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正确率40.0%设非零向量$${{m}{，}{n}}$$满足$$| \boldsymbol{m} |=2， ~ | \boldsymbol{n} |=3， ~ | \boldsymbol{m}+\boldsymbol{n} |=3 \sqrt{2}.$$则$${{m}}$$在$${{n}}$$上的投影向量为（）
B
A.$$- \frac{5} {1 8} n$$
B.$${\frac{5} {1 8}} n$$
C.$$- \frac5 8 m$$
D.$${\frac{5} {8}} m$$
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率40.0%$${{7}}$$.已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$夹角为$$\frac{2} {3} \pi，$$且$$| \overrightarrow{a} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=4$$，则$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$在$${{a}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
3、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知单位向量$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则向量$$\overrightarrow{e_{2}}-2 \overrightarrow{e_{1}}$$在$${{{e}_{1}}^{→}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$方向上的投影是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
4、['数量积的性质'， '投影向量（投影）']正确率40.0%设$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$为单位向量，且$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$若$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{e_{1}}+3 \overrightarrow{e_{2}}， \; \; \overrightarrow{b}=2 \overrightarrow{e_{1}}，$$则向量$${{a}{⃗}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['投影向量（投影）'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{2 5} {1 4 4}$$
B.$$\frac{2 5} {1 6 9}$$
C.$$\frac{1 6 9} {2 5}$$
D.$$\frac{1 4 4} {2 5}$$
6、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个顶点坐标分别为$$A ~ ( 1， ~ 1 ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{~-3， ~ 3 ) ~} ~， ~ C ~ ( 4， ~ 2 )$$，则向量$$\overrightarrow{A B}$$在$$\overrightarrow{A C}$$方向上的投影为（）
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
7、['向量减法的定义及运算法则'， '投影向量（投影）'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=1， \， \， \， \boldsymbol{a} \perp\boldsymbol{b}，$$则向量$${{a}{−}{2}{b}}$$在向量$${{a}}$$上的投影向量为（）
A
A.$${{a}}$$
B.$$\frac{\sqrt{7}} {7} a$$
C.$${{−}{a}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{7}} {7} a$$
8、['向量坐标与向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率60.0%$$\vec{a}=( 2， 1 ) \vec{b}=( 3， 4 )，$$则向量$${{a}{⃗}}$$在向量$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影为（）
D
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{2}}$$
9、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角']正确率40.0%边长为$${{1}}$$的等边$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}$$在$$\overrightarrow{B C}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
10、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率40.0%若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， \; \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$在$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$上的投影等于
B
A.$$\frac{3 \sqrt{7}} {7}$$
B.$$- \frac{3 \sqrt{7}} {7}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 1}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt{2 1}} {3}$$
1. 首先计算向量 $$m$$ 和 $$n$$ 的夹角 $$\theta$$。根据向量长度公式：$$|m + n|^2 = |m|^2 + |n|^2 + 2|m||n|\cos\theta$$，代入已知条件得：$$18 = 4 + 9 + 12\cos\theta$$，解得 $$\cos\theta = -\frac{5}{12}$$。投影向量的长度为 $$|m|\cos\theta = 2 \times \left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{5}{6}$$，方向与 $$n$$ 相同，因此投影向量为 $$-\frac{5}{6} \times \frac{n}{|n|} = -\frac{5}{18}n$$。正确答案是 A。
2. 向量 $$2a - b$$ 在 $$a$$ 方向上的投影为 $$\frac{(2a - b) \cdot a}{|a|} = \frac{2|a|^2 - |a||b|\cos\frac{2\pi}{3}}{|a|} = \frac{8 - 2 \times 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right)}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6$$。正确答案是 C。
3. 计算向量 $$\overrightarrow{e_2} - 2\overrightarrow{e_1}$$ 在 $$\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}$$ 方向上的投影。先计算点积：$$(\overrightarrow{e_2} - 2\overrightarrow{e_1}) \cdot (\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}) = -2|\overrightarrow{e_1}|^2 + |\overrightarrow{e_2}|^2 - \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} = -2 + 1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$。再计算 $$|\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}| = \sqrt{1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$。投影为 $$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。正确答案是 B。
4. 向量 $$\overrightarrow{a}$$ 在 $$\overrightarrow{b}$$ 方向上的投影为 $$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{(\overrightarrow{e_1} + 3\overrightarrow{e_2}) \cdot 2\overrightarrow{e_1}}{2} = \frac{2 + 3 \times 2 \times \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{2}$$。正确答案是 B。
6. 向量 $$\overrightarrow{AB} = (-4, 2)$$，$$\overrightarrow{AC} = (3, 1)$$。投影为 $$\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{-12 + 2}{\sqrt{10}} = -\frac{10}{\sqrt{10}} = -\sqrt{10}$$。正确答案是 B。
7. 由于 $$a \perp b$$，$$(a - 2b) \cdot a = |a|^2 = 1$$。投影向量为 $$\frac{(a - 2b) \cdot a}{|a|^2}a = a$$。正确答案是 A。
8. 向量 $$\overrightarrow{a}$$ 在 $$\overrightarrow{b}$$ 方向上的投影为 $$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{6 + 4}{5} = 2$$。正确答案是 D。
9. 向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 在 $$\overrightarrow{BC}$$ 方向上的投影为 $$|\overrightarrow{AB}|\cos120^\circ = 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$。正确答案是 B。
10. 计算 $$(a + b) \cdot (a - b) = |a|^2 - |b|^2 = -3$$，$$|a - b| = \sqrt{1 + 4 - 2 \times 1 \times 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{7}$$。投影为 $$\frac{-3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$$。正确答案是 B。