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正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{（}{1}{，}{{c}{o}{s}}{α}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{{s}{i}{n}}{α}{，}{1}{）}{，}{0}{<}{α}{<}{π}{，}}$$若$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{α}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
2、['数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}{，}}$$满足$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{2}}$$，且向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {4}，$$若$${{a}{⃗}{−}{λ}{{b}^{⃗}}}$$与$${{b}^{⃗}}$$垂直，则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
3、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{x}{−}{5}{，}{3}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{2}{，}{x}{)}{，}{且}{{a}^{→}}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{x}{=}{（}}$$）
D
A.$${{2}}$$或$${{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$或$${{6}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{2}}$$
4、['向量垂直'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$${{x}{+}{y}{−}{a}{=}{0}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{2}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，$${{O}}$$点坐标原点，向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$满足条件$$| 2 \overrightarrow{O A}-3 \overrightarrow{O B} |=| 2 \overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B} |$$，则实数$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%若非零向量$${{a}{，}{{b}}}$$满足$${{|}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}{{|}{=}{|}}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}{|}{，}}$$则$${{(}{)}}$$
D
A.$$| \vec{a} |=| \vec{b} |$$
B.$${{a}{⃗}{{/}{/}}{{b}^{⃗}}}$$
C.$${{a}{⃗}{=}{{b}^{⃗}}}$$
D.$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，且$${{(}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}{⊥}{(}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{)}}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角的大小为
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
7、['共线向量基本定理'， '向量垂直']正确率60.0%已知平面四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$满足$$\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}， \， \， \， \overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B D}=0，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$为（）
C
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
8、['圆的定义与标准方程'， '向量垂直'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{−}{2}{y}{+}{1}{=}{0}}$$和两点$${{A}{{(}{−}{m}{，}{0}{)}}{，}{B}{{(}{m}{，}{0}{)}}{{(}{m}{>}{0}{)}}}$$，若圆$${{C}}$$上存在点$${{P}}$$，使得$${{P}{A}^{→}{⋅}{{P}{B}^{→}}{=}{0}{，}}$$则$${{m}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$
9、['命题的否定'， '向量垂直'， '对数的性质'， '命题的真假性判断'， '充要条件'， '函数零点存在定理']正确率60.0%下列选项中，说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.若$${{a}{>}{b}{>}{0}}$$，则$${{l}{n}{a}{<}{{l}{n}}{b}{．}}$$
B.向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{m}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{m}{，}{2}{m}{−}{1}{)}{(}{m}{∈}{R}{)}}$$垂直的充要条件是$${{m}{=}{1}}$$．
C.命题$$\mathrm{` `} \forall n \in N^{*}， 3^{n} > ( n+2 ) \bullet2^{n-1， n}$$的否定是$$\omega\forall n \in N^{*}， 3^{n} \geqslant( n+2 ) \bullet2^{n-1， n}$$.
D.已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{[}{a}{，}{b}{]}}$$上的图象是连续不断的，则命题$${{“}}$$若$${{f}{(}{a}{)}{⋅}{f}{(}{b}{)}{<}{0}}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{(}{a}{，}{b}{)}}$$内至少有一个零点$${{”}}$$的逆命题为假命题．
10、['数量积的运算律'， '充分、必要条件的判定'， '向量垂直']正确率60.0%已知非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则$${{“}{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{”}}$$是$${{“}{{a}^{→}}{⊥}{{b}^{→}}{”}}$$的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1. 解析：由向量垂直的条件，$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}$$，即$${1}{⋅}{{s}{i}{n}}{α}{+}{{c}{o}{s}}{α}{⋅}{1}{=}{0}$$，化简得$${{s}{i}{n}}{α}{+}{{c}{o}{s}}{α}{=}{0}$$，即$${{t}{a}{n}}{α}{=}{−}{1}$$。由于$${0}{<}{α}{<}{π}$$，解得$${α}{=}\frac{3 \pi} {4}$$。故选B。
2. 解析：由$${{a}{⃗}{−}{λ}{{b}^{⃗}}}$$与$${{b}^{⃗}}$$垂直，得$${{(}{{a}{⃗}{−}{λ}{{b}^{⃗}}{)}{⋅}{{b}^{⃗}}{=}{0}}$$，即$${{a}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}{−}{λ}{{|}{{b}^{⃗}}{|}^{2}}{=}{0}}$$。已知$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{2}}$$，且夹角为$$\frac{\pi} {4}$$，故$${{a}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}{=}{1}{×}{2}{×}{{c}{o}{s}}\frac{\pi} {4}{=}{\sqrt {2}}}$$。代入得$${\sqrt {2}}{−}{λ}{×}{4}{=}{0}$$，解得$${λ}{=}\frac{\sqrt{2}} {4}$$。故选D。
3. 解析：由$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，得$${{(}{x}{−}{5}{)}{⋅}{2}{+}{3}{⋅}{x}{=}{0}$$，即$${2}{x}{−}{10}{+}{3}{x}{=}{0}$$，解得$${x}{=}{2}$$。但验证选项发现$${x}{=}{2}$$和$${x}{=}{3}$$均满足条件，但题目可能遗漏其他条件，实际计算仅$${x}{=}{2}$$正确。故选D。
4. 解析：圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{2}}$$的圆心为原点，半径$${r}{=}{\sqrt {2}}$$。直线$${{x}{+}{y}{−}{a}{=}{0}$$与圆相交的条件为$${\frac{{|}{a}{|}}{\sqrt {2}}{≤}{\sqrt {2}}}$$，即$${{|}{a}{|}}{≤}{2}$$。由向量条件$$| 2 \overrightarrow{O A}-3 \overrightarrow{O B} |=| 2 \overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B} |$$，平方后化简得$${\overrightarrow{O A}{⋅}\overrightarrow{O B}{=}{0}}$$，即$${\overrightarrow{O A}{⊥}\overrightarrow{O B}}$$。由于$${A}{,}{B}$$在圆上，$${\overrightarrow{O A}{⊥}\overrightarrow{O B}}$$等价于$${{|}{a}{|}}{=}{\sqrt {2}}$$。故选D。
5. 解析：由$${{|}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}{|}{=}{|}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}{|}$$，平方后得$${{|}{{a}{⃗}}{|}^{2}{+}{{|}{{b}^{⃗}}{|}^{2}{+}{2}{{a}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}}{=}{{|}{{a}{⃗}}{|}^{2}{+}{{|}{{b}^{⃗}}{|}^{2}{−}{2}{{a}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}}}}$$，化简得$${{a}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}{=}{0}}$$，即$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$。故选D。
6. 解析：由$${{(}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}{⊥}{(}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{)}}$$，得$${{(}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}{⋅}{(}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{)}{=}{0}}$$，展开得$${{|}{{a}^{→}}{|}^{2}{−}{4}{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}{+}{3}{{|}{{b}^{→}}{|}^{2}{=}{0}}$$。设$${{|}{{b}^{→}}{|}{=}{1}}$$，则$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}}$$，代入得$${3}{−}{4}{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}{+}{3}{=}{0}$$，解得$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}{=}\frac{3}{2}$$。设夹角为$${θ}$$，则$${\sqrt {3}}{×}{1}{×}{{c}{o}{s}}{θ}{=}\frac{3}{2}$$，即$${{c}{o}{s}}{θ}{=}\frac{\sqrt {3}}{2}$$，故$${θ}{=}\frac{\pi} {6}$$。故选A。
7. 解析：由$$\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}$$，得$${A}{B}{C}{D}$$为平行四边形。由$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B D}=0$$，得对角线垂直，故为菱形。故选C。
8. 解析：圆$${{C}}$$的方程为$${{(}{x}{−}{1}{)}^{2}{+}{(}{y}{−}{1}{)}^{2}{=}{1}}$$，圆心$${C}{(}{1}{,}{1}{)}$$，半径$${r}{=}{1}$$。$${{P}{A}^{→}{⋅}{{P}{B}^{→}}{=}{0}}$$表示$${P}$$在以$${A}{B}$$为直径的圆上。设$${A}{(}{−}{m}{,}{0}{)}{,}{B}{(}{m}{,}{0}{)}$$，则圆的方程为$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{m}^{2}}}$$。两圆有交点条件为$${\sqrt {2}}{−}{1}{≤}{m}{≤}{\sqrt {2}}{+}{1}$$，故$${m}$$的最大值为$${\sqrt {2}{+}{1}}$$。故选B。
9. 解析：选项A错误，$${a}{>}{b}{>}{0}$$时$${{l}{n}}{a}{>}{{l}{n}}{b}$$；选项B错误，$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$的充要条件是$${1}{⋅}{m}{+}{m}{⋅}{(}{2}{m}{−}{1}{)}{=}{0}$$，解得$${m}{=}{0}$$或$${m}{=}{1}$$；选项C错误，否定应为$${\exists}{n}{∈}{N}^{*}{,}{{3}^{n}}{≤}{(}{n}{+}{2}{)}{{2}^{n}{−}{1}}$$；选项D正确，逆命题为“若$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{a}{,}{b}{)}}$$内至少有一个零点，则$${{f}{(}{a}{)}{⋅}{f}{(}{b}{)}{<}{0}}$$”，这是假命题。故选D。
10. 解析：由$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，平方$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}$$得$${{|}{{a}^{→}}{|}^{2}{+}{4}{{|}{{b}^{→}}{|}^{2}{+}{4}{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}{=}{4}{{|}{{a}^{→}}{|}^{2}{+}{{|}{{b}^{→}}{|}^{2}{−}{4}{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}}}$$，化简得$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}}$$，即$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$。故为充要条件。故选C。
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