向量的数量积的定义-向量的数量积知识点教师选题基础选择题自测题解析-江苏省等高二数学必修,平均正确率60.0%

1、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']

正确率60.0%平面向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$$6 0^{\circ}， \， \， \， \boldsymbol{a}=( 2， 0 )， | \boldsymbol{b} |=1，$$则$$| \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} |$$等于（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

2、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$( \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A} ) \cdot\overrightarrow{A C}=\left| \overrightarrow{A C} \right|^{2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状一定是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

4、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义']

正确率40.0%已知$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内部一点，$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}， \， \， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=2 \sqrt{3}$$，且$$\angle B A C=3 0^{\circ}，$$则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

5、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%已知$$m > 0， n > 0$$，向量$$\vec{a}=\left( m， 1 \right)， \vec{b}=\left( 1， n-1 \right)$$且$$\vec{a} \perp\vec{b}，$$则$$\frac1 m+\frac2 n$$的最小值是（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{4}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

6、['向量的模'， '向量的数量积的定义']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \frac{1} {2}， ~-\frac{\sqrt{3}} {2} )， ~ | \overrightarrow{b} |=1，$$且两向量夹$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=($$）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${\sqrt {7}}$$

7、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']

正确率60.0%边长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$的等边$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$为边$${{A}{B}}$$的中点，若$${{P}}$$为线段$${{C}{D}}$$上的动点，则$$( \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B} ) \cdot\overrightarrow{P C}$$的最小值为（）

A.$${{1}{8}}$$

B.$${{−}{{1}{8}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$

8、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']

正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=2， \; \; | \overrightarrow{b} |=3， \; \; \overrightarrow{a}， \; \; \overrightarrow{b}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则$$| 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=( ~ ~ )$$

A.$${\sqrt {{2}{1}}}$$

B.$${\sqrt {{1}{3}}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{0}}$$

9、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']

正确率40.0%设单位向量 $${{e}}$$$${_{1}}$$， $${{e}}$$$${_{2}}$$的夹角为$$\frac{2 \pi} {3}，$$ $${{a}}$$$${{=}}$$ $${{e}}$$$${_{1}{+}{2}}$$ $${{e}}$$$${_{2}}$$， $${{b}}$$$${{=}{2}}$$ $${{e}}$$$${_{1}{−}{3}}$$ $${{e}}$$$${_{2}}$$，则 $${{b}}$$在 $${{a}}$$方向上的投影为

A.$$- \frac{3 \sqrt{3}} {2}$$

B.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$

10、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{B A}=\left( \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)，$$$$\overrightarrow{B C}=\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{1} {2} \right)$$，则$$\angle A B C=$$（）

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{4}{5}^{∘}}$$

C.$${{6}{0}^{∘}}$$

D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$

1. 首先计算向量 $$a$$ 的模长：$$|a| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$$。根据向量夹角公式，$$a \cdot b = |a||b|\cos 60^\circ = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1$$。然后计算 $$|a + 2b|$$ 的平方： $$|a + 2b|^2 = |a|^2 + 4|b|^2 + 4a \cdot b = 4 + 4 \times 1 + 4 \times 1 = 12$$，所以 $$|a + 2b| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$。答案为 $$B$$。

2. 将条件 $$(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}) \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$$ 展开： $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$$。注意到 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$，代入得： $$(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$$。化简后得到 $$-2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，即 $$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$$，所以 $$△ABC$$ 是直角三角形。答案为 $$A$$。

4. 由 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$ 可知 $$O$$ 是 $$△ABC$$ 的重心。根据 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2\sqrt{3}$$ 和 $$\angle BAC = 30^\circ$$，利用点积公式： $$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}$$，解得 $$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| = 4$$。$$△ABC$$ 的面积为 $$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin 30^\circ = 1$$。由于 $$O$$ 是重心，$$△AOB$$ 的面积为 $$△ABC$$ 的三分之一，即 $$\frac{1}{3}$$。答案为 $$D$$。

5. 由 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$ 得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = m \times 1 + 1 \times (n - 1) = m + n - 1 = 0$$，即 $$m + n = 1$$。将 $$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$$ 表示为 $$\left(\frac{1}{m} + \frac{2}{n}\right)(m + n) = 3 + \frac{n}{m} + \frac{2m}{n}$$。利用不等式 $$\frac{n}{m} + \frac{2m}{n} \geq 2\sqrt{2}$$，最小值为 $$3 + 2\sqrt{2}$$。答案为 $$C$$。

6. 首先计算 $$|a| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$$。根据向量夹角公式，$$a \cdot b = |a||b|\cos 120^\circ = 1 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$。然后计算 $$|a - b|$$ 的平方： $$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2a \cdot b = 1 + 1 - 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 3$$，所以 $$|a - b| = \sqrt{3}$$。答案为 $$B$$。

7. 以 $$C$$ 为原点建立坐标系，$$A = (4\sqrt{3}, 0)$$，$$B = (2\sqrt{3}, 6)$$，$$D$$ 为 $$AB$$ 中点，坐标为 $$(3\sqrt{3}, 3)$$。设 $$P$$ 为 $$CD$$ 上的点，参数化为 $$P = (t\sqrt{3}, t)$$，$$t \in [0, 3]$$。计算 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = (4\sqrt{3} - 2t\sqrt{3}, -2t)$$，$$\overrightarrow{PC} = (-t\sqrt{3}, -t)$$。点积为 $$(4\sqrt{3} - 2t\sqrt{3})(-t\sqrt{3}) + (-2t)(-t) = -12t + 6t^2 + 2t^2 = 8t^2 - 12t$$。最小值为 $$t = \frac{3}{4}$$ 时的 $$-18$$。答案为 $$B$$。

8. 计算 $$|2a - b|$$ 的平方： $$|2a - b|^2 = 4|a|^2 + |b|^2 - 4a \cdot b = 4 \times 4 + 9 - 4 \times 2 \times 3 \times \cos 60^\circ = 16 + 9 - 12 = 13$$，所以 $$|2a - b| = \sqrt{13}$$。答案为 $$B$$。

9. 首先计算 $$a \cdot b = (e_1 + 2e_2) \cdot (2e_1 - 3e_2) = 2|e_1|^2 - 6|e_2|^2 + ( -3 + 4 ) e_1 \cdot e_2 = 2 - 6 + 1 \times 1 \times \cos \frac{2\pi}{3} = -4 - \frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$$。$$|a| = \sqrt{|e_1|^2 + 4|e_2|^2 + 4e_1 \cdot e_2} = \sqrt{1 + 4 - 2} = \sqrt{3}$$。投影为 $$\frac{a \cdot b}{|a|} = -\frac{9}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$。答案为 $$A$$。

10. 计算 $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。$$|\overrightarrow{BA}| = 1$$，$$|\overrightarrow{BC}| = 1$$。根据点积公式 $$\cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，所以 $$\angle ABC = 30^\circ$$。答案为 $$A$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}