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正确率60.0%已知平面向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} | \;，$$且$$( \sqrt{2} a-b ) \perp b，$$则$${{a}{，}{b}}$$的夹角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$${{0}}$$
2、['向量垂直'， '两条直线垂直'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 4， 4， 5 )$$，$$\overrightarrow{b}=(-7， x， y )$$分别是直线$${{l}_{1}}$$、$${{l}_{2}}$$的方向向量，若$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则下列几组解中可能正确的是$${{(}{)}}$$
A.$${{x}{=}{1}}$$，$${{y}{=}{3}}$$
B.$${{x}{=}{4}}$$，$${{y}{=}{3}}$$
C.$${{x}{=}{2}}$$，$${{y}{=}{4}}$$
D.$${{x}{=}{6}}$$，$${{y}{=}{2}}$$
3、['数量积的性质'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}， \; \; | \overrightarrow{b} |=4 \sqrt{3}$$，且$$\overrightarrow{a} \perp( 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \;，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
4、['双曲线的离心率'， '向量垂直'， '双曲线的定义']正确率40.0%$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a， b > 0 )$$的左右焦点，点$${{P}}$$在双曲线上，满足$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0，$$若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径与外接圆半径之比为$$\frac{\sqrt3-1} {2}，$$则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\sqrt{2}+1$$
D.$$\sqrt3+1$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量垂直']正确率60.0%若$$a=( 1， 0， 2 )， \， \， b=(-1， 2， 1 )$$，且$$( t a+b ) \perp b$$，则实数$${{t}}$$的值是（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{−}{8}}$$
6、['平面向量的概念'， '数量积的性质'， '向量垂直']正确率60.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\vec{A B}=\vec{D C}$$，
，且$$\overrightarrow{A C} \bullet\overrightarrow{B D}=0，$$
A
A.菱形
B.矩形
C.直角梯形
D.等腰梯形
7、['与球有关的切、接问题'， '向量垂直'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%设$$A. ~ B. ~ C. ~ D$$是半径为$${{1}}$$的球面上的四个不同点，且满足$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=0，$$$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{A D}=0，$$$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A B}=0，$$用$$S_{1}， \ S_{2}， \ S_{3}$$分别表示
的面积，则$$S_{1}+S_{2}+S_{3}$$的最大值是（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
8、['向量垂直'， '命题的真假性判断']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$不平行，且$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} | \neq0$$，则下列结论中正确的是（）
A
A.向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$垂直
B.向量$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}}$$垂直
C.向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}}$$垂直
D.向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$平行
9、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$C_{1} \colon\ {\frac{x^{2}} {a^{2}}}+{\frac{y^{2}} {b^{2}}}=1 \ ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，离心率为$${{e}_{1}}$$，椭圆$${{C}_{1}}$$的上顶点为$${{M}}$$，且$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}}=0.$$双曲线$${{C}_{2}}$$和椭圆$${{C}_{1}}$$有相同焦点，且双曲线$${{C}_{2}}$$的离心率为$${{e}_{2}{，}{P}}$$为曲线$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$的一个公共点，若$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {3}，$$则（）
B
A.$$\frac{e_{2}} {e_{1}}=2$$
B.$$e_{1} \cdot e_{2}=\frac{\sqrt{3}} {2}$$
C.$$e_{1}^{2}+e_{2}^{2}=\frac{5} {2}$$
D.$$e_{2}^{2}-e_{1}^{2}=1$$
10、['平面向量的概念'， '数量积的运算律'， '向量垂直'， '投影向量（投影）']正确率60.0%设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$均为非零向量，下列命题中正确的是
C
A.$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b} \Rightarrow\overrightarrow{a}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影为$${{a}^{→}}$$
B.$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=0 \Rightarrow\overrightarrow{a}=0$$或$${{b}^{→}{=}{0}}$$
C.$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b} \Rightarrow\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=( \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} )^{2}$$
D.$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{c} \Rightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$
1. 已知平面向量$${{a}{,}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} |$$，且$$( \sqrt{2} a-b ) \perp b$$，求夹角。
解析：
由$$( \sqrt{2} a - b ) \perp b$$，得$$( \sqrt{2} a - b ) \cdot b = 0$$。
展开得$$\sqrt{2} a \cdot b - b \cdot b = 0$$，即$$\sqrt{2} |a| |b| \cos \theta - |b|^2 = 0$$。
因为$$|a| = |b|$$，所以$$\sqrt{2} \cos \theta - 1 = 0$$，解得$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，夹角$$\theta = \frac{\pi}{4}$$，选B。
2. 已知向量$$\overrightarrow{a}=(4,4,5)$$，$$\overrightarrow{b}=(-7,x,y)$$，且$$l_1 \perp l_2$$，求可能的$$x, y$$。
解析：
由于$$l_1 \perp l_2$$，方向向量点积为零：$$4 \times (-7) + 4 \times x + 5 \times y = 0$$。
化简得$$-28 + 4x + 5y = 0$$，即$$4x + 5y = 28$$。
验证选项：
A. $$x=1, y=3$$：$$4(1) + 5(3) = 19 \neq 28$$
B. $$x=4, y=3$$：$$4(4) + 5(3) = 31 \neq 28$$
C. $$x=2, y=4$$：$$4(2) + 5(4) = 28$$，符合。
D. $$x=6, y=2$$：$$4(6) + 5(2) = 34 \neq 28$$
选C。
3. 已知向量$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}$$，$$| \overrightarrow{b} |=4\sqrt{3}$$，且$$\overrightarrow{a} \perp (2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$，求夹角。
解析：
由$$\overrightarrow{a} \perp (2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$，得$$\overrightarrow{a} \cdot (2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$$。
展开得$$2 |a|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即$$2 \times 3 + \sqrt{3} \times 4\sqrt{3} \cos \theta = 0$$。
化简得$$6 + 12 \cos \theta = 0$$，解得$$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$。
因此，夹角$$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，选D。
4. 双曲线问题，求离心率。
解析：
由题意，$$P$$在双曲线上且$$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，说明$$PF_1 \perp PF_2$$。
设双曲线半焦距为$$c$$，则$$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$。
由于$$PF_1 \perp PF_2$$，三角形$$PF_1F_2$$为直角三角形，内切圆半径$$r = \frac{a + b - c}{2}$$，外接圆半径$$R = \frac{c}{2}$$。
由题意$$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$，代入得$$\frac{a + b - c}{c} = \sqrt{3} - 1$$。
化简得$$a + b = c \sqrt{3}$$。
结合双曲线性质$$c^2 = a^2 + b^2$$，解得离心率$$e = \sqrt{2}$$，选A。
5. 已知向量$$a=(1,0,2)$$，$$b=(-1,2,1)$$，且$$(t a + b) \perp b$$，求$$t$$。
解析：
由$$(t a + b) \perp b$$，得$$(t a + b) \cdot b = 0$$。
展开得$$t (a \cdot b) + b \cdot b = 0$$。
计算点积：$$a \cdot b = 1 \times (-1) + 0 \times 2 + 2 \times 1 = 1$$，$$b \cdot b = (-1)^2 + 2^2 + 1^2 = 6$$。
代入得$$t \times 1 + 6 = 0$$，解得$$t = -6$$，选C。
6. 四边形$$ABCD$$满足$$\vec{AB} = \vec{DC}$$且$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$$，判断形状。
解析：
由$$\vec{AB} = \vec{DC}$$，说明$$ABCD$$是平行四边形。
又$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$$，说明对角线垂直。
因此，$$ABCD$$是菱形，选A。
7. 球面四点问题，求面积和的最大值。
解析：
由题意，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$$，$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，说明$$AB$$、$$AC$$、$$AD$$两两垂直。
设$$AB = x$$，$$AC = y$$，$$AD = z$$，则$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$（因为球半径为1）。
面积和$$S_1 + S_2 + S_3 = \frac{xy}{2} + \frac{yz}{2} + \frac{zx}{2}$$。
由不等式$$xy + yz + zx \leq x^2 + y^2 + z^2 = 4$$，当且仅当$$x = y = z$$时取等。
因此，最大值为$$2$$，选B。
8. 向量$$a$$与$$b$$不平行且模相等，判断选项。
解析：
选项A：$$(a + b) \cdot (a - b) = |a|^2 - |b|^2 = 0$$，说明垂直，正确。
选项B：$$(a - b) \cdot a = |a|^2 - a \cdot b$$，不一定为零。
选项C：$$(a + b) \cdot a = |a|^2 + a \cdot b$$，不一定为零。
选项D：$$a + b$$与$$a - b$$垂直，不平行。
选A。
9. 椭圆与双曲线问题，求离心率关系。
解析：
由椭圆性质及$$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} = 0$$，得$$c = b$$，因此$$e_1 = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
双曲线与椭圆同焦点，设双曲线离心率$$e_2 = \frac{c}{a'}$$，由双曲线性质$$c^2 = a'^2 + b'^2$$。
公共点$$P$$满足椭圆和双曲线定义，结合$$\angle F_1 P F_2 = \frac{\pi}{3}$$，解得$$e_2 = \sqrt{2}$$。
验证选项：
B. $$e_1 e_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{2} = 1 \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
C. $$e_1^2 + e_2^2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$，正确。
选C。
10. 非零向量命题判断。
解析：
选项A：投影应为$$|a| \cos \theta$$，错误。
选项B：$$a \cdot b = 0$$仅说明垂直，不一定为零向量，错误。
选项C：垂直时$$a \cdot b = 0$$，但右边为$$0^2 = 0$$，成立。
选项D：点积相等不说明向量相等，错误。
选C。