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正确率80.0%向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$，$$| \overrightarrow{a} |=1$$，$$| \overrightarrow{b} |=3$$，$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上投影数量为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['投影的数量']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-1，-2 )$$，向量$$\vec{b}=(-3， 4 )$$，则向量$${{a}{⃗}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影数量为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{−}{\sqrt {5}}}$$
4、['投影的数量'， '两个向量数量积的几何意义']正确率60.0%已知$$| \stackrel{\rightarrow} {b} |=3， \; \; \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-1 8$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影是
C
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{2}}$$
5、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '投影的数量']正确率40.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=4， \， \， \overrightarrow{b}=( 1， 2 )， \， \， ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{b}=1 0$$则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影的数量']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{6}{0}{^{∘}}}$$，且$$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=2，$$则向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$在向量$${{a}^{→}}$$方向上的投影为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
7、['向量的模'， '数量积的运算律'， '投影的数量']正确率60.0%已知向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{m} |=1， \; \; | \overrightarrow{n} |=2， \; \; | \overrightarrow{m}+\overrightarrow{n} |=\sqrt{7}$$，则$${{n}^{→}}$$在$${{m}^{→}}$$上的投影为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
8、['空间向量的数量积'， '投影的数量']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 2 )， \， \overrightarrow{b}=(-2， 1， 1 )$$，则向量$${{b}^{→}}$$在向量$${{a}^{→}}$$上的投影向量为$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\frac{2} {9}，-\frac{4} {9}，-\frac{4} {9} )$$
B.$$( \frac{2} {9}， \frac{4} {9}， \frac{4} {9} )$$
C.$$(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3}， \frac{1} {3} )$$
D.$$( \frac{2} {3}，-\frac{1} {3}，-\frac{1} {3} )$$
9、['空间向量的数量积'， '投影的数量']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-3， 0 )， \overrightarrow{b}=( 0， 3， 4 )$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影数量为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
B.$$\frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
C.$$\frac{9} {5}$$
D.$$- \frac{9} {5}$$
10、['投影的数量']正确率80.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=1$$，$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影的数量为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
1. 向量 $$ \overrightarrow{a} $$ 在 $$ \overrightarrow{b} $$ 上的投影数量公式为 $$ |\overrightarrow{a}| \cos \theta $$，其中 $$ \theta = \frac{\pi}{3} $$。代入已知条件：$$ 1 \times \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$。正确答案是 D。
2. 投影数量公式为 $$ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} $$。先计算点积 $$ (-1)(-3) + (-2)(4) = 3 - 8 = -5 $$，再计算 $$ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 $$。因此投影为 $$ \frac{-5}{5} = -1 $$。正确答案是 B。
4. 投影数量公式为 $$ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} $$。代入已知条件：$$ \frac{-18}{3} = -6 $$。正确答案是 C。
5. 先展开 $$ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = 10 $$。已知 $$ \overrightarrow{b} = (1, 2) $$，所以 $$ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{5} $$，$$ |\overrightarrow{b}|^2 = 5 $$。解得 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 $$。投影数量为 $$ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} $$。正确答案是 D。
6. 向量 $$ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} $$ 在 $$ \overrightarrow{a} $$ 上的投影为 $$ \frac{(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{2} $$。已知 $$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 2 \times \cos 60^\circ = 2 $$，所以投影为 $$ \frac{4 + 2}{2} = 3 $$。正确答案是 A。
7. 根据 $$ |\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n}|^2 = |\overrightarrow{m}|^2 + |\overrightarrow{n}|^2 + 2 \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} $$，代入得 $$ 7 = 1 + 4 + 2 \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} $$，解得 $$ \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 1 $$。投影数量为 $$ \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|} = 1 $$。正确答案是 A。
8. 投影向量公式为 $$ \left( \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2} \right) \overrightarrow{a} $$。先计算点积 $$ (-2)(1) + 1(2) + 1(2) = 2 $$，再计算 $$ |\overrightarrow{a}|^2 = 9 $$。因此投影向量为 $$ \frac{2}{9} (1, 2, 2) = \left( \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9} \right) $$。正确答案是 B。
9. 投影数量公式为 $$ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} $$。点积 $$ 2 \times 0 + (-3) \times 3 + 0 \times 4 = -9 $$，$$ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{0 + 9 + 16} = 5 $$。因此投影为 $$ \frac{-9}{5} $$。正确答案是 D。
10. 投影数量为 $$ |\overrightarrow{a}| \cos \theta = 1 \times \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$。正确答案是 B。