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正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$${{a}{⋅}{b}{=}{{1}{0}}{，}}$$且$${{b}{=}{(}{6}{，}{−}{8}{)}{，}}$$则向量$${{a}}$$在向量$${{b}}$$上的投影向量为（）
D
A.$${{(}{−}{6}{，}{8}{)}}$$
B.$${{(}{6}{，}{−}{8}{)}}$$
C.$$\left(-\frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)$$
D.$$\left( \frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
2、['向量减法的定义及运算法则'， '投影向量（投影）'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$${{|}{a}{|}{=}{1}{，}{a}{⊥}{b}{，}}$$则向量$${{a}{−}{2}{b}}$$在向量$${{a}}$$上的投影向量为（）
A
A.$${{a}}$$
B.$$\frac{\sqrt{7}} {7} a$$
C.$${{−}{a}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{7}} {7} a$$
3、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {2}}}$$，且$${{a}^{→}{⊥}{(}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}{，}}$$则向量$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的正射影的数量为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
4、['向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$满足$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{|}{2}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}{|}{=}{2}}$$，则$${{a}{⃗}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上投影的最大值是（）
D
A.$${\sqrt {6}}$$
B.$${{−}{\sqrt {6}}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
5、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}{，}}$$向量$${{b}^{→}{=}{(}{\sqrt {3}}{，}{x}{)}{，}}$$若向量$${{b}^{→}}$$在向量$${{a}^{→}}$$方向上的投影为$${{−}{\sqrt {3}}}$$，则实数$${{x}}$$等于（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{3}}$$
6、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率40.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}{，}}$$满足$$\frac{\overrightarrow{a}} {| \overrightarrow{a} |}+\frac{\overrightarrow{b}} {| \overrightarrow{b} |}=\frac{\overrightarrow{c}} {| \overrightarrow{c} |}，$$且$${{|}{{a}^{→}}{|}{+}{|}{{b}^{→}}{|}{+}{|}{{c}^{→}}{|}{=}{4}}$$，则$${{c}^{→}{⋅}{(}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{）}}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{2}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{3}{，}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{=}{−}{6}}$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{2}}$$
9、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率40.0%向量$$\overrightarrow{a}=\left( 1， 0 \right)， \; \; \left\vert\overrightarrow{b} \right\vert=\sqrt{2}， \; \; \overrightarrow{a}$$和$${{b}^{→}}$$夹角为$$\frac{\pi} {4}，$$若$${{c}^{→}{=}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{，}{{d}^{→}}{=}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{c}^{→}}$$在$${{d}^{→}}$$上的投影为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['向量的模'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）'， '投影的数量']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{2}{，}{|}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{|}{=}{5}{，}{|}{{a}^{→}}{+}{3}{{b}^{→}}{|}{=}{1}}$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
1. 向量 $$a$$ 在向量 $$b$$ 上的投影向量公式为 $$\left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$$。已知 $$a \cdot b = 10$$，$$b = (6, -8)$$，则 $$|b| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$$。因此，投影向量为 $$\left( \frac{10}{100} \right) (6, -8) = \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)$$。正确答案是 D。
2. 由于 $$a \perp b$$，$$a \cdot b = 0$$。向量 $$a - 2b$$ 在 $$a$$ 上的投影向量为 $$\left( \frac{(a - 2b) \cdot a}{|a|^2} \right) a = \left( \frac{|a|^2 - 2b \cdot a}{|a|^2} \right) a = \left( \frac{1}{1} \right) a = a$$。正确答案是 A。
3. 由 $$a \perp (a - b)$$，得 $$a \cdot (a - b) = 0$$，即 $$|a|^2 - a \cdot b = 0$$，所以 $$a \cdot b = 1$$。向量 $$a$$ 在 $$b$$ 方向上的正射影数量为 $$\frac{a \cdot b}{|b|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。正确答案是 D。
4. 设 $$|a| = 1$$，$$|2a + b| = 2$$，展开得 $$4|a|^2 + 4a \cdot b + |b|^2 = 4$$，即 $$4 + 4a \cdot b + |b|^2 = 4$$，故 $$4a \cdot b + |b|^2 = 0$$。投影为 $$\frac{a \cdot b}{|b|}$$。设 $$a \cdot b = x$$，$$|b| = y$$，则 $$4x + y^2 = 0$$，即 $$x = -\frac{y^2}{4}$$。投影为 $$\frac{x}{y} = -\frac{y}{4}$$。由 $$|2a + b| = 2$$ 和 $$|a| = 1$$，可得 $$y \leq 4$$，因此投影最大值为 $$1$$（当 $$y = 2$$ 时）。但选项中没有 1，重新推导：由 $$4x + y^2 = 0$$，投影为 $$\frac{x}{y} = -\frac{y}{4}$$，当 $$y$$ 最小时投影最大。由 $$|2a + b| = 2$$ 和 $$|a| = 1$$，$$y$$ 的最小值为 $$0$$，此时投影为 $$0$$。但题目可能有其他隐含条件，重新分析：设 $$a \cdot b = |a||b|\cos \theta = |b|\cos \theta$$，代入 $$4|b|\cos \theta + |b|^2 = 0$$，得 $$\cos \theta = -\frac{|b|}{4}$$。投影为 $$|a|\cos \theta = -\frac{|b|}{4}$$。由 $$|2a + b| = 2$$，$$|b|$$ 的范围为 $$0 \leq |b| \leq 4$$，因此投影范围为 $$-1 \leq \text{投影} \leq 0$$。题目可能要求绝对值最大，即 $$1$$，但选项无 1，可能题目有其他限制。进一步推导：由 $$|2a + b| = 2$$，平方得 $$4 + 4a \cdot b + |b|^2 = 4$$，即 $$a \cdot b = -\frac{|b|^2}{4}$$。投影为 $$\frac{a \cdot b}{|b|} = -\frac{|b|}{4}$$。当 $$|b|$$ 最大时，投影最小。由 $$|2a + b| \geq |2|a| - |b||$$，即 $$2 \geq |2 - |b||$$，得 $$0 \leq |b| \leq 4$$。因此投影最大值为 $$0$$（$$|b| = 0$$），最小值为 $$-1$$（$$|b| = 4$$）。题目可能要求绝对值最大，即 $$1$$，但选项无 1，可能题目有其他条件。重新审视题目描述，可能为 $$|a| = 1$$，$$|2a + b| = 2$$，求 $$a$$ 在 $$b$$ 上投影的最大值。由 $$a \cdot b = -\frac{|b|^2}{4}$$，投影为 $$-\frac{|b|}{4}$$。当 $$|b|$$ 最小时投影最大，$$|b|$$ 的最小值为 $$0$$，此时投影为 $$0$$。但题目选项无 0，可能题目有其他隐含条件或笔误。假设题目为 $$|a| = 1$$，$$|2a + b| = 2$$，且 $$a \cdot b$$ 最大，则投影最大为 $$\sqrt{3}$$（选项 C）。但推导不明确，可能题目有其他限制。
5. 向量 $$b$$ 在 $$a$$ 方向上的投影为 $$\frac{a \cdot b}{|a|} = -\sqrt{3}$$。已知 $$a = (1, \sqrt{3})$$，$$b = (\sqrt{3}, x)$$，则 $$a \cdot b = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot x = \sqrt{3}(1 + x)$$，$$|a| = \sqrt{1 + 3} = 2$$。因此 $$\frac{\sqrt{3}(1 + x)}{2} = -\sqrt{3}$$，解得 $$1 + x = -2$$，$$x = -3$$。正确答案是 D。
6. 由 $$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} = \frac{c}{|c|}$$，设单位向量 $$\hat{a} = \frac{a}{|a|}$$，$$\hat{b} = \frac{b}{|b|}$$，$$\hat{c} = \frac{c}{|c|}$$，则 $$\hat{a} + \hat{b} = \hat{c}$$。由于 $$\hat{a}$$ 和 $$\hat{b}$$ 是单位向量，$$\hat{c}$$ 也是单位向量（因为 $$|\hat{a} + \hat{b}| = |\hat{c}| = 1$$）。设 $$\theta$$ 为 $$\hat{a}$$ 和 $$\hat{b}$$ 的夹角，则 $$|\hat{a} + \hat{b}|^2 = 1 + 1 + 2\cos \theta = 1$$，解得 $$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$，$$\theta = 120^\circ$$。因此 $$c \cdot (a + b) = |c| \hat{c} \cdot (|a|\hat{a} + |b|\hat{b}) = |c|(|a|\hat{c} \cdot \hat{a} + |b|\hat{c} \cdot \hat{b})$$。由于 $$\hat{c} = \hat{a} + \hat{b}$$，$$\hat{c} \cdot \hat{a} = 1 + \cos \theta = \frac{1}{2}$$，$$\hat{c} \cdot \hat{b} = \cos \theta + 1 = \frac{1}{2}$$。因此 $$c \cdot (a + b) = |c| \left( \frac{|a|}{2} + \frac{|b|}{2} \right) = \frac{|c|(|a| + |b|)}{2}$$。由 $$|a| + |b| + |c| = 4$$，设 $$|a| + |b| = t$$，则 $$|c| = 4 - t$$，表达式为 $$\frac{(4 - t)t}{2} = \frac{4t - t^2}{2}$$，最大值为 $$2$$（当 $$t = 2$$ 时）。正确答案是 B。
7. 向量 $$a$$ 在 $$b$$ 上的投影为 $$\frac{a \cdot b}{|b|} = \frac{-6}{3} = -2$$。正确答案是 A。
9. 已知 $$a = (1, 0)$$，$$|b| = \sqrt{2}$$，夹角 $$\frac{\pi}{4}$$，则 $$a \cdot b = |a||b|\cos \frac{\pi}{4} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$$。设 $$b = (x, y)$$，则 $$x = 1$$（因为 $$a \cdot b = x = 1$$），$$x^2 + y^2 = 2$$，解得 $$y = \pm 1$$。因此 $$b = (1, 1)$$ 或 $$(1, -1)$$。计算 $$c = a + b = (2, 1)$$ 或 $$(2, -1)$$，$$d = a - b = (0, -1)$$ 或 $$(0, 1)$$。投影为 $$\frac{c \cdot d}{|d|} = \frac{0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1}{1} = -1$$ 或 $$\frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)}{1} = -1$$。正确答案是 D。
10. 由 $$|a - 3b| = 5$$ 和 $$|a + 3b| = 1$$，平方得 $$|a|^2 - 6a \cdot b + 9|b|^2 = 25$$ 和 $$|a|^2 + 6a \cdot b + 9|b|^2 = 1$$。相减得 $$12a \cdot b = -24$$，即 $$a \cdot b = -2$$。向量 $$a$$ 在 $$b$$ 方向上的投影为 $$\frac{a \cdot b}{|b|} = \frac{-2}{|b|}$$。由 $$|a| = 2$$，代入第一个方程得 $$4 - 6(-2) + 9|b|^2 = 25$$，即 $$16 + 9|b|^2 = 25$$，解得 $$|b| = 1$$。因此投影为 $$\frac{-2}{1} = -2$$。正确答案是 C。