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正确率60.0%已知非零向量$${{a}{⃗}}$$，$${{b}^{⃗}}$$，那么$${{“}}$$$${{a}{⃗}}$$，$${{b}^{⃗}}$$的夹角为钝角$${{”}}$$是$${{“}}$$$$\vec{a} \cdot\vec{b} < 0$$$${{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['数量积的运算律'， '向量的夹角'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ ~ | \overrightarrow{b} |=\sqrt{2}，$$$$| 3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=\sqrt{5}$$，则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
D
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
3、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{6}$$，$$| \vec{b} |=\sqrt{2}$$，$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{b}=1$$，则向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$夹角的大小等于（）
A
A.$${{3}{0}{°}}$$
B.$${{4}{5}{°}}$$
C.$${{6}{0}{°}}$$
D.$${{1}{2}{0}{°}}$$
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{b}， \， \， \， | \overrightarrow{a} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=1，$$若$$\vec{b} \cdot( \vec{b}-\vec{a} ) \ =2，$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
B
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
5、['向量加法的定义及运算法则'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$| \overrightarrow{O A} |=1， \， \， \， | \overrightarrow{O B} |=\sqrt{3}， \， \， \， \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=0$$，点$${{C}}$$在$${{∠}{A}{O}{B}}$$内，且$${{O}{C}^{⇀}}$$与$${{O}{A}^{⇀}}$$的夹角为$${{3}{0}^{∘}}$$，设$$\overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B} ( m， n \in R )，$$则$$\frac{m} {n}$$的值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['向量坐标与向量的数量积'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%设椭圆$$C_{1} \colon~ \frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$与双曲线$$C_{2} \colon\ m x^{2}-y^{2}=1 \left( m > 0 \right)$$有公共的焦点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$是$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$的一个公共点，则$$\operatorname{c o s} \angle F_{1} P F_{2}$$的值为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
7、['数量积的运算律'， '充分、必要条件的判定'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} )=2，$$且$$| \overrightarrow{a} |=1$$，则$$` ` | \overrightarrow{b} | \geq2^{n}$$是$${{“}{{a}^{→}}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角大于$$\frac{\pi} {6}，$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$的两个单位向量，则$$\overrightarrow{a}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}$$与$$\vec{b}=-3 \vec{e_{1}}+2 \vec{e_{2}}$$的夹角是（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
9、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 3，-4 )， | \overrightarrow{b} |=2，$$若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=5，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
10、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量的夹角']正确率60.0%已知两个非零向量$${{a}{、}{b}}$$满足$$| a+b |=| a-b |=2 | b |$$，则$${{a}{+}{b}}$$与$${{a}{−}{b}}$$的夹角为
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
1. 已知非零向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$，那么"$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$的夹角为钝角"是"$$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$$"的（ ）。
解析：设夹角为$$\theta$$，则$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
当$$\theta$$为钝角时，$$\cos\theta < 0$$，所以$$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$$
当$$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$$时，$$\cos\theta < 0$$，但$$\theta$$可能为$$\pi$$（平角），此时不是钝角
所以是充分不必要条件，选A
2. 已知向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$满足$$|\vec{a}| = 1$$，$$|\vec{b}| = \sqrt{2}$$，$$|3\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$$，求夹角
解析：$$|3\vec{a} + \vec{b}|^2 = 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 6\vec{a} \cdot \vec{b}$$
$$5 = 9 \times 1 + 2 + 6|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
$$5 = 11 + 6\sqrt{2}\cos\theta$$
$$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\theta = \frac{3\pi}{4}$$，选D
3. 已知向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$满足$$|\vec{a}| = \sqrt{6}$$，$$|\vec{b}| = \sqrt{2}$$，$$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 1$$，求夹角
解析：$$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 1$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 2 = 3$$
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\theta = 30^\circ$$，选A
4. 已知向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$，$$|\vec{a}| = 2$$，$$|\vec{b}| = 1$$，$$\vec{b} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 2$$，求夹角
解析：$$\vec{b} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$$
$$1 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$$
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-1}{2 \times 1} = -\frac{1}{2}$$
$$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，选B
5. 已知$$|\overrightarrow{OA}| = 1$$，$$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{3}$$，$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$$，点C在$$\angle AOB$$内，$$\overrightarrow{OC}$$与$$\overrightarrow{OA}$$的夹角为$$30^\circ$$，$$\overrightarrow{OC} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}$$，求$$\frac{m}{n}$$
解析：建立坐标系，设$$A(1,0)$$，$$B(0,\sqrt{3})$$
$$\overrightarrow{OC} = (m, \sqrt{3}n)$$
$$\overrightarrow{OC}$$与$$\overrightarrow{OA}$$夹角为$$30^\circ$$，所以$$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}n}{m} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\frac{n}{m} = \frac{1}{3}$$，所以$$\frac{m}{n} = 3$$，选C
6. 椭圆$$C_1: \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$$与双曲线$$C_2: mx^2 - y^2 = 1$$有公共焦点，点P是公共点，求$$\cos \angle F_1PF_2$$
解析：椭圆$$c^2 = 12 - 8 = 4$$，焦点$$F_1(-2,0)$$，$$F_2(2,0)$$
双曲线$$c^2 = \frac{1}{m} + 1 = 4$$，得$$m = \frac{1}{3}$$
由椭圆定义：$$|PF_1| + |PF_2| = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$$
由双曲线定义：$$| |PF_1| - |PF_2| | = 2\sqrt{3}$$
设$$|PF_1| = x$$，$$|PF_2| = y$$，则$$x + y = 4\sqrt{3}$$，$$|x - y| = 2\sqrt{3}$$
解得$$x = 3\sqrt{3}$$，$$y = \sqrt{3}$$（或互换）
$$\cos \angle F_1PF_2 = \frac{x^2 + y^2 - |F_1F_2|^2}{2xy} = \frac{27 + 3 - 16}{2 \times 3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$$，选A
7. 已知向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$满足$$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{a}) = 2$$，且$$|\vec{a}| = 1$$，则"$$|\vec{b}| \geq 2$$"是"$$\vec{a}$$与$$\vec{b}$$的夹角大于$$\frac{\pi}{6}$$"的（ ）
解析：$$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 2$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$$
设夹角为$$\theta$$，则$$\cos\theta = \frac{1}{|\vec{b}|}$$
夹角大于$$\frac{\pi}{6}$$等价于$$\cos\theta < \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
即$$\frac{1}{|\vec{b}|} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$|\vec{b}| > \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$$
$$|\vec{b}| \geq 2$$能推出夹角大于$$\frac{\pi}{6}$$，但反之不成立
所以是充分不必要条件，选A
8. 已知$$\vec{e_1}$$，$$\vec{e_2}$$是夹角为$$60^\circ$$的单位向量，$$\vec{a} = 2\vec{e_1} + \vec{e_2}$$，$$\vec{b} = -3\vec{e_1} + 2\vec{e_2}$$，求夹角
解析：$$\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{e_1} + \vec{e_2}) \cdot (-3\vec{e_1} + 2\vec{e_2}) = -6 + 4 + (-3 + 2)\frac{1}{2} = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$
$$|\vec{a}|^2 = 4 + 1 + 4 \times \frac{1}{2} = 7$$，$$|\vec{a}| = \sqrt{7}$$
$$|\vec{b}|^2 = 9 + 4 - 12 \times \frac{1}{2} = 7$$，$$|\vec{b}| = \sqrt{7}$$
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-\frac{5}{2}}{7} = -\frac{5}{14}$$
$$\theta \approx 111^\circ$$，最接近$$120^\circ$$，选C
9. 已知向量$$\vec{a} = (3,-4)$$，$$|\vec{b}| = 2$$，$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$$，求夹角
解析：$$|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{5}{5 \times 2} = \frac{1}{2}$$
$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选B
10. 已知两个非零向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$满足$$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2|\vec{b}|$$，求$$\vec{a} + \vec{b}$$与$$\vec{a} - \vec{b}$$的夹角
解析：$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$$得$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 4|\vec{b}|^2$$，所以$$|\vec{a}|^2 = 3|\vec{b}|^2$$
$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 3|\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 2|\vec{b}|^2$$
$$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2|\vec{b}|$$
$$\cos\theta = \frac{2|\vec{b}|^2}{2|\vec{b}| \times 2|\vec{b}|} = \frac{1}{2}$$
$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选B