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正确率40.0%设向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} 1 5^{\circ}， \operatorname{c o s} 1 5^{\circ} ) \，， \， \， \， \， \overrightarrow{b}=( \operatorname{c o s} 1 5^{\circ}， \operatorname{s i n} 1 5^{\circ} ) \，，$$则向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{9}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
2、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%扇形$${{O}{A}{B}}$$的半径为$${{1}}$$，圆心角为$$9 0^{\circ} \，， \ P$$是$$\widehat{A B}$$上的动点，$$\overrightarrow{O P} \cdot( \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B} )$$的最小值是
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '投影的数量']正确率40.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\vert\overrightarrow{a} \vert=4， \， \， \overrightarrow{b}=( 1， 2 )， \， \， ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{b}=1 0$$则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
4、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%$$| \overrightarrow{a} |=1， \， \， | \overrightarrow{b} |=2， \， \， \， \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} )=\frac{3} {2}$$，则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$$- \frac{1} {8}$$
C.$$\pm\frac{1} {8}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率40.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个向量，$$| \overrightarrow{a} |=1， ~ ~ | \overrightarrow{b} |=2$$，且$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) / \perp\overrightarrow{a}$$，若在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{b}， \， \， D$$为$${{B}{C}}$$中点，则$${{A}{D}}$$的长为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足：$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{2}， \; \; | \overrightarrow{b} |=2$$且$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{a}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{5} {1 2} \pi$$
7、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=3， \; \; | \overrightarrow{b} |=2 \sqrt{3}$$，且$$\overrightarrow{a} \perp( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )，$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角是（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
8、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{O}}$$是边长为$${{1}}$$的等边$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的中心，则$$\left( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} \right) \cdot\left( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C} \right)=\alpha$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{1} {9}$$
C.$$- \frac{\sqrt{3}} {6}$$
D.$$- \frac{1} {6}$$
9、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$的夹角为$${{6}{0}^{0}}$$，且$$\left\vert\vec{a} \right\vert=\left\vert\vec{b} \right\vert=2，$$则向量$${{a}{⃗}{+}{{b}^{⃗}}}$$在向量$${{a}{⃗}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
10、['向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( x， x-1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( x，-4 )$$，若$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$，则实数$${{x}}$$的值为
D
A.$${{−}{3}}$$或$${{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$或$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
1. 设向量$$\overrightarrow{a}=(\sin 15^\circ, \cos 15^\circ)$$，$$\overrightarrow{b}=(\cos 15^\circ, \sin 15^\circ)$$，则向量$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$与$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$的夹角为（ ）。
计算：$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\sin 15^\circ+\cos 15^\circ, \cos 15^\circ+\sin 15^\circ)$$
$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\sin 15^\circ-\cos 15^\circ, \cos 15^\circ-\sin 15^\circ)$$
点积：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=(\sin 15^\circ+\cos 15^\circ)(\sin 15^\circ-\cos 15^\circ)+(\cos 15^\circ+\sin 15^\circ)(\cos 15^\circ-\sin 15^\circ)$$
$$=(\sin^2 15^\circ-\cos^2 15^\circ)+(\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ)=0$$
点积为0，夹角为$$90^\circ$$，选A。
2. 扇形$$OAB$$的半径为$$1$$，圆心角为$$90^\circ$$，$$P$$是$$\widehat{AB}$$上的动点，$$\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$$的最小值是（ ）。
设坐标系：$$O=(0,0)$$，$$A=(1,0)$$，$$B=(0,1)$$
$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(1,-1)$$
设$$P=(\cos\theta,\sin\theta)$$，$$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$$
$$\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=\cos\theta-\sin\theta$$
$$=\sqrt{2}\cos(\theta+\frac{\pi}{4})$$
当$$\theta=\frac{\pi}{2}$$时，$$\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
最小值为$$\sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1$$，选A。
3. 已知平面向量$$\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{b}$$满足$$|\overrightarrow{a}|=4$$，$$\overrightarrow{b}=(1,2)$$，$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=10$$，则向量$$\overrightarrow{a}$$在向量$$\overrightarrow{b}$$方向上的投影为（ ）。
$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=10$$
$$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$，$$|\overrightarrow{b}|^2=5$$
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=10-5=5$$
投影：$$\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$，选D。
4. $$|\overrightarrow{a}|=1$$，$$|\overrightarrow{b}|=2$$，$$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=\frac{3}{2}$$，则向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$夹角的余弦值为（ ）。
$$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$$
$$-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$$，$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\frac{1}{4}$$
$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-\frac{1}{4}}{1\times2}=-\frac{1}{8}$$，选B。
5. 已知$$\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{b}$$是两个向量，$$|\overrightarrow{a}|=1$$，$$|\overrightarrow{b}|=2$$，且$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{a}$$，若在$$\triangle ABC$$中，$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$$，$$D$$为$$BC$$中点，则$$AD$$的长为（ ）。
$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{a}$$，则$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a}=0$$
$$|\overrightarrow{a}|^2+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$，$$1+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$，$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-1$$
$$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$
$$|\overrightarrow{AD}|^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)$$
$$=\frac{1}{4}(1+2\times(-1)+4)=\frac{1}{4}(3)=\frac{3}{4}$$
$$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，选D。
6. 若向量$$\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{b}$$满足：$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{b}|=2$$且$$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{a}$$，则$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$的夹角是（ ）。
$$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{a}$$，则$$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a}=0$$
$$|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$，$$2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$，$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2$$
$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\theta=\frac{\pi}{4}$$，选B。
7. 已知向量$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$满足$$|\overrightarrow{a}|=3$$，$$|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$$，且$$\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$，则向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$的夹角是（ ）。
$$\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$，则$$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$$
$$|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$，$$9-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$，$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=9$$
$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{9}{3\times2\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\theta=\frac{\pi}{6}$$，选A。
8. 已知$$O$$是边长为$$1$$的等边$$\triangle ABC$$的中心，则$$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\alpha$$（ ）。
等边三角形中心性质：$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$$
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$$，$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OB}$$
原式$$=(-\overrightarrow{OC})\cdot(-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}$$
$$|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，夹角$$120^\circ$$
$$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OB}|\cos120^\circ=\frac{1}{3}\times(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{6}$$
选D。
9. 已知向量$$\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{b}$$的夹角为$$60^\circ$$，且$$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=2$$，则向量$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$在向量$$\overrightarrow{a}$$方向上的投影为（ ）。
投影：$$\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{|\overrightarrow{a}|^2+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{2}$$
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos60^\circ=2\times2\times\frac{1}{2}=2$$
$$=\frac{4+2}{2}=3$$，选A。
10. 已知向量$$\overrightarrow{a}=(x,x-1)$$，$$\overrightarrow{b}=(x,-4)$$，若$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$，则实数$$x$$的值为（ ）。
$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2x,x-5)$$，$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(0,x+3)$$
$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=4x^2+(x-5)^2$$，$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=0+(x+3)^2$$
等式：$$4x^2+(x-5)^2=(x+3)^2$$
$$4x^2+x^2-10x+25=x^2+6x+9$$
$$4x^2-16x+16=0$$，$$x^2-4x+4=0$$，$$(x-2)^2=0$$
$$x=2$$，选D。