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正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=2$$，$$| \overrightarrow{b} |=1$$，$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )=5$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
3、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}}$$的等边三角形，$${{E}}$$是$${{A}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{B E} \cdot\overrightarrow{B C}=( \textsubscript{} )$$
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
4、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值'， '两个向量数量积的几何意义']正确率40.0%已知圆$${{O}}$$的方程为$$x^{2}+y^{2}=1$$，过第一象限内的点$$P ~ ( \textit{a}， \ b )$$作圆$${{O}}$$的两条切线$$P A， ~ P B$$，切点分别为$${{A}{，}{B}}$$，若$$\overrightarrow{P O} \cdot\overrightarrow{P A}=8，$$则$${{a}{+}{b}}$$的最大值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{6}}$$
5、['二次函数模型的应用'， '向量的模'， '平面向量基本定理'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在平面直角坐标系中，$${{O}}$$是坐标原点，两定点$${{A}{，}{B}}$$满足$$\overrightarrow{| O A |}=\overrightarrow{| O B |}=\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=2$$，若$$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+m \overrightarrow{O B}， \: \: m \in R，$$则$$| \overrightarrow{O P} |$$的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%若等边三角形$${{A}{B}{C}}$$的边长为$${{4}{，}{E}}$$是中线$${{B}{D}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{E C}=\alpha$$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
7、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%若两个非零向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| a |=1， ~ | b |=2， ~ | 2 a+b |=2 \sqrt{3}$$，则$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
8、['投影向量（投影）'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{\mathrm{a}} |={\bf2}，$$向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$上的投影为$${\sqrt {3}{，}}$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为
B
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {2}} \\ \end{array}$$
9、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%若两个非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{b} |=2 | \overrightarrow{a} |=2， \; | \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b} |=3$$，则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角是（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$${{π}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '向量的数量积的定义'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%设点$${{A}{，}{B}}$$分别为双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点，点$${{M}{，}{N}}$$分别在双曲线$${{C}}$$的左、右支上，若$$\overrightarrow{M N}=5 \overrightarrow{A M}， \overrightarrow{M B}^{2}=\overrightarrow{M N} \cdot\overrightarrow{M B}$$，且$$| \overrightarrow{M B} | < | \overrightarrow{N B} |$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{6 5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{8 5}} {5}$$
C.$$\frac{1 3} {5}$$
D.$$\frac{1 7} {7}$$
2. 解析：
已知 $$|\overrightarrow{a}|=2$$，$$|\overrightarrow{b}|=1$$，$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=5$$。
展开点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5$$。
解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{2}$$。
答案为 A。
3. 解析：
等边三角形 $$ABC$$ 边长为 2，$$E$$ 为 $$AC$$ 中点。
建立坐标系，设 $$B(0, 0)$$，$$C(2, 0)$$，$$A(1, \sqrt{3})$$，则 $$E(1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。
向量 $$\overrightarrow{BE} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，$$\overrightarrow{BC} = (2, 0)$$。
点积 $$\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BC} = 1.5 \times 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0 = 3$$。
答案为 B。
4. 解析：
圆 $$O: x^2 + y^2 = 1$$，点 $$P(a, b)$$ 在第一象限。
由切线性质，$$\overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{PA} = |\overrightarrow{PA}|^2 = 8$$，故 $$|\overrightarrow{PA}| = 2\sqrt{2}$$。
由切线长公式，$$|\overrightarrow{PA}| = \sqrt{a^2 + b^2 - 1} = 2\sqrt{2}$$，即 $$a^2 + b^2 = 9$$。
求 $$a + b$$ 的最大值：由不等式 $$(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) = 18$$，得 $$a + b \leq 3\sqrt{2}$$。
答案为 B。
5. 解析：
设 $$\overrightarrow{OA}$$ 和 $$\overrightarrow{OB}$$ 夹角为 $$\theta$$，由 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 2$$ 且 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$$，得 $$\cos \theta = \frac{2}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}$$，则 $$|\overrightarrow{OP}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + m^2 |\overrightarrow{OB}|^2 + 2m \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 4 + 4m^2 + 4m$$。
求最小值：$$4m^2 + 4m + 4$$ 在 $$m = -\frac{1}{2}$$ 时取最小值 3，故 $$|\overrightarrow{OP}|_{\text{min}} = \sqrt{3}$$。
答案为 B。
6. 解析：
等边三角形 $$ABC$$ 边长为 4，建立坐标系，设 $$A(0, 0)$$，$$B(4, 0)$$，$$C(2, 2\sqrt{3})$$。
$$D$$ 为 $$AC$$ 中点，坐标为 $$(1, \sqrt{3})$$，$$E$$ 为 $$BD$$ 中点，坐标为 $$(2.5, \sqrt{3}/2)$$。
向量 $$\overrightarrow{AE} = (2.5, \sqrt{3}/2)$$，$$\overrightarrow{EC} = (-0.5, 3\sqrt{3}/2)$$。
点积 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} = 2.5 \times (-0.5) + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = -1.25 + \frac{9}{4} = 1$$。
答案为 A。
7. 解析：
已知 $$|a| = 1$$，$$|b| = 2$$，$$|2a + b| = 2\sqrt{3}$$。
展开模长：$$|2a + b|^2 = 4|a|^2 + |b|^2 + 4a \cdot b = 4 + 4 + 4a \cdot b = 12$$。
解得 $$a \cdot b = 1$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
答案为 C。
8. 解析：
已知 $$|\overrightarrow{a}| = 2$$，向量 $$\overrightarrow{a}$$ 在 $$\overrightarrow{b}$$ 上的投影为 $$\sqrt{3}$$。
投影公式：$$\text{投影} = |\overrightarrow{a}| \cos \theta = 2 \cos \theta = \sqrt{3}$$，故 $$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
夹角 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$。
答案为 B。
9. 解析：
已知 $$|\overrightarrow{b}| = 2|\overrightarrow{a}| = 2$$，即 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}| = 3$$。
展开模长：$$|\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 + 16 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 9$$。
解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{-2}{1 \times 2} = -1$$，故 $$\theta = \pi$$。
答案为 D。
10. 解析：
设双曲线焦距为 $$2c$$，$$A(-c, 0)$$，$$B(c, 0)$$。
由 $$\overrightarrow{MN} = 5\overrightarrow{AM}$$，得 $$N = M + 5(M - A) = 6M - 5A$$。
由 $$\overrightarrow{MB}^2 = \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MB}$$，得 $$|\overrightarrow{MB}|^2 = \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MB}$$，即 $$\overrightarrow{MB} \cdot (\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MB}) = 0$$。
化简得 $$\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BN} = 0$$，即 $$MB \perp BN$$。
结合双曲线性质及几何关系，可推导出离心率 $$e = \frac{\sqrt{85}}{5}$$。
答案为 B。