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正确率60.0%已知非零向量$$\boldsymbol{a}， ~ \boldsymbol{b}， ~ \boldsymbol{c}，$$则“$$a \cdot c=b \cdot c$$”是“$${{a}{=}{b}}$$”的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$\vert\boldsymbol{a} \vert=2， ~ | \boldsymbol{b} |=\sqrt{3}，$$且$$( a-b ) \perp( 2 a+3 b )，$$则$${{a}}$$与$${{b}}$$夹角的余弦值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{1 1}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3 3}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 1}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
3、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%设$${{D}{，}{E}}$$为正三角形$${{A}{B}{C}}$$中$${{B}{C}}$$边上的两个三等分点，且$${{B}{C}{=}{2}}$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A E}=$$（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{8} {9}$$
C.$$\frac{2 6} {9}$$
D.$$\frac{2 6} {3}$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\begin{array} {c} {( 2， \ 0 )} \\ \end{array}， \begin{array} {c} {\overrightarrow{b}} \\ \end{array}=\begin{array} {c} {( 1， \sqrt{3} )} \\ \end{array}，$$则$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=($$）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
5、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量$${{m}^{⇀}{，}{{n}^{⇀}}}$$满足$$| \overrightarrow{m} |=4， | \overrightarrow{n} |=5， | \overrightarrow{m}-2 \overrightarrow{n} |=9，$$则$${{m}^{⇀}}$$与$${{n}^{⇀}}$$夹角的余弦值是（）
D
A.$$\frac{7} {1 6}$$
B.$$\frac{9} {1 6}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 3}} {1 6}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{2 3}} {1 6}$$
6、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle B=9 0^{\circ}， \; \; \overrightarrow{A B}=( 1 \; \;， \; \;-2 )， \; \; \overrightarrow{A C}=( 3 \; \;， \; \; \lambda)$$，则$${{λ}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{4}}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{1}}$$的等边三角形，点$${{D}}$$在边$${{B}{C}}$$上，且$$B D=2 D C$$，则$$\overrightarrow{A D}. \overrightarrow{A B}$$的值为（）
C
A.$$1-\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$1+\frac{\sqrt{3}} {3}$$
8、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left\vert\overrightarrow{a} \right\vert=1， \left\vert\overrightarrow{b} \right\vert=4$$且$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=2，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的大小为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
9、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$若$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}， \; \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角$$\theta=\frac{\pi} {6}，$$且$$( \overrightarrow{a}-m \overrightarrow{b} ) / \perp\overrightarrow{a}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
10、['向量的模'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=1， \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}， \; \; \lambda\in R$$，则$$| \overline{{a}}-\stackrel{\rightarrow} {b} |$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{1}}$$或$${{3}}$$
D.$${{|}{λ}{|}}$$
1. 解析：由 $$a \cdot c = b \cdot c$$ 可得 $$(a - b) \cdot c = 0$$，即 $$a - b$$ 与 $$c$$ 垂直，但 $$a$$ 不一定等于 $$b$$。反之，若 $$a = b$$，显然有 $$a \cdot c = b \cdot c$$。因此条件是必要的，但不充分。答案为 B。
2. 解析：由 $$(a - b) \perp (2a + 3b)$$ 得 $$(a - b) \cdot (2a + 3b) = 0$$。展开后为 $$2|a|^2 + a \cdot b - 3|b|^2 = 0$$。代入 $$|a| = 2$$，$$|b| = \sqrt{3}$$，解得 $$a \cdot b = 2$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{2}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，但选项中没有该答案。重新检查计算步骤，发现展开式应为 $$2|a|^2 + a \cdot b - 3|b|^2 = 0$$，代入数据得 $$8 + a \cdot b - 9 = 0$$，即 $$a \cdot b = 1$$。因此 $$\cos \theta = \frac{1}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$，对应选项 D。
3. 解析：设正三角形 $$ABC$$ 边长为 2，$$D$$ 和 $$E$$ 为 $$BC$$ 的三等分点，坐标法求解。设 $$B(0, 0)$$，$$C(2, 0)$$，则 $$A(1, \sqrt{3})$$，$$D\left(\frac{2}{3}, 0\right)$$，$$E\left(\frac{4}{3}, 0\right)$$。向量 $$\overrightarrow{AD} = \left(-\frac{1}{3}, -\sqrt{3}\right)$$，$$\overrightarrow{AE} = \left(\frac{1}{3}, -\sqrt{3}\right)$$。点积为 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AE} = -\frac{1}{9} + 3 = \frac{26}{9}$$，答案为 C。
4. 解析：$$\overrightarrow{a} = (2, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, \sqrt{3})$$，则 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3, \sqrt{3})$$。模长为 $$|3, \sqrt{3}| = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$$，答案为 B。
5. 解析：由 $$|\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}| = 9$$ 平方得 $$|\overrightarrow{m}|^2 + 4|\overrightarrow{n}|^2 - 4\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 81$$。代入 $$|\overrightarrow{m}| = 4$$，$$|\overrightarrow{n}| = 5$$，得 $$16 + 100 - 4\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 81$$，解得 $$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = \frac{35}{4}$$。夹角的余弦为 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|} = \frac{35/4}{20} = \frac{7}{16}$$，答案为 A。
6. 解析：$$\overrightarrow{AB} = (1, -2)$$，$$\overrightarrow{AC} = (3, \lambda)$$，则 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (2, \lambda + 2)$$。由于 $$\angle B = 90^\circ$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$，即 $$2 - 2(\lambda + 2) = 0$$，解得 $$\lambda = 1$$，答案为 B。
7. 解析：设 $$B(0, 0)$$，$$C(1, 0)$$，则 $$A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。$$D$$ 为 $$BC$$ 上靠近 $$C$$ 的三等分点，坐标为 $$\left(\frac{2}{3}, 0\right)$$。向量 $$\overrightarrow{AD} = \left(-\frac{1}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$\overrightarrow{AB} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。点积为 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{12} + \frac{3}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$，但选项中没有该答案。重新检查坐标设定，发现 $$BD = 2DC$$ 时 $$D$$ 的坐标应为 $$\left(\frac{2}{3}, 0\right)$$，计算点积为 $$\left(\frac{1}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{12} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$，答案为 C。
8. 解析：由 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta = 2$$，代入 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 4$$，得 $$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$，因此 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，答案为 C。
9. 解析：由 $$(\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$ 得 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b}) = 0$$，即 $$|\overrightarrow{a}|^2 - m \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。代入 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3}$$，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \frac{\pi}{6} = 3$$，得 $$3 - 3m = 0$$，解得 $$m = 1$$，答案为 B。
10. 解析：由 $$\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$$ 得 $$|\overrightarrow{a}| = |\lambda||\overrightarrow{b}|$$，即 $$1 = |\lambda| \times 2$$，故 $$\lambda = \pm \frac{1}{2}$$。当 $$\lambda = \frac{1}{2}$$ 时，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}\right| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{b}| = 1$$；当 $$\lambda = -\frac{1}{2}$$ 时，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \left|-\frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}\right| = \frac{3}{2}|\overrightarrow{b}| = 3$$。因此结果为 1 或 3，答案为 C。