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正确率40.0%已知$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{c o s} \alpha， \operatorname{s i n} \alpha)， \; \; \overrightarrow{b}=( \operatorname{c o s} \beta， \operatorname{s i n} \beta)，$$且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=0，$$那么$$| \vec{a}+\vec{b} |=( \eta)$$
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['向量的模'， '向量的夹角']正确率40.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$${\bf1 3 5}^{\circ}， ~ | {\bf a} |=1，$$$$| 2 a+b |=\sqrt{2}，$$则$${{|}{b}{|}}$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
3、['向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\overrightarrow{| A B |}=3， \， \， \， | \overrightarrow{A C} |=6， \， \， \， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=9$$，则$$| \overrightarrow{B C} |$$的值为（）
A
A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{7}}$$
D.$${\sqrt {{6}{3}}}$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模']正确率60.0%已知$$A (-3， 0 )， \， \， \， B ( 0， \sqrt{3} )， \， \， \， O$$为坐标原点，点$${{C}}$$在$${{∠}{A}{O}{B}}$$内，且$$\angle A O C=6 0^{\circ}，$$设$$\overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}，$$则实数$${{λ}}$$等于$${{(}{)}}$$．
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{3}}$$
5、['向量的模'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 3，-4 )， ~ ~ \left| \overrightarrow{b} \right|=2，$$若$$\rightharpoonup. \rightharpoonup=-5，$$则向量$${{a}^{⇀}}$$与$${{b}^{⇀}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
6、['向量的模'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$| \overrightarrow{a} |=2 \sqrt{5}， \; \; \overrightarrow{b}=\; ( 1， \; 2 )$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$平行，则向量$${{a}^{→}}$$的坐标为（）
D
A.$$( \ 2， \ 4 )$$
B.$$( \textit{-2，} \textit{-4} )$$
C.$$( \ 2， \ -4 )$$
D.$$( \ 2， \ 4 )$$或$$( \textit{-2，} \textit{-4} )$$
7、['向量的模'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律']正确率40.0%已知非零向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| a |=1， \， \， a \cdot( 2 a-b )=2，$$则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{a}{⊥}{b}}$$
B.$${{a}{/}{/}{b}}$$
C.$${{a}{=}{2}{b}}$$
D.$$| b |=1$$
8、['向量的模'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{m}=( 1，-2 )， \; \; \overrightarrow{n}=( 3， \lambda) ( \lambda\in{\bf R} )，$$若$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$共线，则$${{|}{{n}^{→}}{|}{=}}$$（）
D
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
9、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， \sqrt{3} )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， 0 )，$$则$$| \vec{a}-2 \vec{b} |=( \textit{} )$$
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}}$$
10、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率40.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， k )， \; \; \overrightarrow{b}=( k， 2 )， \; \; \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=1$$，则$${{k}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$或$${{2}}$$
1. 解析：
已知向量 $$\overrightarrow{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)$$ 和 $$\overrightarrow{b} = (\cos \beta, \sin \beta)$$，且 $$\cos(\alpha - \beta) = 0$$。
首先计算向量的和：$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\cos \alpha + \cos \beta, \sin \alpha + \sin \beta)$$。
其模长为：$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2}$$。
展开平方项：$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$$。
利用三角恒等式 $$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$，化简为：$$2 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 + 2\cos(\alpha - \beta)$$。
由题意 $$\cos(\alpha - \beta) = 0$$，故 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 2$$，因此模长为 $$\sqrt{2}$$。
正确答案：$$C$$。
2. 解析：
已知向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角为 $$135^\circ$$，且 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{2}$$。
计算 $$|2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 4|\overrightarrow{a}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2$$。
代入已知条件：$$4(1) + 4(1)(|\overrightarrow{b}|)\cos 135^\circ + |\overrightarrow{b}|^2 = 2$$。
化简得：$$4 - 2\sqrt{2}|\overrightarrow{b}| + |\overrightarrow{b}|^2 = 2$$，即 $$|\overrightarrow{b}|^2 - 2\sqrt{2}|\overrightarrow{b}| + 2 = 0$$。
解方程得：$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2}$$。
正确答案：$$B$$。
3. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$|\overrightarrow{AB}| = 3$$，$$|\overrightarrow{AC}| = 6$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 9$$。
利用向量模长公式：$$|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$。
代入数据：$$9 + 36 - 2 \times 9 = 27$$，故 $$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$。
正确答案：$$A$$。
4. 解析：
已知点 $$A(-3, 0)$$，$$B(0, \sqrt{3})$$，点 $$C$$ 在 $$\angle AOB$$ 内，且 $$\angle AOC = 60^\circ$$。
设 $$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (-3\lambda, \sqrt{3})$$。
由于 $$\angle AOC = 60^\circ$$，利用斜率关系：$$\tan 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{-3\lambda} \times \frac{1}{1} = \sqrt{3}$$。
解得：$$\lambda = \frac{1}{3}$$。
正确答案：$$C$$。
5. 解析：
已知向量 $$\overrightarrow{a} = (3, -4)$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2$$，且 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -5$$。
利用点积公式：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$$。
计算 $$|\overrightarrow{a}| = 5$$，代入得：$$5 \times 2 \cos \theta = -5$$，即 $$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$。
因此夹角 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。
正确答案：$$D$$。
6. 解析：
已知 $$|\overrightarrow{a}| = 2\sqrt{5}$$，$$\overrightarrow{b} = (1, 2)$$，且 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 平行。
设 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b} = (k, 2k)$$，则 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = 2\sqrt{5}$$。
解得：$$k = \pm 2$$，故 $$\overrightarrow{a} = (2, 4)$$ 或 $$(-2, -4)$$。
正确答案：$$D$$。
7. 解析：
已知非零向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 满足 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，且 $$\overrightarrow{a} \cdot (2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 2$$。
展开点积：$$2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2$$，即 $$2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2$$。
因此 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，说明 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 垂直。
正确答案：$$A$$。
8. 解析：
已知向量 $$\overrightarrow{m} = (1, -2)$$，$$\overrightarrow{n} = (3, \lambda)$$ 共线，则存在 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{n} = k \overrightarrow{m}$$。
比较分量：$$3 = k \times 1$$ 且 $$\lambda = k \times (-2)$$，解得 $$k = 3$$，$$\lambda = -6$$。
计算 $$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$。
正确答案：$$D$$。
9. 解析：
已知向量 $$\overrightarrow{a} = (1, \sqrt{3})$$，$$\overrightarrow{b} = (2, 0)$$，计算 $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (1 - 4, \sqrt{3} - 0) = (-3, \sqrt{3})$$。
其模长为：$$\sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$。
正确答案：$$C$$。
10. 解析：
已知 $$\overrightarrow{a} = (1, k)$$，$$\overrightarrow{b} = (k, 2)$$，且 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 1$$。
计算 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1 - k, k - 2)$$，其模长为：$$\sqrt{(1 - k)^2 + (k - 2)^2} = 1$$。
展开平方：$$1 - 2k + k^2 + k^2 - 4k + 4 = 1$$，即 $$2k^2 - 6k + 4 = 0$$。
化简为 $$k^2 - 3k + 2 = 0$$，解得 $$k = 1$$ 或 $$k = 2$$。
正确答案：$$D$$。