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正确率40.0%当动点$${{P}}$$在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的体对角线$${{A}_{1}{C}}$$上运动时，异面直线$${{B}{P}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成角的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {3} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} )$$
2、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%设$${{a}{，}{b}}$$是非零向量，满足$$| \mathbf{a}-\mathbf{b} |=| \mathbf{a} |， \mathbf{a} \cdot( \mathbf{a}-\mathbf{b} )=0，$$则$${{a}{−}{b}}$$与$${{b}}$$的夹角的大小为（）
D
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
3、['向量的模']正确率80.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边长为$${{1}}$$，设$$\overrightarrow{A B}=a$$，$$\overrightarrow{B C}=b$$，$$\overrightarrow{A C}=c$$，则$$| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} |=$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}}$$$${\sqrt {2}}$$
4、['共线向量基本定理'， '向量的模'， '平面向量的概念'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%设$${{a}{⃗}}$$，$${{b}^{⃗}}$$是两个非零向量，下列说法正确的是 （）
C
A.若$$| \vec{a}+\vec{b} |=| \vec{a} |-| \vec{b} |$$，则$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$
B.若$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$，则$$| \vec{a}+\vec{b} |=| \vec{a} |-| \vec{b} |$$
C.若$$| \vec{a}+\vec{b} |=| \vec{a} |-| \vec{b} |$$，则存在实数$${{λ}}$$，使得$$\vec{a}=\lambda\vec{b}$$
D.若存在实数$${{λ}}$$，使得$$\vec{a}=\lambda\vec{b}$$，则$$| \vec{a}+\vec{b} |=| \vec{a} |-| \vec{b} |$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$，其中$$| \vec{a} |=\sqrt{2}， | \vec{b} |=2$$，且$$( \vec{a}-\vec{b} ) \perp\vec{a}$$，则$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角是（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
6、['向量的模'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边长为$$1， ~ \vec{A} B=\vec{a}， ~ ~ \vec{B} C=\vec{b}$$，则$$| \frac{\stackrel{\rightharpoonup} {a}} {2}+\stackrel{\rightharpoonup} {b} |$$等于（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
7、['向量的模'， '向量的夹角'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$均为单位向量，它们的夹角为
，则$$\left| \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b} \right|=$$
C
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${{4}}$$
8、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{A B}=( 2， 3 )， \， \， \， \overrightarrow{A C}=( 3， \， \， \， t )， \， \， \， | \overrightarrow{B C} |=1.$$则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=$$（）
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
9、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知$$\left\vert\vec{a} \right\vert=2， \left\vert\vec{b} \right\vert=4$$，且$$( \vec{a}+\vec{b} )$$与$${{a}{⃗}}$$垂直，则$$\left| 2 \vec{a}-\vec{b} \right|$$的值是 （）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}}$$
10、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ \cos\theta， \ \ \sin\theta) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \， 1， \ -1 ) \enspace，$$则$$| 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$的取值范围是（）
A
A.$$[ 2-\sqrt{2}， ~ 2+\sqrt{2} ]$$
B.$$[ 0， ~ \sqrt{2} ]$$
C.$$[ 0， \ 2 ]$$
D.$$[ 1， ~ 3 ]$$
1. 设正方体边长为1，建立坐标系。$$A_1(0,0,1)$$，$$C(1,1,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$。参数化$$P$$在$$A_1C$$上的位置为$$P(t)=(t,t,1-t)$$，$$t\in[0,1]$$。向量$$\overrightarrow{BP}=(t-1,t,1-t)$$，$$\overrightarrow{AD_1}=(-1,1,1)$$。计算夹角余弦：$$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{AD_1}|}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{AD_1}|}=\frac{|1-2t|}{\sqrt{3}\sqrt{2t^2-2t+2}}$$。分析极值点$$t=0$$和$$t=1$$时$$\theta=\frac{\pi}{3}$$，$$t=\frac{1}{2}$$时$$\theta=\frac{\pi}{6}$$。因此范围为$$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$$，选B。
2. 由$$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|$$得$$|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|^2$$，即$$|\mathbf{b}|^2=2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$$。由$$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=0$$得$$|\mathbf{a}|^2=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$$。设$$|\mathbf{a}|=1$$，则$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1$$，$$|\mathbf{b}|^2=2$$。计算$$\cos\phi=\frac{(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}-\mathbf{b}||\mathbf{b}|}=\frac{-1}{1\times\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$，夹角为$$135^\circ$$，选D。
3. $$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{c}$$，故$$\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}=2\mathbf{a}$$。$$|\mathbf{a}|=1$$，$$|2\mathbf{a}|=2$$，选C。
4. 选项A错误，$$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$$说明两向量反向共线。选项B错误，垂直时$$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2}$$。选项C正确，共线反向时成立。选项D错误，$$\lambda>0$$时不成立。选C。
5. 由$$(\vec{a}-\vec{b})\perp\vec{a}$$得$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|^2=2$$。$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\theta=\frac{\pi}{4}$$，选B。
6. $$\frac{\vec{a}}{2}+\vec{b}$$的模为$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$，选D。
7. $$|\vec{a}+3\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2+6\vec{a}\cdot\vec{b}=1+9+6\times1\times1\times\cos60^\circ=13$$，故$$|\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{13}$$，选C。
8. $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(1,t-3)$$，由$$|\overrightarrow{BC}|=1$$得$$1+(t-3)^2=1$$，解得$$t=3$$。$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\times1+3\times0=2$$，选C。
9. 由$$(\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{a}$$得$$\vec{a}\cdot\vec{b}=-4$$。$$|2\vec{a}-\vec{b}|^2=4|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}=16+16+16=48$$，故$$|2\vec{a}-\vec{b}|=4\sqrt{3}$$，选C。
10. $$|2\vec{a}-\vec{b}|^2=4|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}=4+2-4(\cos\theta-\sin\theta)=6-4\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})$$。取值范围为$$[6-4\sqrt{2},6+4\sqrt{2}]$$，开平方得$$[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$$，选A。