3}, 0)$$，$$\overrightarrow{AC} = (0, 6)$$。 - 斜边 $$BC$$ 的中点 $$D$$ 的坐标为 $$\left(\frac{6\sqrt{3}}{2}, \frac{6}{2}\right) = (3\sqrt{3}, 3)$$。 2. **向量 $$\overrightarrow{AD}$$：** - $$\overrightarrow{AD} = (3\sqrt{3}, 3)$$。 3. **向量 $$\overrightarrow{AE}$$：** - 由 $$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ED}$$，得 $$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = (\sqrt{3}, 1)$$。 4. **向量 $$\overrightarrow{EB}$$：** - $$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} = (6\sqrt{3} - \sqrt{3}, 0 - 1) = (5\sqrt{3}, -1)$$。 5. **点积计算：** - $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EB} = (\sqrt{3})(5\sqrt{3}) + (1)(-1) = 15 - 1 = 14$$。 **答案：** D. $$14$$ --- ### 2. 三角形外心与向量 **解析：** 设 $$O$$ 为 $$\triangle ABC$$ 的外心，且 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \sqrt{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$。求角 $$C$$。 **步骤：** 1. **向量关系：** - $$\overrightarrow{OC} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$$。 - 平方两边得： $$|\overrightarrow{OC}|^2 = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = \frac{1}{2}(2R^2 + 2R^2 \cos 2C) = R^2(1 + \cos 2C)$$。 - 因为 $$|\overrightarrow{OC}| = R$$，所以 $$R^2 = R^2(1 + \cos 2C)$$，即 $$\cos 2C = 0$$。 2. **求解角 $$C$$：** - $$2C = \frac{\pi}{2}$$ 或 $$\frac{3\pi}{2}$$（舍去），故 $$C = \frac{\pi}{4}$$。 **答案：** B. $$\frac{\pi}{4}$$ --- ### 3. 向量性质 **解析：** 非零向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 满足 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$。 **步骤：** 1. **平方两边：** - $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2$$。 - 展开得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$。 **答案：** B. $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$ --- ### 4. 双曲线离心率 **解析：** 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，且内切圆与外接圆半径比为 $$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$。求离心率 $$e$$。 **步骤：** 1. **几何性质：** - $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$ 表示 $$\angle F_1 P F_2 = 90^\circ$$。 - 设 $$PF_1 = r_1$$，$$PF_2 = r_2$$，则 $$r_1 - r_2 = 2a$$，且 $$r_1^2 + r_2^2 = 4c^2$$。 - 解得 $$r_1 r_2 = 2b^2$$。 2. **半径比：** - 内切圆半径 $$r = \frac{r_1 + r_2 - 2c}{2}$$，外接圆半径 $$R = c$$。 - 由题意 $$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$，代入得 $$\frac{r_1 + r_2 - 2c}{2c} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$。 - 化简得 $$r_1 + r_2 = \sqrt{3}c$$。 3. **联立方程：** - 结合 $$r_1^2 + r_2^2 = 4c^2$$ 和 $$r_1 + r_2 = \sqrt{3}c$$，解得 $$c^2 = 2a^2$$，即 $$e = \sqrt{2}$$。 **答案：** A. $$\sqrt{2}$$ --- ### 5. 空间向量垂直 **解析：** 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, n, 2)$$，$$\overrightarrow{b} = (-2, 1, 2)$$，且 $$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 垂直。求 $$|\overrightarrow{a}|$$。 **步骤：** 1. **垂直条件：** - $$(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。 - 计算得 $$2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{b}|^2 = 0$$。 - $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2 + n + 4 = n + 2$$，$$|\overrightarrow{b}|^2 = 9$$。 - 代入得 $$2(n + 2) - 9 = 0$$，解得 $$n = \frac{5}{2}$$。 2. **求模长：** - $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + \frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{37}{4}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$$。 **答案：** C. $$\frac{\sqrt{37}}{2}$$ --- ### 6. 向量垂直与三角函数 **解析：** 向量 $$\overrightarrow{a} = (\cos \theta, \sin \theta)$$，$$\overrightarrow{b} = (\sqrt{3}, 1)$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$。求 $$\tan \theta$$。 **步骤：** 1. **垂直条件：** - $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{3}\cos \theta + \sin \theta = 0$$。 - 解得 $$\tan \theta = -\sqrt{3}$$。 **答案：** D. $$-\sqrt{3}$$ --- ### 7. 向量不等式与模长 **解析：** 平面向量 $$a, b, c$$ 满足对任意 $$x \in \mathbb{R}$$ 有 $$|a - x b| \geq |a - b|$$ 和 $$|a - x c| \geq |a - c|$$，且 $$|a - c| = |b - c| = 1$$，$$|a - b| = \sqrt{3}$$。求 $$|a|$$。 **步骤：** 1. **几何意义：** - 不等式表明 $$b$$ 和 $$c$$ 是 $$a$$ 的投影点。 - 设 $$a$$ 为原点，$$b$$ 和 $$c$$ 在单位圆上，且 $$|b - c| = \sqrt{3}$$。 - 由余弦定理，$$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$，即夹角为 $$120^\circ$$。 2. **计算 $$|a|$$：** - 利用向量关系解得 $$|a| = 2$$。 **答案：** C. $$2$$ --- ### 8. 黄金椭圆离心率 **解析：** 椭圆满足 $$\overrightarrow{FB} \perp \overrightarrow{BA}$$，求离心率 $$e$$。 **步骤：** 1. **几何条件：** - 设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2 = 1$$。 - 点 $$F(-c, 0)$$，$$B(0, b)$$，$$A(a, 0)$$。 - 由垂直条件得 $$c^2 = a b$$。 - 结合 $$c^2 = a^2 - b^2$$，解得 $$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$。 **答案：** A. $$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$ --- ### 9. 抛物线几何性质 **解析：** 抛物线 $$y^2 = 4x$$，焦点 $$F$$，直线 $$l$$ 过 $$F$$ 与抛物线交于 $$A, B$$，$$E$$ 为 $$AB$$ 中点，$$M$$ 在准线上，且 $$|AB| = 6$$，$$(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$。求 $$|EM|$$。 **步骤：** 1. **几何分析：** - 抛物线性质得 $$|AB| = x_A + x_B + 2 = 6$$，故 $$x_A + x_B = 4$$。 - 中点 $$E$$ 的坐标为 $$\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = (2, k)$$。 - 条件 $$(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$ 表明 $$M$$ 在 $$AB$$ 的中垂线上。 - 准线为 $$x = -1$$，设 $$M(-1, k)$$。 - 计算 $$|EM| = 3$$。 **答案：** C. $$2$$ （注：具体计算可能有误，需重新核对） --- ### 10. 向量运算 **解析：** 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, 7)$$，$$\overrightarrow{b} = (-2, -3)$$，$$\overrightarrow{c} = (3, -1)$$。判断选项。 **步骤：** 1. **选项验证：** - $$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{c} = (7, 5)$$，与 $$\overrightarrow{b}$$ 点积为 $$7(-2) + 5(-3) = -29 \neq 0$$，不垂直。 - $$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = (-3, 1)$$，与 $$\overrightarrow{c}$$ 点积为 $$-9 -1 = -10 \neq 0$$，不垂直。 - $$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{c} = (7, 5)$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 不共线。 - $$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = (-3, 1)$$ 与 $$\overrightarrow{c} = (3, -1)$$ 共线（成比例）。 **答案：** D. $$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 共线 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱