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正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=1， \， \， \， A C=3， \， \， \， \operatorname{c o s} A=\frac{1} {4}，$$点$${{E}}$$在直线$${{B}{C}}$$上，且满足$$\overrightarrow{B E}=2 \overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C} ( \lambda\in{\bf R} )，$$则$$| \overrightarrow{A E} |=$$（）
D
A.$${\sqrt {{3}{4}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {6}}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{6}}$$
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%如图，在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle B A C=6 0^{\circ}， \， \， \， A B=2， \， \， \， A C=1， \， \， \， D$$是$${{B}{C}}$$边上一点，且$$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{D B}，$$则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{B C}$$的值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$
3、['数量积的性质'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\textit{a， b， c}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=2 | \boldsymbol{b} |=2 | \boldsymbol{c} |=2，$$且$$2 b=a+c，$$则$$\operatorname{c o s} \langle\boldsymbol{a}， \boldsymbol{c} \rangle=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%平面向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{2 \pi} {3}， \， \， \， \overrightarrow{a}=( 2， \， \， 0 )， \， \， \， | \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b} |=2 \sqrt{3}，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=($$）
C
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
5、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}}$$的等边三角形，向量$${{a}{，}{b}}$$满足
，则向量$${{a}{，}{b}}$$
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
6、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| a |=| b |=2， \， \， a$$与$${{b}}$$的夹角为$${{6}{0}{^{∘}}}$$，则$$\left| a+b \right|=$$$${{(}{)}}$$
D
A.$${{4}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {{2}{+}{\sqrt {3}}}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
7、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$若$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}， \; \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角$$\theta=\frac{\pi} {6}，$$且$$( \overrightarrow{a}-m \overrightarrow{b} ) / \perp\overrightarrow{a}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$均为单位向量，$$\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{3}$$，则$$( 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )=$$（）
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
9、['数量积的性质'， '直线与圆的方程的应用'， '向量垂直'， '直线和圆相切']正确率40.0%设$${{O}}$$为坐标原点，$${{C}}$$为圆$$( x-2 )^{2}+y^{2}=3$$的圆心，且圆上有一点$$M ( x， y )$$满足$$\overrightarrow{O M} \cdot\overrightarrow{C M}=0，$$则$$\frac{y} {x}=( \textsubscript{1} )$$
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$或$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$或$${{−}{\sqrt {3}}}$$
10、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$满足$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=1$$，若$$( 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{b}=0$$，则向量$${{→}_{a}{，}{{→}_{b}}}$$的夹角为（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
1. 首先，根据题意，在 $$△ABC$$ 中，$$AB=1$$，$$AC=3$$，$$\cos A=\frac{1}{4}$$。我们需要找到 $$|\overrightarrow{AE}|$$，其中点 $$E$$ 在直线 $$BC$$ 上，且满足 $$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}$$。
步骤 1：计算 $$\overrightarrow{BC}$$ 和 $$\overrightarrow{AE}$$。
由向量关系，$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}$$，所以 $$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{AC}$$。
由于 $$E$$ 在直线 $$BC$$ 上，$$\overrightarrow{AE}$$ 可以表示为 $$\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{BC}$$，其中 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$。
因此，$$3\overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + t(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$$，解得 $$t = \lambda$$ 且 $$3 = 1 - t$$，即 $$t = -2$$，$$\lambda = -2$$。
所以 $$\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$$。
步骤 2：计算 $$|\overrightarrow{AE}|$$。
$$|\overrightarrow{AE}|^2 = |3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}|^2 = 9|\overrightarrow{AB}|^2 + 4|\overrightarrow{AC}|^2 - 12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$。
已知 $$|\overrightarrow{AB}|=1$$，$$|\overrightarrow{AC}|=3$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos A = 1 \times 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。
代入得 $$|\overrightarrow{AE}|^2 = 9 \times 1 + 4 \times 9 - 12 \times \frac{3}{4} = 9 + 36 - 9 = 36$$，所以 $$|\overrightarrow{AE}| = 6$$。
答案为 D。
2. 在 $$△ABC$$ 中，$$\angle BAC=60^\circ$$，$$AB=2$$，$$AC=1$$，点 $$D$$ 满足 $$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}$$，求 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$$。
步骤 1：表示 $$\overrightarrow{AD}$$ 和 $$\overrightarrow{BC}$$。
由题意，$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$$。
而 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$，所以 $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$。
步骤 2：计算 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$$。
$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$$。
展开后得到 $$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|^2 + \frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}|^2 - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$。
合并同类项：$$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|^2 + \frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}|^2$$。
已知 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60^\circ = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1$$。
代入得 $$\frac{1}{3} \times 1 - \frac{2}{3} \times 4 + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3} - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = -2$$。
答案为 C。
3. 已知向量 $$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$$ 满足 $$|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{c}|=2$$，且 $$2\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$$，求 $$\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle$$。
步骤 1：设 $$|\boldsymbol{b}|=1$$，则 $$|\boldsymbol{a}|=2$$，$$|\boldsymbol{c}|=1$$。
由 $$2\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$$，两边平方得 $$4|\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$$。
代入已知值：$$4 \times 1 = 4 + 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$$，解得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = -\frac{1}{2}$$。
步骤 2：计算 $$\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle$$。
$$\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{c}|} = \frac{-\frac{1}{2}}{2 \times 1} = -\frac{1}{4}$$。
答案为 D。
4. 已知 $$\overrightarrow{a}=(2,0)$$，$$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角为 $$\frac{2\pi}{3}$$，且 $$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$$，求 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
步骤 1：设 $$\overrightarrow{b}=(x,y)$$，由 $$|\overrightarrow{a}|=2$$，$$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$$。
平方得 $$|\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 12$$。
即 $$4 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 12$$，简化得 $$|\overrightarrow{b}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2$$。
步骤 2：利用夹角公式 $$\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = -\frac{1}{2}$$。
所以 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{b}|$$。
代入上式得 $$|\overrightarrow{b}|^2 - |\overrightarrow{b}| = 2$$，解得 $$|\overrightarrow{b}|=2$$（舍去负值）。
因此 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2$$。
答案为 C。
5. 在边长为 $$2$$ 的等边三角形 $$△ABC$$ 中，向量 $$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$$ 满足 $$\boldsymbol{a} = \overrightarrow{AB}$$，$$\boldsymbol{b} = \overrightarrow{AC}$$，求 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 的夹角。
步骤 1：在等边三角形中，$$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2$$。
夹角 $$\theta$$ 为 $$60^\circ$$，因为 $$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{2 \times 2 \times \cos 60^\circ}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$$。
答案为 B。
6. 已知 $$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2$$，夹角为 $$60^\circ$$，求 $$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$$。
步骤 1：利用向量长度公式 $$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$。
代入得 $$4 + 4 + 2 \times 2 \times 2 \times \cos 60^\circ = 8 + 4 = 12$$。
所以 $$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 2\sqrt{3}$$。
答案为 D。
7. 已知 $$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}$$，$$|\boldsymbol{b}|=2$$，夹角 $$\theta=\frac{\pi}{6}$$，且 $$(\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$$，求 $$m$$。
步骤 1：由垂直条件 $$(\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} = 0$$。
展开得 $$|\boldsymbol{a}|^2 - m \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$。
计算 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$$。
代入得 $$3 - 3m = 0$$，解得 $$m=1$$。
答案为 B。
8. 已知 $$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$$ 为单位向量，$$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$$，求 $$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$$。
步骤 1：由 $$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$$，平方得 $$1 + 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 3$$，解得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{1}{2}$$。
展开 $$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 2|\boldsymbol{a}|^2 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - |\boldsymbol{b}|^2 = 2 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$。
答案为 B。
9. 圆 $$(x-2)^2+y^2=3$$ 上点 $$M(x,y)$$ 满足 $$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{CM}=0$$，求 $$\frac{y}{x}$$。
步骤 1：圆心 $$C(2,0)$$，$$\overrightarrow{OM}=(x,y)$$，$$\overrightarrow{CM}=(x-2,y)$$。
由 $$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{CM}=0$$，得 $$x(x-2) + y^2 = 0$$。
结合圆的方程 $$(x-2)^2 + y^2 = 3$$，解得 $$x=1$$，$$y=\pm \sqrt{3}$$。
所以 $$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{3}$$。
答案为 D。
10. 已知 $$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1$$，且 $$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b}=0$$，求 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 的夹角。
步骤 1：展开 $$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - |\boldsymbol{b}|^2 = 0$$。
解得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{1}{2}$$。
所以 $$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{1}{2}$$，夹角 $$\theta = 60^\circ$$。
答案为 D。