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正确率80.0%已知$${{a}^{→}}$$、$${{b}^{→}}$$是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$
B.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{2} {3} \overrightarrow{b}$$
C.$$\frac{3} {4} \overrightarrow{a}+\frac{1} {4} \overrightarrow{b}$$
D.$$- \frac{1} {5} \overrightarrow{a}+\frac{6} {5} \overrightarrow{b}$$
2、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%设点$${{M}}$$是线段$${{B}{C}}$$的中点，点$${{A}}$$在直线$${{B}{C}}$$外，若$$\frac{\vert\overrightarrow{B C} \vert} {}^{2}=1 6， \， \， \， | \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} |=| \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} |，$$则$$| \overrightarrow{A M} |=$$（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
4、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量垂直']正确率40.0%若平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ ~ | \overrightarrow{b} |=2$$，且$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$，则$$| 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{8}}$$
5、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率60.0%若$$\left| \overrightarrow{a} \right|=2， \left| \overrightarrow{b} \right|=4， \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right) \perp\overrightarrow{a}，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{4 \pi} {3}$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '向量垂直']正确率40.0%设椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}} {=} 1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，椭圆$${{C}}$$上的两点$${{A}{、}{B}}$$关于原点对称，且满足$$\overrightarrow{F A}. \overrightarrow{F B}=0， \; \; | F B | \leqslant| F A | \leqslant2 | F B |，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt5} {3} ]$$
B.$$( \frac{\sqrt{5}} {3}， 1 )$$
C.$$[ \frac{\sqrt2} 2， \sqrt3-1 ]$$
D.$$[ \sqrt{3}-1， 1 )$$
7、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=4， ~ | \overrightarrow{b} |=3$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$不共线，若向量$$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$$与$$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$$互相垂直，则$${{k}}$$的值为（）
A
A.$$\pm\frac{4} {3}$$
B.$$\pm\frac{3} {4}$$
C.$$\pm\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
8、['数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知非零向量$${{m}{⃗}{，}{{n}{⃗}}}$$满足$$\left| \vec{m} \left|=2 \right| \vec{n} \right|， \， \， \operatorname{c o s} \left< \vec{m}， \vec{n} \right>=\frac{1} {3}，$$若$$\vec{m} \perp( t \vec{n}+\vec{m} ) \，，$$则实数$${{t}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{6}}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
9、['数量积的运算律'， '向量垂直']正确率40.0%已知向量$$a， ~ b， ~ c$$满足$$| a |=1， \， \， c=a+b， \， \， c \perp a$$，则$$a \cdot b=( \eta)$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
10、['向量垂直'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$C : \frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的两个焦点，在$${{C}}$$上满足$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot P \overrightarrow{F_{2}}=0$$的点$${{P}}$$的个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.无数个
1. 由于$${{a}^{→}}$$和$${{b}^{→}}$$是互相垂直的单位向量，计算各选项的模：
A. $$\left| \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$
B. $$\left| \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$$
C. $$\left| \frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^2} = \frac{\sqrt{10}}{4} \approx 0.791$$
D. $$\left| -\frac{1}{5} \overrightarrow{a} + \frac{6}{5} \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{\left( -\frac{1}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2} = \frac{\sqrt{37}}{5} \approx 1.216$$
显然，D选项的模最大，因此答案为 D。
2. 由题意，点$${{M}}$$是线段$${{B}{C}}$$的中点，且$$|\overrightarrow{B C}|^2 = 16$$，即$$|\overrightarrow{B C}| = 4$$。根据向量关系$$|\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C}| = |\overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A C}|$$，平方后得到：
$$|\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C}|^2 = |\overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A C}|^2$$
展开得：$$|\overrightarrow{A B}|^2 + |\overrightarrow{A C}|^2 + 2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = |\overrightarrow{A B}|^2 + |\overrightarrow{A C}|^2 - 2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$$
化简得：$$4 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 0$$，即$$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 0$$，说明$${{A}}$$在以$${{B}{C}}$$为直径的圆上。
因此，$$|\overrightarrow{A M}|$$为圆的半径，即$$\frac{|\overrightarrow{B C}|}{2} = 2$$，答案为 C。
4. 由$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$，平方后得：
$$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$
化简得：$$4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，说明$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$垂直。
因此，$$|2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})} = \sqrt{4 |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2} = \sqrt{4 \times 1 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$$，答案为 B。
5. 由$$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$，得$$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0$$，即：
$$|\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$
代入已知$$|\overrightarrow{a}| = 2$$，得$$4 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -4$$。
设夹角为$$\theta$$，则$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-4}{2 \times 4} = -\frac{1}{2}$$，因此$$\theta = \frac{2 \pi}{3}$$，答案为 C。
6. 设椭圆离心率为$$e$$，右焦点$$F(c, 0)$$，点$$A(x, y)$$，则$$B(-x, -y)$$。由$$\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B} = 0$$，得：
$$(x - c)(-x - c) + y(-y) = 0$$，即$$-x^2 + c^2 - y^2 = 0$$，整理得$$x^2 + y^2 = c^2$$。
结合椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，消去$$y$$得$$x^2 = \frac{a^2 (c^2 - b^2)}{a^2 - b^2}$$。
由$$|F B| \leq |F A| \leq 2 |F B|$$，代入距离公式并化简，最终得到$$e \in \left[ \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3} \right]$$，答案为 A。
7. 由$$(\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}) \perp (\overrightarrow{a} - k \overrightarrow{b})$$，得：
$$(\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - k \overrightarrow{b}) = 0$$，即$$|\overrightarrow{a}|^2 - k^2 |\overrightarrow{b}|^2 = 0$$。
代入$$|\overrightarrow{a}| = 4$$，$$|\overrightarrow{b}| = 3$$，得$$16 - 9k^2 = 0$$，解得$$k = \pm \frac{4}{3}$$，答案为 A。
8. 由$$\vec{m} \perp (t \vec{n} + \vec{m})$$，得$$\vec{m} \cdot (t \vec{n} + \vec{m}) = 0$$，即：
$$t \vec{m} \cdot \vec{n} + |\vec{m}|^2 = 0$$。
已知$$|\vec{m}| = 2 |\vec{n}|$$，设$$|\vec{n}| = 1$$，则$$|\vec{m}| = 2$$，且$$\cos \left< \vec{m}, \vec{n} \right> = \frac{1}{3}$$，即$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \times 1 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$。
代入得$$t \times \frac{2}{3} + 4 = 0$$，解得$$t = -6$$，答案为 A。
9. 由$$c = a + b$$且$$c \perp a$$，得$$c \cdot a = 0$$，即：
$$(a + b) \cdot a = 0$$，展开得$$|a|^2 + a \cdot b = 0$$。
代入$$|a| = 1$$，得$$1 + a \cdot b = 0$$，即$$a \cdot b = -1$$，答案为 B。
10. 椭圆$$C: \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$$的半长轴$$a = 2 \sqrt{2}$$，半短轴$$b = 2$$，焦距$$c = 2$$。设点$$P(x, y)$$在椭圆上，满足$$\overrightarrow{P F_1} \cdot \overrightarrow{P F_2} = 0$$，即$$(x + 2)(x - 2) + y^2 = 0$$，整理得$$x^2 + y^2 = 4$$。
联立椭圆方程，解得$$x^2 = 4$$，$$y^2 = 0$$，即$$P(\pm 2, 0)$$。但$$(\pm 2, 0)$$不在椭圆上（因为$$\frac{4}{8} + \frac{0}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$$），因此无解，答案为 A。