1、['向量的数量积'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角']正确率40.0%若$${{{e}_{1}}^{→}}$$，$${{{e}_{2}}^{→}}$$是两个单位向量，且$${{{e}_{1}}^{→}}$$在$${{{e}_{2}}^{→}}$$上的投影向量为$$\frac{1} {3} \overrightarrow{e_{2}}$$，则$${{a}^{→}{=}{{{e}_{1}}^{→}}{−}{3}{{{e}_{2}}^{→}}}$$与$${{b}^{→}{=}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{3}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角的余弦值为$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac1 {1 2}$$
B.$$None$$
C.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
2、['数量积的性质'， '向量的夹角']正确率40.0%若向量$${{i}^{→}{，}{{j}^{→}}}$$为互相垂直的单位向量，$${{a}^{→}{=}{{i}^{→}}{−}{2}{{j}^{→}}{，}{{b}^{→}}{=}{{i}^{→}}{+}{m}{{j}^{→}}}$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为锐角，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( \frac1 2，+\infty\right)$$
B.$$(-\infty，-2 ) \cup\left(-2， \frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left(-2， \frac{2} {3} \right) \cup\left( \frac{2} {3}，+\infty\right)$$
D.$$\left(-\infty， \frac{1} {2} \right)$$
3、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{t}{)}{，}{b}{=}{(}{−}{1}{，}{3}{)}{，}}$$若$${{a}{，}{b}}$$的夹角为钝角，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
C
A.$$t < \frac{2} {3}$$
B.$$t > \frac{2} {3}$$
C.$$t < \frac{2} {3}$$且$${{t}{≠}{−}{6}}$$
D.$${{t}{<}{−}{6}}$$
4、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知两个非零向量$${{a}{，}{b}}$$满足$${{a}{⋅}{(}{a}{−}{b}{)}{=}{0}}$$，且$${{2}{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}}$$，则向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
5、['双曲线的离心率'， '向量坐标与向量的数量积'， '直线与双曲线的综合应用'， '向量的夹角'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$${{C}}$$的中心在坐标原点$${{O}}$$，右顶点$${{A}_{2}}$$，虚轴的上端点$${{B}_{2}}$$，虚轴下端点$${{B}_{1}}$$，左右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，直线$${{B}_{1}{{F}_{2}}}$$与直线$${{A}_{2}{{B}_{2}}}$$交于$${{P}}$$点，若$${{∠}{{B}_{2}}{P}{{F}_{2}}}$$为锐角，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( \frac{-1+\sqrt{5}} {2}，+\infty)$$
B.$$( 1， \frac{1+\sqrt{5}} {2} )$$
C.$$( \frac{1+\sqrt{5}} {2}，+\infty)$$
D.$$( \frac{3+\sqrt{5}} {2}，+\infty)$$
6、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{3}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，且$${{a}^{→}{⊥}{(}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}{，}}$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角是（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
7、['余弦定理及其应用'， '向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}}$$与$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}{，}{|}{{a}^{→}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}}$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${{0}}$$
C.$$0_{\bar{x}}-{\frac{3} {2}}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
8、['数量积的性质'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{\sqrt {3}}}$$，且$${{|}{{a}{⃗}}{+}{2}{{b}^{⃗}}{|}{=}{\sqrt {7}}}$$，则向量$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}{5}{0}{^{∘}}}$$
B.$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$
C.$${{6}{0}{^{∘}}}$$
D.$${{3}{0}{^{∘}}}$$
9、['向量的夹角'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是$${{a}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{1}{)}}$$，那么这条斜线与平面所成的角的余弦是（）
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
10、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%已知单位向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{+}{3}{{b}^{→}}{{|}{=}}{\sqrt {{1}{3}}}}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
1. 解析：
根据题意，$$ \overrightarrow{e_1} $$ 在 $$ \overrightarrow{e_2} $$ 上的投影为 $$ \frac{1}{3} \overrightarrow{e_2} $$，因此 $$ \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} = \frac{1}{3} $$。
计算 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{e_1} - 3\overrightarrow{e_2}) \cdot (\overrightarrow{e_1} + 3\overrightarrow{e_2}) = |\overrightarrow{e_1}|^2 - 9|\overrightarrow{e_2}|^2 = 1 - 9 = -8 $$。
计算 $$ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{|\overrightarrow{e_1}|^2 + 9|\overrightarrow{e_2}|^2 - 6\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}} = \sqrt{1 + 9 - 2} = \sqrt{8} $$。
计算 $$ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{e_1}|^2 + 9|\overrightarrow{e_2}|^2 + 6\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}} = \sqrt{1 + 9 + 2} = \sqrt{12} $$。
夹角的余弦值为 $$ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-8}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{12}} = -\frac{8}{4\sqrt{6}} = -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} $$。
正确答案是 $$ C $$。
2. 解析：
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}) \cdot (\overrightarrow{i} + m\overrightarrow{j}) = 1 - 2m $$。
$$ \overrightarrow{a} $$ 与 $$ \overrightarrow{b} $$ 的夹角为锐角，需满足 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0 $$ 且 $$ \overrightarrow{a} $$ 与 $$ \overrightarrow{b} $$ 不共线。
因此 $$ 1 - 2m > 0 $$ 且 $$ m \neq -2 $$，解得 $$ m < \frac{1}{2} $$ 且 $$ m \neq -2 $$。
正确答案是 $$ B $$。
3. 解析：
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(-1) + (t)(3) = -2 + 3t < 0 $$，解得 $$ t < \frac{2}{3} $$。
同时需排除 $$ \overrightarrow{a} $$ 与 $$ \overrightarrow{b} $$ 反向共线的情况，即 $$ \frac{2}{-1} = \frac{t}{3} $$，解得 $$ t = -6 $$。
因此 $$ t < \frac{2}{3} $$ 且 $$ t \neq -6 $$。
正确答案是 $$ C $$。
4. 解析：
由 $$ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0 $$ 得 $$ |\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 $$，即 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|^2 $$。
又 $$ 2|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| $$，设夹角为 $$ \theta $$，则 $$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{|\overrightarrow{a}|^2}{|\overrightarrow{a}| \cdot 2|\overrightarrow{a}|} = \frac{1}{2} $$。
因此 $$ \theta = 60^\circ $$。
正确答案是 $$ B $$。
5. 解析：
设双曲线方程为 $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$，则 $$ A_2(a, 0) $$，$$ B_1(0, -b) $$，$$ B_2(0, b) $$，$$ F_2(c, 0) $$。
直线 $$ B_1F_2 $$ 的斜率为 $$ \frac{b}{c} $$，方程为 $$ y = \frac{b}{c}x - b $$。
直线 $$ A_2B_2 $$ 的斜率为 $$ -\frac{b}{a} $$，方程为 $$ y = -\frac{b}{a}x + b $$。
联立解得 $$ P\left(\frac{2ac}{a + c}, \frac{b(c - a)}{a + c}\right) $$。
向量 $$ \overrightarrow{B_2P} = \left(\frac{2ac}{a + c}, \frac{b(c - a)}{a + c} - b\right) $$，$$ \overrightarrow{F_2P} = \left(\frac{2ac}{a + c} - c, \frac{b(c - a)}{a + c}\right) $$。
$$ \angle B_2PF_2 $$ 为锐角，则 $$ \overrightarrow{B_2P} \cdot \overrightarrow{F_2P} > 0 $$，化简得 $$ c^2 - a^2 - ac > 0 $$，即 $$ e^2 - e - 1 > 0 $$。
解得 $$ e > \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$。
正确答案是 $$ C $$。
6. 解析：
由 $$ \overrightarrow{a} \perp (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) $$ 得 $$ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0 $$，即 $$ |\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 $$。
因此 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 9 $$。
设夹角为 $$ \theta $$，则 $$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{9}{3 \times 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
因此 $$ \theta = 30^\circ $$ 即 $$ \frac{\pi}{6} $$。
正确答案是 $$ A $$。
7. 解析：
设 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x $$，由题意 $$ \cos 60^\circ = \frac{\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|} = \frac{1 + x}{1 \times \sqrt{1 + 3 + 2x}} = \frac{1}{2} $$。
解得 $$ \frac{1 + x}{\sqrt{4 + 2x}} = \frac{1}{2} $$，平方后得 $$ 4(1 + x)^2 = 4 + 2x $$，化简得 $$ 4x^2 + 6x = 0 $$。
解得 $$ x = 0 $$ 或 $$ x = -\frac{3}{2} $$，但 $$ x = -\frac{3}{2} $$ 不满足原方程。
因此 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 $$。
正确答案是 $$ B $$。
8. 解析：
由 $$ |\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{7} $$ 得 $$ |\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7 $$。
代入已知得 $$ 1 + 12 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7 $$，解得 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{3}{2} $$。
设夹角为 $$ \theta $$，则 $$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 \times \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$。
因此 $$ \theta = 150^\circ $$。
正确答案是 $$ A $$。
9. 解析：
斜线与平面的夹角 $$ \theta $$ 满足 $$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$。
因此斜线与平面所成的角的余弦为 $$ \frac{1}{2} $$。
正确答案是 $$ C $$。
10. 解析：
由 $$ |\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}| = \sqrt{13} $$ 得 $$ |\overrightarrow{a}|^2 + 9|\overrightarrow{b}|^2 + 6\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 13 $$。
代入单位向量得 $$ 1 + 9 + 6\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 13 $$，解得 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} $$。
设夹角为 $$ \theta $$，则 $$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{1}{2} $$。
因此 $$ \theta = 60^\circ $$ 即 $$ \frac{\pi}{3} $$。
正确答案是 $$ B $$。
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