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正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是平面$${{α}}$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$${{c}^{→}}$$在直线$${{l}}$$上，则$${{“}}$$$${{c}^{→}{⋅}{{a}^{→}}{=}{0}}$$，且$${{c}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}}$$$${{”}}$$是$${{l}{⊥}{α}}$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['向量的模'， '充分、必要条件的判定'， '向量垂直']正确率60.0%设$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$是非零向量，则$${{“}}$$$${{|}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}{|}{=}{|}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}{|}}$$$${{”}}$$是$${{“}}$$$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$$${{”}}$$的（）
C
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{m}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{n}{−}{2}{)}{，}{(}{m}{>}{0}{，}{n}{>}{0}{)}}$$若$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$$\frac{1} {m}+\frac{2} {n}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\frac{3} {2}+\sqrt{2}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}{+}{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{+}{3}}$$
4、['向量垂直'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{3}{)}{，}}$$向量$${{b}^{→}{=}{(}{4}{，}{−}{2}{，}{k}{)}{，}}$$且满足向量$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}{，}}$$则$${{k}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$$- \frac{1 0} {3}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}{，}}$$满足$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{2}}$$，且向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {4}，$$若$${{a}{⃗}{−}{λ}{{b}^{⃗}}}$$与$${{b}^{⃗}}$$垂直，则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
6、['向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{2}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{1}}$$，且$$( \overrightarrow{a}-\frac{5} {2} \overrightarrow{b} ) \perp( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )$$，则向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角$${{θ}}$$为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
7、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率40.0%若$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{2}}$$，且$${{(}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{)}{⊥}{{a}^{→}}}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$- \frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$或$$- \frac{\pi} {3}$$
8、['共线向量基本定理'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%设单位向量$${{{e}_{1}}^{→}}$$与$${{{e}_{2}}^{→}}$$既不平行也不垂直，对非零向量$${{a}^{→}{=}{{x}_{1}}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{y}_{1}}{{{e}_{2}}^{→}}{、}{{b}^{→}}{=}{{x}_{2}}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{y}_{2}}{{{e}_{2}}^{→}}}$$有结论：
$${①}$$若$${{x}_{1}{{y}_{2}}{−}{{x}_{2}}{{y}_{1}}{=}{0}}$$，则$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}{；}}$$
$${②}$$若$${{x}_{1}{{x}_{2}}{+}{{y}_{1}}{{y}_{2}}{=}{0}}$$，则$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{．}}$$
关于以上两个结论，正确的判断是$${{(}{)}}$$
A
A.$${①}$$成立，$${②}$$不成立
B.$${①}$$不成立，$${②}$$成立
C.$${①}$$成立，$${②}$$成立
D.$${①}$$不成立，$${②}$$不成立
9、['向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角是$$\frac{\pi} {3}，$$且$${{|}{a}{|}{=}{1}{，}{|}{b}{|}{=}{4}}$$，若$${{(}{3}{a}{+}{λ}{b}{)}{⊥}{a}}$$，则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$- \frac{2} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
1. 解析：
向量 $${{c}^{→}}$$ 与平面 $$α$$ 内的两个不共线向量 $${{a}^{→}}$$ 和 $${{b}^{→}}$$ 都垂直，等价于 $${{c}^{→}}$$ 垂直于平面 $$α$$。因此，条件是充要的。
答案：C
2. 解析：
由 $$|{{a}^{→}} + {{b}^{→}}| = |{{a}^{→}} - {{b}^{→}}|$$ 平方得 $${{a}^{→}} \cdot {{b}^{→}} = 0$$，即 $${{a}^{→}} \perp {{b}^{→}}$$。反之亦然。
答案：C
3. 解析：
由 $${{a}^{→}} \perp {{b}^{→}}$$ 得 $$m \cdot 1 + 1 \cdot (n-2) = 0$$，即 $$m + n = 2$$。利用不等式求最小值：
$$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = \left(\frac{1}{m} + \frac{2}{n}\right)\left(\frac{m+n}{2}\right) \geq \frac{3}{2} + \sqrt{2}$$。
答案：B
4. 解析：
由 $${{a}^{→}} \perp {{b}^{→}}$$ 得 $$2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot k = 0$$，解得 $$k = -\frac{10}{3}$$。
答案：C
5. 解析：
由 $$({{a}^{→}} - \lambda {{b}^{→}}) \perp {{b}^{→}}$$ 得 $$({{a}^{→}} - \lambda {{b}^{→}}) \cdot {{b}^{→}} = 0$$，代入 $$|{{a}^{→}}| = 1$$，$$|{{b}^{→}}| = 2$$，夹角 $$\frac{\pi}{4}$$ 得 $$\lambda = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。
答案：D
6. 解析：
由 $$({{a}^{→}} - \frac{5}{2} {{b}^{→}}) \perp ({{a}^{→}} + {{b}^{→}})$$ 展开得 $$|{{a}^{→}}|^2 - \frac{3}{2} {{a}^{→}} \cdot {{b}^{→}} - \frac{5}{2} |{{b}^{→}}|^2 = 0$$，解得 $$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。
答案：C
7. 解析：
由 $$({{a}^{→}} + {{b}^{→}}) \perp {{a}^{→}}$$ 得 $$|{{a}^{→}}|^2 + {{a}^{→}} \cdot {{b}^{→}} = 0$$，解得 $$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。
答案：C
8. 解析：
结论①成立，因为 $${{x}_{1}{{y}_{2}} - {{x}_{2}{{y}_{1}} = 0$$ 表示 $${{a}^{→}}$$ 和 $${{b}^{→}}$$ 线性相关，即平行。结论②不成立，因为 $${{e}_{1}^{→}}$$ 和 $${{e}_{2}^{→}}$$ 不垂直时，点积为零不一定垂直。
答案：A
9. 解析：
由 $$(3{{a}^{→}} + \lambda {{b}^{→}}) \perp {{a}^{→}}$$ 得 $$3|{{a}^{→}}|^2 + \lambda {{a}^{→}} \cdot {{b}^{→}} = 0$$，代入 $$|{{a}^{→}}| = 1$$，$$|{{b}^{→}}| = 4$$，夹角 $$\frac{\pi}{3}$$ 得 $$\lambda = -\frac{3}{2}$$。
答案：A