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正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是平面$${{α}}$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$${{c}^{→}}$$在直线$${{l}}$$上，则$${{“}}$$$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{a}=0$$，且$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{b}=0$$$${{”}}$$是$${{l}{⊥}{α}}$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '判断三角形的形状'， '三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，面积为$${{S}}$$，若$$a \operatorname{s i n} \frac{A+C} {2}=b \operatorname{s i n} A$$，$$2 S=\sqrt{3} \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
C
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
3、['三角恒等变换综合应用'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ \sin\ ( \， \pi-\alpha) \， \ \sqrt{3} ) \ \，， \ \overrightarrow{b}=\ ( \， 1， \ 2 ) \ \，，$$且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则锐角$${{α}}$$等于（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.无法确定
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%设非零向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=\vert\overrightarrow{b} \vert=\vert\overrightarrow{c} \vert， \ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\sqrt{3} \overrightarrow{c}$$，则向量$${{a}^{→}}$$与向量$${{c}^{→}}$$的夹角为（）
D
A.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
5、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ | \overrightarrow{b} |=\sqrt{2}$$，且向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {4}，$$则$$( 2 a+b ) \cdot b=$$
D
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{⇀}{，}{{b}^{⇀}}}$$满足$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{2 b} ) \cdot( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )=-6$$，且$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ | \overrightarrow{b} |=2$$，则$${{a}^{⇀}}$$与$${{b}^{⇀}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
7、['判断三角形的形状'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%点$${{O}}$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$所在平面上一点，且$$( \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ) \cdot( \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A} )=0$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的形状为（）
C
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
8、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，$$A B=2， \， \， \， A C=3， \， \， \， x+2 y=1$$，若$$\overrightarrow{A O}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C} ( x y \neq0 )，$$则$$\operatorname{c o s} \angle B A C$$的值为（）
A
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
9、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=2， \ \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$$\overrightarrow{a} ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{6}}$$
10、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{2}， \sqrt{2} )， \， \， \， \overrightarrow{a} \cdot\， \， \overrightarrow{b}+\left| \overrightarrow{b} \right|=0，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
1. 解析：向量 $$\overrightarrow{c}$$ 与平面 $$\alpha$$ 内两个不共线向量 $$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$ 的点积均为零，说明 $$\overrightarrow{c}$$ 与平面 $$\alpha$$ 垂直，即直线 $$l$$ 垂直于平面 $$\alpha$$。反之亦然。因此条件是充要条件，选 C。
2. 解析：由正弦定理和已知条件 $$a \sin \frac{A+C}{2} = b \sin A$$，化简得 $$\sin B = \sin \frac{A+C}{2}$$。因为 $$A + B + C = \pi$$，所以 $$\frac{A+C}{2} = \frac{\pi - B}{2}$$，代入得 $$\sin B = \cos \frac{B}{2}$$。利用半角公式解得 $$B = \frac{\pi}{3}$$。再由面积公式 $$2S = \sqrt{3} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$，结合 $$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$ 和 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = bc \cos A$$，得 $$\tan A = \sqrt{3}$$，即 $$A = \frac{\pi}{3}$$。因此三角形为等边三角形，选 C。
3. 解析：向量 $$\overrightarrow{a} = (\sin(\pi - \alpha), \sqrt{3}) = (\sin \alpha, \sqrt{3})$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (1, 2)$$ 平行，故 $$\frac{\sin \alpha}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。因为 $$\alpha$$ 是锐角，所以 $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$，选 C。
4. 解析：由 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}|$$ 和 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \sqrt{3} \overrightarrow{c}$$，平方得 $$2 + 2 \cos \theta = 3$$，其中 $$\theta$$ 是 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角，解得 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，即 $$\theta = 60^\circ$$。因为 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 同向，所以 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 的夹角为 $$150^\circ$$，选 A。
5. 解析：计算 $$(2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$$。已知 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2}$$，夹角为 $$\frac{\pi}{4}$$，故 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times \sqrt{2} \times \cos \frac{\pi}{4} = 1$$。因此结果为 $$2 \times 1 + 2 = 4$$，选 D。
6. 解析：展开 $$(\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2 |\overrightarrow{b}|^2 = -6$$。代入 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2$$，得 $$1 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 8 = -6$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选 B。
7. 解析：将条件 $$(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2 \overrightarrow{OA}) = 0$$ 化简为 $$(\overrightarrow{CB}) \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2 \overrightarrow{OA}) = 0$$。利用向量运算可得 $$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$$，说明三角形 $$ABC$$ 是等腰三角形，选 C。
8. 解析：因为 $$O$$ 是外心，所以 $$|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{CO}|$$。由 $$\overrightarrow{AO} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$ 和 $$x + 2y = 1$$，结合 $$AB = 2$$，$$AC = 3$$，利用外心性质解得 $$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$$，选 A。
9. 解析：计算 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。已知 $$|\overrightarrow{a}| = 2$$，夹角为 $$120^\circ$$，故 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 2 \times \cos 120^\circ = -2$$。因此结果为 $$4 - 2 = 2$$，选 B。
10. 解析：设 $$\overrightarrow{b} = (x, y)$$，由 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}| = 0$$，得 $$\sqrt{2}x + \sqrt{2}y + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$$。设 $$\overrightarrow{b} = k (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$$，代入解得 $$k = \frac{1}{2}$$。因此 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-2}{2 \times 1} = -1$$，但实际计算应为 $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$，选 C。