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正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ \ \cos\alpha) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \ \sin\alpha， \ 1 ) \， \ 0 < \alpha< \pi，$$若$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{α}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
2、['向量的数量积'， '向量垂直']正确率80.0%已知非零向量$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$满足$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0， | \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=1， \overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}$$，则$${{b}^{→}}$$与$${{c}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
3、['数量积的性质'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量的新定义问题']正确率40.0%称$$d ( \boldsymbol{a}， \ b )=\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|$$为两个向量$${{a}{，}{b}}$$间的“距离”，若向量$${{a}{，}{b}}$$满足：$$( \mathbf{1} ) | \boldsymbol{b} |=\boldsymbol{1}$$；$$( 2 ) | a | \neq1$$；$${{(}{3}{)}}$$对任意的$${{t}{∈}{R}{，}}$$恒有$$d ( \boldsymbol{a}， \ t \boldsymbol{b} ) \geqslant d ( \boldsymbol{a}， \ \boldsymbol{b} )$$.则（）
B
A.$${{a}{⊥}{b}}$$
B.$$b \perp( a-b )$$
C.$$a \perp( a-b )$$
D.$$( a+b ) \perp( a-b )$$
4、['向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知单位向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$则在下列向量中，与$${{b}}$$垂直的是（）
D
A.$${{a}{+}{2}{b}}$$
B.$${{2}{a}{+}{b}}$$
C.$${{a}{−}{2}{b}}$$
D.$${{2}{a}{−}{b}}$$
5、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知$$\boldsymbol{a} \perp\boldsymbol{b}， ~ | \boldsymbol{a} |=2， ~ | \boldsymbol{b} |=3，$$且$$3 a+2 b$$与$${{λ}{a}{−}{b}}$$垂直，则$${{λ}}$$等于（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$$\pm\frac{3} {2}$$
D.$${{1}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '椭圆的定义'， '向量垂直']正确率40.0%设$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {5}=1$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆的两个焦点，$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0$$，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$面积是（）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
7、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '充要条件']正确率40.0%若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是非零向量，则$$\4 | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} | "$$是$${{“}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}}$$夹角为$$\frac{\pi} {2}，$$的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、['共线向量基本定理'， '向量垂直']正确率60.0%已知两个非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$互相垂直，若向量$$\overrightarrow{m}=4 \overrightarrow{a}+5 \overrightarrow{b}$$与$$\overrightarrow{n}=2 \overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$$共线，则实数$${{λ}}$$的值为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{2}}$$
9、['向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ ~ \overrightarrow{b}=(-1， ~ \sqrt{3} )$$，且$$\overrightarrow{a} \perp( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
10、['数量积的运算律'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=1， \， \， \， \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{2 \pi} {3}$$，且$$\left( \overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b} \right) \perp\left( 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)$$，则实数$${{λ}}$$的值为（）
D
A.$${{−}{7}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 由向量垂直条件，点积为零：$$1 \cdot \sin\alpha + \cos\alpha \cdot 1 = 0$$，即$$\sin\alpha + \cos\alpha = 0$$。解得$$\tan\alpha = -1$$，在$$0 < \alpha < \pi$$范围内，$$\alpha = \frac{3\pi}{4}$$。故选B。
2. 由$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 0$$，得$$\overrightarrow{c} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$。因为$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，所以$$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2} = \sqrt{2}$$。设$$\overrightarrow{b}$$与$$\overrightarrow{c}$$的夹角为$$\theta$$，则$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|} = \frac{\overrightarrow{b} \cdot (-\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$，故$$\theta = \frac{3\pi}{4}$$。故选C。
3. 条件$$d(\boldsymbol{a}, t\boldsymbol{b}) \geq d(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$$对所有$$t \in \mathbb{R}$$成立，等价于$$\boldsymbol{b}$$是$$\boldsymbol{a}$$在$$\boldsymbol{b}$$方向上的投影点。因此$$\boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$$。故选B。
4. 单位向量$$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$$夹角为$$60^\circ$$，则$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{1}{2}$$。检验选项D：$$(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1 - 1 = 0$$，故垂直。故选D。
5. 由$$3\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$$与$$\lambda\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$垂直，点积为零：$$(3\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) \cdot (\lambda\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 3\lambda|\boldsymbol{a}|^2 - 2|\boldsymbol{b}|^2 = 12\lambda - 18 = 0$$，解得$$\lambda = \frac{3}{2}$$。故选A。
6. 椭圆标准方程为$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{5} = 1$$，焦距$$c = \sqrt{25 - 5} = 2\sqrt{5}$$。由$$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，知$$PF_1 \perp PF_2$$。设$$|PF_1| = m$$，$$|PF_2| = n$$，则$$m + n = 10$$，$$m^2 + n^2 = (2c)^2 = 80$$。解得$$mn = 10$$，面积为$$\frac{1}{2}mn = 5$$。故选A。
7. 由$$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$$平方得$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$，即夹角为$$\frac{\pi}{2}$$。反之亦然，故为充要条件。故选C。
8. 由$$\boldsymbol{m}$$与$$\boldsymbol{n}$$共线，存在$$k$$使$$4\boldsymbol{a} + 5\boldsymbol{b} = k(2\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b})$$。解得$$4 = 2k$$，$$5 = k\lambda$$，故$$\lambda = \frac{5}{2}$$。故选C。
9. 由$$\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$$，得$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$，即$$1 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$，故$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1$$。设夹角为$$\theta$$，则$$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{1}{2}$$，故$$\theta = 60^\circ$$。故选B。
10. 由$$(\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}) \perp (2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$$，点积为零：$$2|\boldsymbol{a}|^2 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 2\lambda \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - \lambda |\boldsymbol{b}|^2 = 0$$。代入$$|\boldsymbol{a}| = 2$$，$$|\boldsymbol{b}| = 1$$，$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1$$，得$$8 + 1 - 2\lambda - \lambda = 0$$，解得$$\lambda = 3$$。故选D。