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正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 3 )，$$$$\overrightarrow{b}=( 3， 0，-1 )，$$$$\overrightarrow{c}=\left(-\frac{1} {5}， 1，-\frac{3} {5} \right)$$给出下列等式：
①$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} |$$；
②$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )$$；
③$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}$$
④$$( \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c} )$$.
其中正确的个数是（）
D
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
2、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的性质'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1，-2 )， \， \， \， \overrightarrow{a} \cdot\， \overrightarrow{b}=-\left| \overrightarrow{a} \right| \left| \overrightarrow{b} \right|，$$且$$\left| \overrightarrow{b} \right|=6，$$则向量$${{b}^{→}}$$的坐标为
A
A.$$(-4， 2， 4 )$$
B.$$( 4，-2，-4 )$$
C.$$(-4， 2，-4 )$$
D.$$( 4， 2，-4 )$$
3、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$${{i}^{→}{，}{{j}^{→}}}$$为互相垂直的单位向量，$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}-2 \overrightarrow{j}， \， \， \， \overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+\lambda\overrightarrow{j}$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为锐角，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \mathrm{\Phi}-\infty， \ \frac{1} {2} )$$
B.$$( \mathbf{\tau}-2， \mathbf{\tau} \frac{2} {3} ) \cup\mathbf{\tau} ( \frac{2} {3}， \mathbf{\tau}+\infty)$$
C.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-2 ) \mathrm{~} \cup\mathrm{~} ( \mathrm{~}-2， \mathrm{~} \frac{1} {2} )$$
D.$$( \frac{1} {2}， \enskip+\infty)$$
4、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量的模'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%设$$x， y \in R$$，向量$$\overrightarrow{a} \!=\! ( x， 1 )， \overrightarrow{b} \!=\! ( 2， y )， \overrightarrow{c} \!=\! (-1， \! 1 )， \overrightarrow{a} \! \perp\overrightarrow{c}， \overrightarrow{b} / / \overrightarrow{c}，$$则$$| \vec{a}+\vec{b} |=( \slash{} )$$
C
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知$${{a}^{⇀}{、}{{b}^{⇀}}}$$为非零向量，且$${{a}^{⇀}{、}{{b}^{⇀}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$若$$p=\frac{\overrightarrow{a}} {\left| \overrightarrow{a} \right|}+\frac{\overrightarrow{b}} {\left| \overrightarrow{b} \right|}$$，则$$| p |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ 1 ) \;， \; \; \overrightarrow{b}=\ ( 2， \ m ) \;， \; \; \overrightarrow{a} \perp\; ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \;，$$则$$\vert\overrightarrow{b} \vert=($$）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
7、['共线向量基本定理'， '向量的模'， '向量的夹角'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%若平面向量$${{b}^{⃗}}$$与向量$$\vec{a}=( 1，-2 )$$的夹角是$${{1}{8}{0}^{0}}$$，且$$| \vec{b} |=3 \sqrt{5}$$，则$${{b}^{⃗}{=}{（}}$$）
A
A.$$(-3， 6 )$$
B.$$( 3，-6 )$$
C.$$( 6，-3 )$$
D.$$(-6， 3 )$$
8、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知单位向量$${{a}^{→}}$$与单位向量$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则$${{b}^{→}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$或$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
9、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知平面向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， \; | \overrightarrow{b} |=2， \; | \overrightarrow{c} |=3$$，且$$\to， ~ \to， ~ \to$$两两所成的角相等，则$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} |$$等于（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{6}}$$或$${\sqrt {2}}$$
D.$${{6}}$$或$${\sqrt {3}}$$
10、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{O C}=( 2， 2 )， \overrightarrow{C A}=\left( \sqrt{2} \mathrm{c o s} \alpha， \sqrt{2} \mathrm{s i n} \alpha\right)，$$则$$\overrightarrow{O A}$$的模的最大值是（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}{8}}$$
### 第一题解析 **问题分析**：题目给出了三个向量 $$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$、$$\overrightarrow{c}$$，并给出了四个等式，要求判断其中正确的个数。 **步骤1：验证等式①** 等式①为 $$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} |$$。 首先计算 $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$ 和 $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$： $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} = (1+3-\frac{1}{5}, 2+0+1, 3-1-\frac{3}{5}) = \left(\frac{19}{5}, 3, \frac{7}{5}\right)$$ $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} = (1-3+\frac{1}{5}, 2-0-1, 3+1+\frac{3}{5}) = \left(-\frac{9}{5}, 1, \frac{23}{5}\right)$$ 然后计算它们的模： $$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}| = \sqrt{\left(\frac{19}{5}\right)^2 + 3^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{361}{25} + 9 + \frac{49}{25}} = \sqrt{\frac{410}{25} + 9} = \sqrt{\frac{410 + 225}{25}} = \sqrt{\frac{635}{25}} = \sqrt{25.4}$$ $$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}| = \sqrt{\left(-\frac{9}{5}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{23}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{25} + 1 + \frac{529}{25}} = \sqrt{\frac{610}{25} + 1} = \sqrt{\frac{635}{25}} = \sqrt{25.4}$$ 因此，等式①成立。 **步骤2：验证等式②** 等式②为 $$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )$$。 计算左边和右边： 左边：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = (4, 2, 2) \cdot \left(-\frac{1}{5}, 1, -\frac{3}{5}\right) = 4 \times -\frac{1}{5} + 2 \times 1 + 2 \times -\frac{3}{5} = -\frac{4}{5} + 2 - \frac{6}{5} = 2 - 2 = 0$$ 右边：$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = (1,2,3) \cdot \left(\frac{14}{5}, 1, -\frac{8}{5}\right) = 1 \times \frac{14}{5} + 2 \times 1 + 3 \times -\frac{8}{5} = \frac{14}{5} + 2 - \frac{24}{5} = 2 - 2 = 0$$ 因此，等式②成立。 **步骤3：验证等式③** 等式③为 $$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}$$。 计算左边和右边： 左边：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2 = \left(\frac{19}{5}\right)^2 + 3^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 25.4$$ 右边：$$\overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}^2 + \overrightarrow{c}^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 0^2 + (-1)^2 + \left(-\frac{1}{5}\right)^2 + 1^2 + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 + 4 + 9 + 9 + 0 + 1 + \frac{1}{25} + 1 + \frac{9}{25} = 25 + \frac{10}{25} = 25.4$$ 因此，等式③成立。 **步骤4：验证等式④** 等式④为 $$( \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c} )$$。 首先，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 3 + 2 \times 0 + 3 \times (-1) = 0$$，所以左边为 $$0 \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$$。 右边 $$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 3 \times -\frac{1}{5} + 0 \times 1 + (-1) \times -\frac{3}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 0$$，所以右边为 $$\overrightarrow{a} \cdot 0 = 0$$。 虽然两边结果相同，但左边是向量乘以标量，右边是标量乘以向量，数学上不成立。因此等式④不成立。 **结论**：只有①、②、③成立，共3个。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第二题解析 **问题分析**：已知向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 的点积等于负的模的乘积，且 $$\overrightarrow{b}$$ 的模为6，求 $$\overrightarrow{b}$$ 的坐标。 **步骤1：理解条件** $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$$ 意味着 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 方向相反，即 $$\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$$，其中 $$k < 0$$。 **步骤2：计算 $$|\overrightarrow{a}|$$** $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$ 根据条件，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3 \times 6 = -18$$。 **步骤3：设 $$\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$$** $$\overrightarrow{b} = k (2, -1, -2) = (2k, -k, -2k)$$ 点积 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 2k + (-1) \times (-k) + (-2) \times (-2k) = 4k + k + 4k = 9k = -18$$ 解得 $$k = -2$$。 **步骤4：求 $$\overrightarrow{b}$$** $$\overrightarrow{b} = -2 \times (2, -1, -2) = (-4, 2, 4)$$ 验证模：$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$$，符合条件。 **结论**：正确答案是A选项。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第三题解析 **问题分析**：已知两个向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 的表达式，要求它们的夹角为锐角时，实数 $$\lambda$$ 的取值范围。 **步骤1：计算点积** $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}) \cdot (\overrightarrow{i} + \lambda \overrightarrow{j}) = 1 \times 1 + (-2) \times \lambda = 1 - 2\lambda$$ 夹角为锐角的条件是点积大于0且不共线。 **步骤2：点积大于0** $$1 - 2\lambda > 0 \Rightarrow \lambda < \frac{1}{2}$$。 **步骤3：排除共线情况** 如果 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 共线，存在 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b}$$，即 $$1 = k \times 1$$ 且 $$-2 = k \lambda$$，解得 $$k=1$$ 且 $$\lambda=-2$$。 因此，当 $$\lambda = -2$$ 时，夹角为0度，不满足锐角条件。 **结论**：综合条件，$$\lambda < \frac{1}{2}$$ 且 $$\lambda \neq -2$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第四题解析 **问题分析**：已知向量 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 垂直，$$\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 平行，要求 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$$。 **步骤1：利用垂直条件** $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c} \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = x \times (-1) + 1 \times 1 = -x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$。 **步骤2：利用平行条件** $$\overrightarrow{b} \parallel \overrightarrow{c} \Rightarrow \frac{2}{-1} = \frac{y}{1} \Rightarrow y = -2$$。 **步骤3：计算向量和** $$\overrightarrow{a} = (1, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, -2)$$ $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3, -1)$$ $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$。 **结论**：正确答案是C选项。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第五题解析 **问题分析**：已知两个非零向量的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，定义向量 $$p$$ 为单位向量的和，要求 $$|p|$$。 **步骤1：计算单位向量** $$p = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} + \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$$，设 $$\hat{a} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$$，$$\hat{b} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$$，则 $$p = \hat{a} + \hat{b}$$。 **步骤2：计算模** $$|p|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2 \hat{a} \cdot \hat{b} = 1 + 1 + 2 \times 1 \times 1 \times \cos \frac{\pi}{3} = 2 + 1 = 3$$ 因此，$$|p| = \sqrt{3}$$。 **结论**：正确答案是C选项。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第六题解析 **问题分析**：已知向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$，且 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$ 垂直，要求 $$|\overrightarrow{b}|$$。 **步骤1：利用垂直条件** $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0 \Rightarrow |\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$ 计算 $$|\overrightarrow{a}|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$ $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 2 + 1 \times m = 2 + m$$ 因此，$$2 - (2 + m) = 0 \Rightarrow m = 0$$。 **步骤2：计算 $$|\overrightarrow{b}|$$** $$\overrightarrow{b} = (2, 0)$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$$。 **结论**：正确答案是D选项。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第七题解析 **问题分析**：向量 $$\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{a}$$ 夹角为180度，模为 $$3\sqrt{5}$$，求 $$\overrightarrow{b}$$。 **步骤1：利用共线条件** 由于夹角为180度，$$\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$$，且 $$k < 0$$。 $$|\overrightarrow{b}| = |k| |\overrightarrow{a}| = |k| \sqrt{1^2 + (-2)^2} = |k| \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$ 因此，$$|k| = 3$$，$$k = -3$$。 **步骤2：求 $$\overrightarrow{b}$$** $$\overrightarrow{b} = -3 \times (1, -2) = (-3, 6)$$。 **结论**：正确答案是A选项。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第八题解析 **问题分析**：已知两个单位向量的夹角为60度，求 $$\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$ 的夹角的余弦值。 **步骤1：计算点积和模** 设 $$\theta$$ 为所求夹角，则： $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|}$$ 计算各项： $$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos 60^\circ = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$ $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{1 + 1 - 1} = 1$$ 因此，$$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{2}}{1 \times 1} = -\frac{1}{2}$$。 **结论**：正确答案是C选项。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第九题解析 **问题分析**：三个向量两两夹角相等，模分别为1、2、3，求和的模。 **步骤1：分析夹角** 两两夹角相等有两种情况： 1. 所有夹角为0度（共线同向）。 2. 所有夹角为120度（对称分布）。 **情况1：共线同向** $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = 1 + 2 + 3 = 6$$。 **情况2：夹角120度** 计算点积： $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 2 \times \cos 120^\circ = -1$$ $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1 \times 3 \times \cos 120^\circ = -1.5$$ $$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2 \times 3 \times \cos 120^\circ = -3$$ $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^2 = 1 + 4 + 9 + 2(-1 -1.5 -3) = 14 - 11 = 3$$ 因此，模为 $$\sqrt{3}$$。 **结论**：两种情况可能，6或 $$\sqrt{3}$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第十题解析 **问题分析**：已知向量 $$\overrightarrow{OC}$$ 和 $$\overrightarrow{CA}$$，要求 $$\overrightarrow{OA}$$ 的模的最大值。 **步骤1：表示 $$\overrightarrow{OA}$$** $$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CA} = (2 + \sqrt{2} \cos \alpha, 2 + \sqrt{2} \sin \alpha)$$。 **步骤2：计算模** $$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{(2 + \sqrt{2} \cos \alpha)^2 + (2 + \sqrt{2} \sin \alpha)^2}$$ 展开： $$4 + 4\sqrt{2} \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha + 4 + 4\sqrt{2} \sin \alpha + 2 \sin^2 \alpha$$ 简化： $$8 + 4\sqrt{2} (\cos \alpha + \sin \alpha) + 2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 10 + 4\sqrt{2} (\cos \alpha + \sin \alpha)$$ 最大值出现在 $$\cos \alpha + \sin \alpha$$ 最大时，即 $$\sqrt{2}$$（当 $$\alpha = 45^\circ$$）。 因此，最大值为 $$\sqrt{10 + 4\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \sqrt{10 + 8} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$。 **结论**：正确答案是B选项。 **答案**：$$\boxed{B}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱