1、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%在梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$. \; A B / \! / C D， \; \; A D=C D={\frac{1} {2}} A B=2.$$$$\overrightarrow{B D} \cdot\overrightarrow{A C}=-6，$$则$${{∠}{B}{A}{D}}$$的余弦值为（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$$| \boldsymbol{a} |=1， ~ | \boldsymbol{b} |=2，$$向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$则$$a \cdot( a+b )=$$（）
C
A.$$\sqrt3-1$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\sqrt3+1$$
3、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=1， \; \; \vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=\sqrt{7}， \; \; \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} )=-4$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角是（）
A
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
4、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影的数量']正确率60.0%已知$$A ( 1， 2 )， \， \， \， B ( 2， 4 )， \， \， \， C (-2， 1 )， \， \， \， D (-3， 2 )$$，则向量$$\overrightarrow{C D}$$在向量$$\overrightarrow{A B}$$上的投影为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
5、['数量积的性质'， '判断三角形的形状'， '向量的数量积的定义'， '等比中项']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A. ~ B. ~ C$$成等差数列，$$( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} ) \cdot\overrightarrow{B C}=0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定是（）
B
A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
6、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%设$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$是平面内的两个单位向量，且夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则$$| 2 \vec{a}-3 \vec{b} |$$等于（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {{1}{9}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{5}}$$
7、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '不等式的性质']正确率40.0%已知向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$满足$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}，$$且$$\overrightarrow{a}^{2} > \overrightarrow{b}^{2} > \overrightarrow{c}^{2}，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}， \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c}， \overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{a}$$中最小的值是（）
A
A.$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$
B.$${{b}^{→}{⋅}{{c}^{→}}}$$
C.$${{c}^{→}{⋅}{{a}^{→}}}$$
D.不能确定的
8、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量
与
的夹角为
，且
，
，则
$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
9、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$O， ~ A， ~ B， ~ C$$是不共线的四点，若存在一组正实数$$\lambda_{1}， ~ \lambda_{2}， ~ \lambda_{3}，$$使$$\lambda_{1} \overrightarrow{O A}+\lambda_{2} \overrightarrow{O B}+\lambda_{3} \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则三个角$$\angle A O B， \， \， \angle B O C， \， \， \angle C O A$$（）
D
A.都是锐角
B.至多有两个钝角
C.恰有两个钝角
D.至少有两个钝角
10、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=3， \， \， | \overrightarrow{b} |=5， \， \， | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=7$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为（）
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
1. 题目解析：
在梯形$$ABCD$$中，$$AB \parallel CD$$，$$AD = CD = \frac{1}{2} AB = 2$$。设$$AB = 4$$，$$CD = 2$$。将坐标系原点设在点$$A$$，$$AB$$沿$$x$$轴正方向。设$$A(0,0)$$，$$B(4,0)$$，$$D(x,y)$$，则$$C(x+2,y)$$（因为$$CD = 2$$且$$AB \parallel CD$$）。根据$$AD = 2$$，有$$x^2 + y^2 = 4$$。向量$$\overrightarrow{BD} = (x-4, y)$$，$$\overrightarrow{AC} = (x+2, y)$$。点积$$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = (x-4)(x+2) + y^2 = x^2 - 2x - 8 + y^2 = -6$$。代入$$x^2 + y^2 = 4$$，得$$4 - 2x - 8 = -6$$，解得$$x = 1$$，$$y = \sqrt{3}$$（取正值）。因此，$$\cos \angle BAD = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} = \frac{4 \times 1 + 0 \times \sqrt{3}}{4 \times 2} = \frac{1}{2}$$。答案为D。
2. 题目解析：
已知$$|\boldsymbol{a}| = 1$$，$$|\boldsymbol{b}| = 2$$，夹角为$$\frac{\pi}{3}$$。计算$$a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b = |a|^2 + |a||b|\cos \frac{\pi}{3} = 1 + 1 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$$。答案为C。
3. 题目解析：
已知$$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{7}$$，$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = -4$$。展开点积得$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{a}|^2 = -4$$，即$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3$$。设夹角为$$\theta$$，则$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{-3}{1 \cdot |\overrightarrow{b}|}$$。又$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7$$，代入得$$1 + |\overrightarrow{b}|^2 - 6 = 7$$，解得$$|\overrightarrow{b}|^2 = 12$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2\sqrt{3}$$。因此$$\cos \theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\theta = \frac{5\pi}{6}$$。答案为A。
4. 题目解析：
向量$$\overrightarrow{AB} = (1, 2)$$，$$\overrightarrow{CD} = (-1, 1)$$。投影公式为$$\frac{\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{-1 \times 1 + 1 \times 2}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。答案为A。
5. 题目解析：
三个内角$$A, B, C$$成等差数列，设$$A = \alpha - d$$，$$B = \alpha$$，$$C = \alpha + d$$，则$$\alpha - d + \alpha + \alpha + d = 180^\circ$$，解得$$B = 60^\circ$$。由$$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$，利用向量运算得$$(2\overrightarrow{AM}) \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$（$$M$$为$$BC$$中点），即$$AM \perp BC$$，故$$ABC$$为等腰三角形。结合$$B = 60^\circ$$，$$ABC$$为等边三角形。答案为B。
6. 题目解析：
单位向量$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$$，夹角$$60^\circ$$。计算$$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12 \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2} = 7$$，故$$|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{7}$$。答案为A。
7. 题目解析：
由$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$$，得$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = -\frac{1}{2}(|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2)$$。由于$$|\overrightarrow{a}|^2 > |\overrightarrow{b}|^2 > |\overrightarrow{c}|^2$$，最小的点积为$$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$$。答案为B。
8. 题目解析：
设$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$的夹角为$$\theta$$，$$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$$。由$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 2$$，平方得$$1 + 3 + 2 \times 1 \times \sqrt{3} \cos \theta = 4$$，解得$$\cos \theta = 0$$，$$\theta = \frac{\pi}{2}$$。因此$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 1 + 3 - 0 = 4$$，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 2$$。答案为C。
9. 题目解析：
由$$\lambda_1 \overrightarrow{OA} + \lambda_2 \overrightarrow{OB} + \lambda_3 \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，可知$$O$$是$$\triangle ABC$$的重心。三个角$$\angle AOB$$、$$\angle BOC$$、$$\angle COA$$中至少有两个钝角。答案为D。
10. 题目解析：
已知$$|\overrightarrow{a}| = 3$$，$$|\overrightarrow{b}| = 5$$，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 7$$。由$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，得$$49 = 9 + 25 + 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，解得$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{15}{2}$$。投影为$$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{15/2}{5} = \frac{3}{2}$$。答案为C。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱
.jpg)