.jpg)
正确率60.0%函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6} x+\frac{\pi} {3} )$$在$$1 < x < 7$$上的图象与$${{x}}$$轴交于点$${{A}}$$，过点$${{A}}$$的直线$${{l}}$$与函数的图象交于点$${{B}{、}{C}}$$两点，则$$( \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} ) \cdot\overrightarrow{O A}=( \begin{array} {c} {\end{array}} )$$
C
A.$$\frac{2 5} {2}$$
B.$$\frac{2 5} {4}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$$\frac{3 2} {3}$$
2、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%svg异常
B
A.$$[ 3， 5 ]$$
B.$$[ 4， 5 ]$$
C.$$[ 3， 4 ]$$
D.$$[ 4， 7 ]$$
3、['数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$1-\frac{\sqrt{5}} {2}$$
4、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为单位向量，且它们的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则$$| \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} |=($$）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${{4}}$$
5、['数量积的性质'， '异面直线所成的角'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}}$$是$${{D}{{D}_{1}}}$$的中点，$${{O}}$$为底面$${{A}{B}{C}{D}}$$的中心，$${{P}}$$为棱$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$上的任意一点，则直线$${{O}{P}}$$与直线$${{A}{M}}$$所成的角为（）
C
A.45°
B.60°
C.90°
D.与点$${{P}}$$的位置有关
6、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率40.0%已知$$\left| \vec{a} \right|=2， \left| \vec{b} \right|=3， \left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\sqrt{1 9}，$$则$$\left| \vec{a}-\vec{b} \right|$$等于（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
7、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知等边三角形$${{A}{B}{C}}$$的边长为$$2， ~ D， ~ E$$分别是边$$B C， ~ A C$$的中点，点$${{P}}$$是线段$${{A}{C}}$$上的动点，则$$\overrightarrow{D E} \cdot\overrightarrow{B P}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ 0， \ 2 ]$$
B.$$[ 0， \ 1 ]$$
C.$$[ 1， \ 2 ]$$
D.$$[ 0， ~ \sqrt{3} ]$$
8、['数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知$$A ~ ( \textbf{1}， \textbf{0} ) ~， \textbf{B} ~ ( \textbf{-1}， \textbf{0} )$$，动点$$M \mathit{\Pi} ( \mathit{x}， \mathit{y} )$$满足$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{B M}=-1，$$则点$${{M}}$$的轨迹是（）
A
A.一个点
B.一条直线
C.两条直线
D.圆
9、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \; | \overrightarrow{b} |=3， \; \; \; ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \; \; \cdot\overrightarrow{a}=1$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
10、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内部一点，且满足$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$又$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=2 \sqrt{3}， \， \， \， \angle B A C=6 0^{\circ}$$，则$${{△}{O}{B}{C}}$$的面积为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
第一题：函数 $$f(x)=2 \sin (\frac{\pi}{6} x+\frac{\pi}{3})$$ 在区间 $$1 < x < 7$$ 上与 $$x$$ 轴交于点 $$A$$，过点 $$A$$ 的直线 $$l$$ 与函数图象交于点 $$B$$、$$C$$，求 $$(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) \cdot \overrightarrow{OA}$$。
1. 求交点 $$A$$：令 $$f(x)=0$$，即 $$\sin (\frac{\pi}{6} x+\frac{\pi}{3})=0$$，解得 $$\frac{\pi}{6} x+\frac{\pi}{3}=k\pi$$，$$k \in \mathbb{Z}$$。在区间 $$1 < x < 7$$ 内，$$k=1$$ 时 $$x=4$$，故 $$A(4,0)$$。
2. 函数对称性：$$f(x)=2 \sin (\frac{\pi}{6}(x+2))$$，周期 $$T=12$$，对称中心为 $$x+2=6m$$（$$m \in \mathbb{Z}$$），即 $$x=4$$ 是其中一个对称中心，故 $$B$$ 和 $$C$$ 关于点 $$A$$ 对称。
3. 设 $$B(x_1,y_1)$$，$$C(x_2,y_2)$$，由对称性有 $$\frac{x_1+x_2}{2}=4$$，即 $$x_1+x_2=8$$，且 $$y_1+y_2=0$$。
4. 计算：$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(x_1+x_2, y_1+y_2)=(8,0)$$，$$\overrightarrow{OA}=(4,0)$$，故点积为 $$8 \times 4 + 0 \times 0 = 32$$。
答案：C. $$32$$
第二题：svg异常，选项为区间，但题干缺失。根据选项形式，可能为函数值域或定义域问题，但无法解析。
第三题：svg异常，选项包含数值，但题干缺失。无法解析。
第四题：已知向量 $$\vec{a}$$、$$\vec{b}$$ 为单位向量，夹角为 $$60^\circ$$，求 $$|\vec{a}-3\vec{b}|$$。
1. 计算模长平方：$$|\vec{a}-3\vec{b}|^2 = (\vec{a}-3\vec{b}) \cdot (\vec{a}-3\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 6\vec{a}\cdot\vec{b} + 9|\vec{b}|^2$$。
2. 代入已知：$$|\vec{a}|=1$$，$$|\vec{b}|=1$$，$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$。
3. 得：$$1 - 6 \times \frac{1}{2} + 9 \times 1 = 1 - 3 + 9 = 7$$，故 $$|\vec{a}-3\vec{b}| = \sqrt{7}$$。
答案：A. $$\sqrt{7}$$
第五题：正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，$$M$$ 是 $$DD_1$$ 中点，$$O$$ 为底面中心，$$P$$ 为 $$A_1B_1$$ 上任意点，求直线 $$OP$$ 与 $$AM$$ 所成角。
1. 建立坐标系：设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$；$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$。
2. 点坐标：$$M(0,1,\frac{1}{2})$$，$$O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$$，设 $$P(t,0,1)$$（$$0 \leq t \leq 1$$）。
3. 向量：$$\overrightarrow{AM} = (0,1,\frac{1}{2})$$，$$\overrightarrow{OP} = (t-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$$。
4. 计算点积：$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OP} = 0 \times (t-\frac{1}{2}) + 1 \times (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$。
5. 故两向量垂直，夹角为 $$90^\circ$$，与 $$P$$ 位置无关。
答案：C. $$90^\circ$$
第六题：已知 $$|\vec{a}|=2$$，$$|\vec{b}|=3$$，$$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{19}$$，求 $$|\vec{a}-\vec{b}|$$。
1. 由 $$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 9 = 13 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 19$$，解得 $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3$$。
2. 则 $$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4 - 6 + 9 = 7$$，故 $$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{7}$$。
答案：A. $$\sqrt{7}$$
第七题：等边三角形 $$ABC$$ 边长为 $$2$$，$$D$$、$$E$$ 分别为 $$BC$$、$$AC$$ 中点，点 $$P$$ 在线段 $$AC$$ 上动，求 $$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{BP}$$ 的取值范围。
1. 设坐标系：$$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(1,\sqrt{3})$$。
2. 点坐标：$$D$$ 为 $$BC$$ 中点，$$D(\frac{2+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}) = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$；$$E$$ 为 $$AC$$ 中点，$$E(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。
3. 向量 $$\overrightarrow{DE} = (0.5-1.5, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-1, 0)$$。
4. 设 $$P$$ 在 $$AC$$ 上，参数 $$t \in [0,1]$$，$$P(t \cdot 1, t \cdot \sqrt{3}) = (t, t\sqrt{3})$$。
5. 向量 $$\overrightarrow{BP} = (t-2, t\sqrt{3})$$。
6. 点积：$$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{BP} = (-1) \times (t-2) + 0 \times t\sqrt{3} = -t + 2$$。
7. 当 $$t=0$$（$$P=A$$）时，值为 $$2$$；当 $$t=1$$（$$P=C$$）时，值为 $$1$$。故取值范围为 $$[1,2]$$。
答案：C. $$[1,2]$$
第八题：已知 $$A(1,0)$$，$$B(-1,0)$$，动点 $$M(x,y)$$ 满足 $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = -1$$，求点 $$M$$ 轨迹。
1. 向量 $$\overrightarrow{AM} = (x-1, y)$$，$$\overrightarrow{BM} = (x+1, y)$$。
2. 点积：$$(x-1)(x+1) + y \cdot y = x^2 - 1 + y^2 = -1$$。
3. 化简得：$$x^2 + y^2 = 0$$，即 $$x=0$$ 且 $$y=0$$，只有一个点。
答案：A. 一个点
第九题：已知 $$|\vec{a}|=2$$，$$|\vec{b}|=3$$，且 $$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{a} = 1$$，求 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 夹角。
1. 展开点积：$$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$$，故 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$$。
2. 设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
答案：C. $$\frac{\pi}{3}$$
第十题：点 $$O$$ 在 $$\triangle ABC$$ 内部，满足 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$$，且 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2\sqrt{3}$$，$$\angle BAC = 60^\circ$$，求 $$\triangle OBC$$ 面积。
1. 由向量和为零知 $$O$$ 为重心。
2. 设 $$|\overrightarrow{AB}|=c$$，$$|\overrightarrow{AC}|=b$$，则 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = bc \cos 60^\circ = \frac{1}{2} bc = 2\sqrt{3}$$，故 $$bc = 4\sqrt{3}$$。
3. $$\triangle ABC$$ 面积 $$S_{ABC} = \frac{1}{2} bc \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$$。
4. 重心将三角形分成三个面积相等部分，故 $$S_{OBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = 1$$。
答案：C. $$1$$