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正确率60.0%已知$$| \boldsymbol{a} |=3 | \boldsymbol{b} | \neq0，$$关于$${{x}}$$的方程$$2 x^{2}+2 | \boldsymbol{a} | \boldsymbol{x}+3 \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=0$$有实根，则$${{a}}$$与$${{b}}$$夹角的取值范围是（）
B
A.$$[ 0， \ \frac{\pi} {6} \Big]$$
B.$$[ \frac{\pi} {3}， \， \， \pi\rbrack$$
C.$$[ \frac{\pi} {3}， ~ \frac{2 \pi} {3} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {6}， \， \， \pi\brack$$
2、['向量的数量积'， '向量的夹角']正确率80.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=1， | \overrightarrow{b} |=2$$，$$| 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=4$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角的余弦值为$${{(}{)}}$$
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=3， \， \， \， A D=2，$$$$\overrightarrow{A P}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{A Q}=\frac{1} {2} \overrightarrow{A D}，$$若$$\overrightarrow{C P} \cdot\overrightarrow{C Q}=1 2，$$则$$\angle A D C=$$（）
C
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
4、['数量积的性质'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$是两个非零向量，且$$| \vec{a} |=| \vec{b} |=| \vec{a}-\vec{b} |$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
D
A.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
5、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ ~ | \overrightarrow{b} |=2$$，且$$( 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )=9$$，则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$两向量的夹角为（）
D
A.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=1， | \overrightarrow{b} |=2$$，若$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b )} \bot\overrightarrow{a}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
7、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，且$$| \overrightarrow{A B} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{A C} |=4$$，若$$\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C}，$$且$$\overrightarrow{A P} \perp\overrightarrow{B C}，$$则实数$${{λ}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{4} {5}$$
C.$${{0}}$$
D.$$- \frac{2} {5}$$
8、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\overrightarrow{a}=\ ( 2， \ 0 ) \， \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \， t， \ 1 ) \， \， \，，$$且$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=| \overrightarrow{a} |，$$则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角大小为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
9、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=1， | \overrightarrow{b} |=2 \sqrt{3}， \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} )=-4$$，则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['向量的模'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知非零向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$满足$$3 | \overrightarrow{m} |=2 | \overrightarrow{n} |， ~ ~ \operatorname{c o s} \langle\overrightarrow{m}， \overrightarrow{n} \rangle=\frac{3} {4}$$.若$$( \overrightarrow{m}-\overrightarrow{n} ) \perp( t \overrightarrow{m}+\overrightarrow{n} )$$，则实数$${{t}}$$的值为
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{1} {9}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{−}{9}}$$
1. 由题意，方程 $$2x^2 + 2|\boldsymbol{a}|x + 3\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$ 有实根，判别式 $$\Delta \geq 0$$，即：
$$(2|\boldsymbol{a}|)^2 - 4 \times 2 \times 3\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \geq 0$$
化简得 $$|\boldsymbol{a}|^2 \geq 3\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$$。
代入 $$|\boldsymbol{a}| = 3|\boldsymbol{b}|$$，得 $$9|\boldsymbol{b}|^2 \geq 9|\boldsymbol{b}|^2 \cos\theta$$，即 $$\cos\theta \leq 1$$。
进一步要求 $$\cos\theta \geq \frac{1}{2}$$（因为 $$\theta \in [0, \pi]$$），所以 $$\theta \in \left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$$。答案为 B。
2. 由 $$|2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 4$$，平方得：
$$4|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 16$$
代入 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$$。
夹角的余弦值为 $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = -\frac{1}{2}$$。答案为 B。
3. 设 $$\angle ADC = \theta$$，则 $$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$$。
$$\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$。
点积 $$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{CQ} = \left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\right) \cdot \left(-\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right) = \frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|^2 + \frac{1}{2}|\overrightarrow{AD}|^2 + \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 12$$。
代入 $$|\overrightarrow{AB}| = 3$$，$$|\overrightarrow{AD}| = 2$$，解得 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 6\cos\theta = 0$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{2}$$。答案为 D。
4. 由 $$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$$，平方得：
$$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$，解得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2$$。
设夹角为 $$\phi$$，则 $$\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{a}|^2}{|\vec{a}| \cdot \sqrt{3}|\vec{a}|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故 $$\phi = 30^\circ$$。答案为 D。
5. 展开 $$(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 9$$，得：
$$2|\overrightarrow{a}|^2 + 3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = 9$$
代入 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$$。
夹角的余弦值为 $$\cos\theta = \frac{-1}{1 \times 2} = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = 120^\circ$$。答案为 C。
6. 由 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$，得 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$$，即 $$|\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。
代入 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$$。
夹角的余弦值为 $$\cos\theta = \frac{-1}{1 \times 2} = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = 120^\circ$$。答案为 C。
7. 由 $$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BC}$$，得 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$。
$$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{AC}$$，$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$。
点积为 $$(\overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 0$$，展开得：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - |\overrightarrow{AB}|^2 + \lambda |\overrightarrow{AC}|^2 - \lambda \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$
代入 $$|\overrightarrow{AB}| = 2$$，$$|\overrightarrow{AC}| = 4$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 4 \times \cos 60^\circ = 4$$，解得 $$\lambda = -\frac{4}{5}$$。答案为 B。
8. 由 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|$$，得 $$2t + 0 \times 1 = 2$$，故 $$t = 1$$。
夹角的余弦值为 $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{2}{\sqrt{4} \times \sqrt{1 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{4}$$。答案为 B。
9. 由 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = -4$$，得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{a}|^2 = -4$$。
代入 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3$$。
夹角的余弦值为 $$\cos\theta = \frac{-3}{1 \times 2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，故 $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$。答案为 D。
10. 由 $$(\overrightarrow{m} - \overrightarrow{n}) \perp (t\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n})$$，得 $$(\overrightarrow{m} - \overrightarrow{n}) \cdot (t\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n}) = 0$$。
展开得 $$t|\overrightarrow{m}|^2 + \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} - t\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} - |\overrightarrow{n}|^2 = 0$$。
设 $$|\overrightarrow{m}| = 2k$$，$$|\overrightarrow{n}| = 3k$$，则 $$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 2k \times 3k \times \frac{3}{4} = \frac{9k^2}{2}$$。
代入化简得 $$4tk^2 + \frac{9k^2}{2} - \frac{9tk^2}{2} - 9k^2 = 0$$，解得 $$t = -9$$。答案为 D。