1、['数量积的性质'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$均为单位向量，则“$${{a}{⊥}{b}}$$”是“$$| 2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} |$$”的（）
B
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} 2 \alpha， \; \; \operatorname{s i n} \alpha-1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; 1+\operatorname{s i n} \alpha)，$$且$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)=-3，$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{5} {3}$$
D.$${{−}{1}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B C=2， ~ \operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} C=2 \operatorname{s i n} A$$，则$${{B}{C}}$$边上的中线长的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
4、['数量积的性质']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为单位向量，且$$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \vert=\sqrt{3}，$$则$${{a}}$$与$${{2}{b}}$$的夹角为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
5、['数量积的性质'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{2}， \mathbf{1} )， \boldsymbol{b}=( \boldsymbol{x}， \mathbf{-2} )，$$若$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| 2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |$$，则实数$${{x}}$$的值为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$${{2}}$$
6、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=4$$上三点$$A， ~ B， ~ C$$，且$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{B C}，$$则$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B A}=( \eta)$$
C
A.$${{6}}$$
B.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{A B}=\ ( \frac{1} {2}， \ \frac{\sqrt{3}} {2} ) \， \ \overrightarrow{B C}=\ ( \ -1， \ 0 ) \ \，，$$则$$\angle B A C=\alpha$$）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
8、['向量的模'， '数量积的性质']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{\mathrm{O A}}=\overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{\mathrm{O B}}=\overrightarrow{b}， \， \， \， | \overrightarrow{\mathrm{O A}} |=5， \， \， \， | \overrightarrow{\mathrm{O B}} |=1 2， \， \， \， \angle\mathrm{A O B}=9 0$$则$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=($$）
C
A.$${{7}}$$
B.$${{1}{7}}$$
C.$${{1}{3}}$$
D.$${{8}}$$
9、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量垂直']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{3}}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '数量积的性质']正确率60.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，点$${{A}{，}{B}}$$分别在双曲线$${{C}}$$的两条渐近线上，$${{A}{F}{⊥}{x}}$$轴，$$\overrightarrow{B O} \cdot\overrightarrow{B A} < 0$$，四边形$${{O}{A}{F}{B}}$$为梯形，则双曲线$${{C}}$$离心率的取值范围是
A
A.$$( 1， \frac{2 \sqrt{3}} {3} )$$
B.$$( \frac{2 \sqrt{3}} {3}，+\infty)$$
C.$$( 1， 2 \sqrt{3} )$$
D.$$( 2 \sqrt{3}，+\infty)$$
1. 题目解析：
已知向量$${{a}{，}{b}}$$均为单位向量，则“$${{a}{⊥}{b}}$$”是“$$| 2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} |$$”的（）。
解析：
首先，计算$$| 2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |^2 = 4|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 + 1 - 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 5 - 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$
同理，$$| \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} |^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 4|\boldsymbol{b}|^2 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 + 4 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 5 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$
由题意$$5 - 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 5 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$，解得$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$，即$${{a}{⊥}{b}}$$。
因此，“$${{a}{⊥}{b}}$$”是“$$| 2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} |$$”的充要条件。
答案：B
2. 题目解析：
已知向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} 2 \alpha, \; \; \operatorname{s i n} \alpha-1 ), \; \; \overrightarrow{b}=( 1, \; 1+\operatorname{s i n} \alpha),$$且$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)=-3,$$求$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的值。
解析：
首先，利用$$\tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = -3$$，展开得：
$$\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = -3$$，解得$$\tan \alpha = 2$$。
因此，$$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
计算$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{5}$$。
向量点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sin 2\alpha \cdot 1 + (\sin \alpha - 1)(1 + \sin \alpha) = \frac{4}{5} + (\sin^2 \alpha - 1) = \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5} - 1\right) = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$。
答案：B
3. 题目解析：
在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B C=2, ~ \operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} C=2 \operatorname{s i n} A$$，求$${{B}{C}}$$边上的中线长的最小值。
解析：
由正弦定理，$$\sin B + \sin C = 2 \sin A$$等价于$$b + c = 2a$$。
已知$$a = BC = 2$$，因此$$b + c = 4$$。
中线长度公式：$$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2) - 4}$$。
由$$b + c = 4$$，利用不等式$$b^2 + c^2 \geq \frac{(b + c)^2}{2} = 8$$，当$$b = c = 2$$时取等。
因此，$$m_a \geq \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 8 - 4} = \frac{1}{2} \sqrt{12} = \sqrt{3}$$。
答案：C
4. 题目解析：
已知$${{a}{，}{b}}$$为单位向量，且$$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \vert=\sqrt{3},$$求$${{a}}$$与$${{2}{b}}$$的夹角。
解析：
由$$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \vert=\sqrt{3}$$，平方得$$|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 3$$。
因为$$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$$，所以$$1 + 1 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 3$$，解得$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}$$。
设$${{a}}$$与$${{2}{b}}$$的夹角为$$\theta$$，则$$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot 2\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |2\boldsymbol{b}|} = \frac{2 \times (-\frac{1}{2})}{1 \times 2} = -\frac{1}{2}$$。
因此，$$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。
答案：C
5. 题目解析：
已知向量$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{2}, \mathbf{1} ), \boldsymbol{b}=( \boldsymbol{x}, \mathbf{-2} ),$$若$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| 2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |$$，求实数$${{x}}$$的值。
解析：
计算$$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (2 + x)^2 + (1 - 2)^2 = (2 + x)^2 + 1$$。
计算$$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = (4 - x)^2 + (2 + 2)^2 = (4 - x)^2 + 16$$。
由题意$$(2 + x)^2 + 1 = (4 - x)^2 + 16$$，展开得$$4 + 4x + x^2 + 1 = 16 - 8x + x^2 + 16$$。
化简得$$12x = 27$$，解得$$x = \frac{9}{4}$$。
答案：C
6. 题目解析：
已知圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=4$$上三点$$A, ~ B, ~ C$$，且$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{B C},$$求$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B A}$$的值。
解析：
设$$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$$，$$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$$，$$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$$。
由题意$$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{c} - \boldsymbol{b}$$，即$$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$$。
因为$$A, B, C$$在圆上，$$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}| = 2$$。
计算$$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$$，$$\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$。
因此，$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - |\boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - 4$$。
又因为$$|\boldsymbol{c}|^2 = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 + 4 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 8 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4$$，解得$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -2$$。
因此，$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = -2 - 4 = -6$$。
答案：C
7. 题目解析：
已知向量$$\overrightarrow{A B}=\ ( \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2} ) \, \ \overrightarrow{B C}=\ ( \ -1, \ 0 ) \ \,,$$求$$\angle B A C$$。
解析：
首先，$$\overrightarrow{AB}$$的模为$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$$。
$$\overrightarrow{BC}$$的模为$$|\overrightarrow{BC}| = 1$$。
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，模为$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$$。
因此，三角形$$ABC$$是等边三角形，$$\angle BAC = 60^\circ$$。
答案：B
8. 题目解析：
已知$$\overrightarrow{\mathrm{O A}}=\overrightarrow{a}, \, \, \, \overrightarrow{\mathrm{O B}}=\overrightarrow{b}, \, \, \, | \overrightarrow{\mathrm{O A}} |=5, \, \, \, | \overrightarrow{\mathrm{O B}} |=12, \, \, \, \angle\mathrm{A O B}=90^\circ$$，求$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$。
解析：
由题意，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
因为$$\angle AOB = 90^\circ$$，所以$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。
因此，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 25 + 144 = 169$$，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 13$$。
答案：C
10. 题目解析：
已知双曲线$$C_{\colon} \, \, \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$的右焦点为$$F$$，点$$A, B$$分别在双曲线的两条渐近线上，$$AF \perp x$$轴，$$\overrightarrow{B O} \cdot \overrightarrow{B A} < 0$$，四边形$$OAFB$$为梯形，求双曲线离心率的取值范围。
解析：
双曲线的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$。
设$$A$$在$$y = \frac{b}{a}x$$上，$$B$$在$$y = -\frac{b}{a}x$$上。
因为$$AF \perp x$$轴，$$A$$的横坐标为$$c$$，纵坐标为$$\frac{b}{a}c$$。
由$$\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BA} < 0$$，可得$$B$$在第二象限。
四边形$$OAFB$$为梯形，因此$$OA \parallel BF$$或$$OF \parallel AB$$。
计算得离心率$$e = \frac{c}{a}$$，通过几何关系可得$$e > \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
答案：B
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