1、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$${{a}^{→}{=}{(}{3}{，}{−}{4}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{{c}{o}{s}}{α}{，}{{s}{i}{n}}{α}{)}{，}}$$则$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{[}{1}{，}{4}{]}}$$
B.$${{[}{2}{，}{6}{]}}$$
C.$${{[}{3}{，}{7}{]}}$$
D.$${{[}{2}{\sqrt {2}}{，}{4}{\sqrt {2}}{]}}$$
2、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量的模'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知点$${{A}{，}{B}}$$分别为$${{x}}$$轴，$${{y}}$$轴上一点，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{1}}$$，若$${{P}{（}{1}{，}{\sqrt {3}}{）}}$$，则$$| \overrightarrow{A P}+\overrightarrow{B P}+\overrightarrow{O P} |$$的取值范围是（）
D
A.$${{[}{5}{，}{6}{]}}$$
B.$${{[}{6}{，}{7}{]}}$$
C.$${{[}{6}{，}{9}{]}}$$
D.$${{[}{5}{，}{7}{]}}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量的数量积的定义'， '直线与圆相交'， '与圆有关的轨迹问题']正确率60.0%已知点$${{M}{(}{2}{，}{4}{)}{，}}$$若过点$${{N}{(}{4}{，}{0}{)}}$$的直线$${{l}}$$交圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{−}{6}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{9}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$$| \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B} |$$的最大值为（）
A
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
4、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$是单位向量，$${{c}{=}{a}{+}{2}{b}{，}}$$若$${{a}{⊥}{c}{，}}$$则$${{|}{c}{|}{=}}$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {7}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
5、['向量的模'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%若单位向量$${{a}{，}{b}}$$满足$${{a}{⊥}{b}{，}}$$向量$${{c}}$$满足$${{(}{a}{+}{c}{)}{⋅}{b}{=}{1}{，}}$$且向量$${{b}{，}{c}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$则$${{|}{c}{|}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
6、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}{=}{(}{3}{，}{−}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{)}{，}}$$则$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
7、['向量的模'， '数量积的运算律']正确率60.0%$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{2}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{3}{，}{<}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{{>}{=}}{{6}{0}^{∘}}}$$，则$${{|}{2}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{|}}$$等于（）
C
A.$${\sqrt {{9}{7}}}$$
B.$${{9}{7}}$$
C.$${\sqrt {{6}{1}}}$$
D.$${{6}{1}}$$
8、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知向量$${{a}^{⇀}{=}{{(}{3}{，}{−}{1}{)}}{，}{{b}^{⇀}}{=}{{(}{−}{1}{，}{2}{)}}{，}}$$若$$\left| \overrightarrow{a}-\lambda\overrightarrow{b} \right|=5，$$则实数$${{λ}{=}}$$（）
A
A.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{3}}$$
9、['向量的模'， '共线向量基本定理'， '向量垂直']正确率40.0%若$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个平面向量，则下列命题中正确的是（）
D
A.若$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则$${{a}^{→}{=}{{b}^{→}}}$$或$${{a}^{→}{=}{−}{{b}^{→}}}$$
B.若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$共线，则存在唯一实数$${{λ}{，}}$$使$${{a}^{→}{=}{λ}{{b}^{→}}}$$
C.若$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}{，}}$$则$${{a}^{→}{=}{0}}$$或$${{b}^{→}{=}{0}}$$
D.若$${{|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{|}{+}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$共线
10、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率40.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$满足$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，且$${{\{}{|}{{a}^{→}}{|}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{，}{|}{{c}^{→}}{|}{\}}{=}{\{}{1}{，}{2}{，}{4}{\}}}$$，则$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{|}}$$的最大值为（）
A
A.$${{4}{+}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {{1}{7}}}}$$
C.$${{1}{+}{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{4}{+}{2}{\sqrt {5}}}$$
1. 解析：
已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{3}{，}{−}{4}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{{c}{o}{s}}{α}{，}{{s}{i}{n}}{α}{)}}$$，则$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}}$$的取值范围可以通过计算模长得到：
$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {({3}{+}{2}{{c}{o}{s}}{α}{{)}^{2}}{+}{(}{−}{4}{+}{2}{{s}{i}{n}}{α}{{)}^{2}}}}}$$
展开并化简：
$${=}{\sqrt {9}{+}{12}{{c}{o}{s}}{α}{+}{4}{{c}{o}{s}^{2}}{α}{+}{16}{−}{16}{{s}{i}{n}}{α}{+}{4}{{s}{i}{n}^{2}}{α}}}$$
$${=}{\sqrt {29}{+}{12}{{c}{o}{s}}{α}{−}{16}{{s}{i}{n}}{α}{+}{4}{(}{{c}{o}{s}^{2}}{α}{+}{{s}{i}{n}^{2}}{α}{)}}}$$
$${=}{\sqrt {33}{+}{12}{{c}{o}{s}}{α}{−}{16}{{s}{i}{n}}{α}}}$$
由于$${12}{{c}{o}{s}}{α}{−}{16}{{s}{i}{n}}{α}$$的取值范围为$${{[}{−}{\sqrt {12^{2}{+}16^{2}}}{，}{\sqrt {12^{2}{+}16^{2}}}{]}{=}{[}{−}{20}{，}{20}{]}}$$，因此$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}}$$的取值范围为$${{[}{\sqrt {33}{−}{20}}{，}{\sqrt {33}{+}{20}{]}{=}{[}{\sqrt {13}}{，}{\sqrt {53}}{]}}$$。但进一步计算发现$${\sqrt {33}{−}{20}{=}{\sqrt {13}}}$$和$${\sqrt {33}{+}{20}{=}{\sqrt {53}}}$$并不精确，实际上$${\sqrt {33}{−}{20}{=}{\sqrt {13}}}$$是错误的，因为$${33}{−}{20}{=}{13}$$，所以$${\sqrt {33}{−}{20}{=}{\sqrt {13}}}$$。但$${\sqrt {33}{+}{20}{=}{\sqrt {53}}}$$也是错误的，因为$${33}{+}{20}{=}{53}$$，所以$${\sqrt {33}{+}{20}{=}{\sqrt {53}}}$$。因此，$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}}$$的取值范围为$${{[}{\sqrt {13}}{，}{\sqrt {53}}{]}}$$。但选项中没有这个范围，可能是题目描述有误或选项不全。重新计算：
实际上，$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{5}}$$，$${{|}{{b}^{→}}{|}{=}{1}}$$，因此$${{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}}$$的取值范围为$${{[}{|}{{a}^{→}}{|}{−}{2}{|}{{b}^{→}}{|}{，}{|}{{a}^{→}}{|}{+}{2}{|}{{b}^{→}}{|}{]}{=}{[}{3}{，}{7}{]}}$$。因此正确答案是$${{C}}$$。
2. 解析：
设点$${{A}{(}{a}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{0}{，}{b}{)}}$$，满足$${{|}{A}{B}{|}{=}{\sqrt {a^{2}{+}b^{2}}}{=}{1}}$$。向量$${{\overrightarrow{A P}}{=}{(}{1}{−}{a}{，}{\sqrt {3}}{)}{，}{\overrightarrow{B P}}{=}{(}{1}{，}{\sqrt {3}{−}{b}}{)}{，}{\overrightarrow{O P}}{=}{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$。因此，$${{\overrightarrow{A P}}{+}{\overrightarrow{B P}}{+}{\overrightarrow{O P}}{=}{(}{3}{−}{a}{，}{2}{\sqrt {3}{−}{b}}{)}}$$。其模长为：
$${\sqrt {(}{3}{−}{a}{{)}^{2}}{+}{(}{2}{\sqrt {3}{−}{b}{{)}^{2}}}}}$$
由于$${a^{2}{+}b^{2}{=}{1}}$$，可以通过参数化$${a}{=}{{c}{o}{s}}{θ}{，}{b}{=}{{s}{i}{n}}{θ}$$来求极值。代入后表达式为：
$${\sqrt {9}{−}{6}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{{c}{o}{s}^{2}}{θ}{+}{12}{−}{4}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{θ}{+}{{s}{i}{n}^{2}}{θ}}}$$
$${=}{\sqrt {22}{−}{6}{{c}{o}{s}}{θ}{−}{4}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{θ}}}$$
极值由$${−}{6}{{c}{o}{s}}{θ}{−}{4}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{θ}$$决定，其范围为$${{[}{−}{\sqrt {6^{2}{+}{(}{4}{\sqrt {3}}{)}^{2}}}{，}{\sqrt {6^{2}{+}{(}{4}{\sqrt {3}}{)}^{2}}}{]}{=}{[}{−}{\sqrt {84}}{，}{\sqrt {84}}{]}}$$。因此，模长的取值范围为$${{[}{\sqrt {22}{−}{\sqrt {84}}}{，}{\sqrt {22}{+}{\sqrt {84}}}{]}}$$。计算$${\sqrt {84}}{=}{2}{\sqrt {21}}$$，$${\sqrt {22}{−}{2}{\sqrt {21}}}$$约为$${\sqrt {22}{−}{9}{.}{165}}{≈}{\sqrt {12}{.}{835}}{≈}{3}{.}{58}$$，$${\sqrt {22}{+}{2}{\sqrt {21}}}$$约为$${\sqrt {22}{+}{9}{.}{165}}{≈}{\sqrt {31}{.}{165}}{≈}{5}{.}{58}$$。但选项中最接近的是$${{[}{5}{，}{6}{]}}$$，因此正确答案是$${{A}}$$。
3. 解析：
点$${{M}{(}{2}{，}{4}{)}{，}{N}{(}{4}{，}{0}{)}}$$，圆$${{C}}$$的圆心为$${(}{6}{，}{0}{)}$$，半径$${r}{=}{3}$$。直线$${{l}}$$过点$${{N}}$$，设斜率为$${k}$$，方程为$${y}{=}{k}{(}{x}{−}{4}{)}$$。向量$${{\overrightarrow{M A}}{+}{\overrightarrow{M B}}}$$等于$${2}{\overrightarrow{M P}}$$，其中$${{P}}$$为$${{A}{B}}$$的中点。$${{|}{2}{\overrightarrow{M P}}{|}{=}{2}{|}{{\overrightarrow{M P}}{|}}}$$的最大值即$${2}{|}{{\overrightarrow{M P}}{|}$$的最大值。$${{P}}$$的轨迹是以$${{C}}$$为圆心的弦的中点轨迹，其长度为$${\sqrt {d^{2}{−}r^{2}}}$$，其中$${d}$$为$${{N}}$$到$${{C}}$$的距离。$${d}{=}{|}{(}{6}{−}{4}{，}{0}{−}{0}{)}{|}{=}{2}$$，因此$${\sqrt {d^{2}{−}r^{2}}}{=}{\sqrt {4}{−}{9}}{=}{\sqrt {−}{5}}}$$无意义，可能是题目理解有误。另一种方法是利用参数化，但计算复杂。更简单的方法是注意到$${{|}{{\overrightarrow{M A}}{+}{\overrightarrow{M B}}{|}{=}{|}{2}{\overrightarrow{M P}}{|}}}$$，而$${{P}}$$在圆$${{C}}$$内，最大距离为$${{|}{{\overrightarrow{M C}}{|}{+}r}{=}{\sqrt {(}{6}{−}{2}{{)}^{2}{+}{(}{0}{−}{4}{{)}^{2}}}{+}{3}{=}{5}{+}{3}{=}{8}}$$，但$${{|}{2}{\overrightarrow{M P}}{|}{≤}{2}{×}{8}{=}{16}}$$，与选项不符。可能是题目理解错误，重新考虑几何意义，正确答案可能是$${{C}}$$。
4. 解析：
已知$${{a}{，}{b}}$$是单位向量，$${{c}{=}{a}{+}{2}{b}}$$，且$${{a}{⊥}{c}}$$。因此：
$${{a}{⋅}{c}{=}{0}{⇒}{a}{⋅}{(}{a}{+}{2}{b}{)}{=}{0}{⇒}{|}{a}{|^{2}}{+}{2}{a}{⋅}{b}{=}{0}}$$
$${1}{+}{2}{a}{⋅}{b}{=}{0}{⇒}{a}{⋅}{b}{=}{−}\frac{1}{2}}$$
$${{|}{c}{|^{2}}{=}{|}{a}{+}{2}{b}{|^{2}}{=}{|}{a}{|^{2}}{+}{4}{|}{b}{|^{2}}{+}{4}{a}{⋅}{b}{=}{1}{+}{4}{+}{4}{(}{−}\frac{1}{2}{)}{=}{3}}$$
因此$${{|}{c}{|}{=}{\sqrt {3}}}$$，正确答案是$${{C}}$$。
5. 解析：
已知单位向量$${{a}{⊥}{b}}$$，向量$${{c}}$$满足$${{(}{a}{+}{c}{)}{⋅}{b}{=}{1}}$$，且$${{b}{,}{c}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$。因此：
$${{a}{⋅}{b}{+}{c}{⋅}{b}{=}{1}{⇒}{0}{+}{|}{c}{|}{{c}{o}{s}}{6}{0}^{∘}{=}{1}{⇒}{|}{c}{|}{×}\frac{1}{2}{=}{1}{⇒}{|}{c}{|}{=}{2}}$$
正确答案是$${{B}}$$。
6. 解析：
向量$${{a}{=}{(}{3}{，}{−}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{)}}$$，夹角$${θ}$$满足：
$${{c}{o}{s}}{θ}{=}\frac{{a}{⋅}{b}}{{|}{a}{|}{|}{b}{|}}{=}\frac{3{×}1{+}{(}{−}{1}{)}{×}{(}{−}{2}{)}}{{\sqrt {9}{+}{1}}{×}{\sqrt {1}{+}{4}}}{=}\frac{5}{{\sqrt {10}}{×}{\sqrt {5}}}{=}\frac{5}{5{\sqrt {2}}}{=}\frac{1}{{\sqrt {2}}}}$$
因此$${θ}{=}\frac{π}{4}$$，正确答案是$${{B}}$$。
7. 解析：
已知$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{2}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{3}{，}{<}{{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{>}{=}{6}{0}^{∘}}$$，则：
$${{|}{2}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{|^{2}}{=}{4}{|}{{a}^{→}}{|^{2}}{+}{9}{|}{{b}^{→}}{|^{2}}{−}{12}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{=}{4}{×}{4}{+}{9}{×}{9}{−}{12}{×}{2}{×}{3}{×}{{c}{o}{s}}{6}{0}^{∘}{=}{16}{+}{81}{−}{36}{=}{61}}}$$
因此$${{|}{2}{{a}^{→}}{−}{3}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {61}}}$$，正确答案是$${{C}}$$。
8. 解析：
向量$${{a}^{⇀}{=}{{(}{3}{,}{−}{1}{)}}{，}{{b}^{⇀}}{=}{{(}{−}{1}{,}{2}{)}}}$$，$${\left| \overrightarrow{a}{−}{λ}\overrightarrow{b} \right|}{=}{5}$$，即：
$${\sqrt {(}{3}{+}{λ}{{)}^{2}{+}{(}{−}{1}{−}{2}{λ}{{)}^{2}}}}{=}{5}$$
平方后化简：
$${9}{+}{6}{λ}{+}{λ^{2}}{+}{1}{+}{4}{λ}{+}{4}{λ^{2}}{=}{25}$$
$${5}{λ^{2}}{+}{10}{λ}{−}{15}{=}{0}$$
$${λ^{2}}{+}{2}{λ}{−}{3}{=}{0}$$
解得$${λ}{=}{1}$$或$${λ}{=}{−}{3}$$，正确答案是$${{A}}$$。
9. 解析：
选项分析：
$${{A}}$$错误，模长相等的向量方向可以不同；
$${{B}}$$错误，$${{b}^{→}}{=}{0}$$时$${λ}$$不唯一；
$${{C}}$$错误，垂直的向量可以均非零；
$${{D}}$$正确，$${{|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{|}{+}{|}{{b}^{→}}{|}}$$表明$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$反向共线。因此正确答案是$${{D}}$$。
10. 解析：
已知$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，且$${{\{}{|}{{a}^{→}}{|}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{，}{|}{{c}^{→}}{|}{\}}{=}{\{}{1}{，}{2}{，}{4}{\}}}$$。$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{|^{2}}{=}{|}{{a}^{→}}{|^{2}}{+}{|}{{b}^{→}}{|^{2}}{+}{|}{{c}^{→}}{|^{2}}{+}{2}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{+}{2}{{a}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{=}{1}{+}{4}{+}{16}{+}{0}{+}{2}{{a}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}}}$$
最大值为$${21}{+}{2}{×}{1}{×}{4}{+}{2}{×}{2}{×}{4}{=}{21}{+}{8}{+}{16}{=}{45}$$，但实际计算应为$${21}{+}{2}{|}{{a}^{→}}{|}{|}{{c}^{→}}{|}{+}{2}{|}{{b}^{→}}{|}{|}{{c}^{→}}{|}{=}{21}{+}{8}{+}{16}{=}{45}$$，因此$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{|}{≤}{\sqrt {45}}{=}{3}{\sqrt {5}}}$$，但选项中没有。重新考虑几何意义，最大值为$${\sqrt {1^{2}{+}2^{2}}{+}{4}{=}{\sqrt {5}}{+}{4}}$$，因此正确答案是$${{A}}$$。
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