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正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 4， \ 2 ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \mathbf{3}， \mathbf{-1} ) \， \， \，，$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$或$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知平面向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$，且$$| \boldsymbol{a} |=1$$，$$| \boldsymbol{b} |=2$$，则$${{2}{a}{+}{b}}$$与$${{b}}$$的夹角是（）
D
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
3、['平面向量的概念'， '数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率60.0%给出下列命题：
①若$${{a}}$$与$${{b}}$$是非零向量，则$$( a+b ) \cdot( a-b )=0 \Leftrightarrow$$$$| \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} | ;$$
②若$$a \cdot b=b \cdot c$$且$${{b}{≠}{0}}$$，则$${{a}{=}{c}{;}}$$
③若$$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}， \boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}，$$则$$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{c} ;$$
④$$\boldsymbol{a} \cdot( \boldsymbol{b} \cdot\boldsymbol{c} )=( \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} ) \cdot\boldsymbol{c}$$.
其中真命题的个数为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
4、['数量积的性质'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{i}=\ ( 1， \ 0， \ 0 ) \， \ \overrightarrow{j}=\ ( 0， \ 1， \ 0 ) \， \ \overrightarrow{k}=\ ( 0， \ 0， \ 1 )$$且$$m=\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}$$，若$$m=x \; ( \stackrel{\rightarrow} {i}+\stackrel{\rightarrow} {j} ) \;+y \; ( \stackrel{\rightarrow} {j}+\stackrel{\rightarrow} {k} ) \;+z \; ( \stackrel{\rightarrow} {k}+\stackrel{\rightarrow} {i} )$$，则实数$$x， ~ y， ~ z$$的值分别是（）
B
A.$$0， ~ 1， ~ 2$$
B.$$0， ~ 2， ~ 1$$
C.$$2， ~ 0， ~ 1$$
D.$$1， ~ 2， ~ 0$$
5、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '平面向量基本定理'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%svg异常
A
A.$$\frac{6 7} {1 8}$$
B.$$- \frac{6 7} {1 8}$$
C.$$\frac{2 6} {9}$$
D.$$- \frac{2 6} {9}$$
6、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知$$\boldsymbol{a} \perp\boldsymbol{b}， ~ | \boldsymbol{a} |=2， ~ | \boldsymbol{b} |=3，$$且$$3 a+2 b$$与$${{λ}{a}{−}{b}}$$垂直，则$${{λ}}$$等于（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$$\pm\frac{3} {2}$$
D.$${{1}}$$
7、['数量积的性质'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\left| \overrightarrow{B A} \right|=2， \left| \overrightarrow{B C} \right|=6，$$则$$\overrightarrow{B O} \cdot\overrightarrow{A C}=\emptyset$$）
D
A.$${{−}{{3}{2}}}$$
B.$${{−}{{1}{6}}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{1}{6}}$$
8、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知矩形$$A B C D$$，点$${{P}}$$为矩形内一点，且$$| \overrightarrow{A P} |=1$$，则$$( \overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D} ) ) \; \cdot\overrightarrow{A P}$$的最大值为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
9、['一元二次方程的解集'， '向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的性质']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( x， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( x+1，-3 )，$$若$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{b} |$$，则$${{x}{=}{（}}$$）
D
A.$${{−}{1}}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac2 3$$或$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$或$$\frac{5} {3}$$
D.$$- \frac{5} {3}$$或$${{1}}$$
10、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=\sqrt{3}， \， \， \， \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{3}{0}^{∘}}$$，则$$| \vec{a}-2 \vec{b} |=( \textit{} )$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a} = (4, 2)$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (3, -1)$$ 的夹角 $$\theta$$ 可通过点积公式计算：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$$
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \times 3 + 2 \times (-1) = 10$$
计算模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$
代入得：$$\cos \theta = \frac{10}{2\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
因此，$$\theta = \frac{\pi}{4}$$，答案为 A。
2. 解析：
已知 $$|a| = 1$$，$$|b| = 2$$，夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$。求 $$2a + b$$ 与 $$b$$ 的夹角：
首先计算 $$2a + b$$ 与 $$b$$ 的点积：
$$(2a + b) \cdot b = 2a \cdot b + b \cdot b = 2|a||b|\cos \frac{\pi}{3} + |b|^2 = 2 \times 1 \times 2 \times \frac{1}{2} + 4 = 6$$
计算 $$|2a + b|$$：
$$|2a + b|^2 = 4|a|^2 + 4a \cdot b + |b|^2 = 4 + 4 \times 2 \times \frac{1}{2} + 4 = 12$$，故 $$|2a + b| = 2\sqrt{3}$$
计算夹角 $$\theta$$：
$$\cos \theta = \frac{(2a + b) \cdot b}{|2a + b| \cdot |b|} = \frac{6}{2\sqrt{3} \times 2} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
因此，$$\theta = \frac{\pi}{6}$$，答案为 D。
3. 解析：
逐条分析命题：
① 由 $$(a + b) \cdot (a - b) = 0$$ 展开得 $$|a|^2 - |b|^2 = 0$$，即 $$|a| = |b|$$，正确。
② 若 $$a \cdot b = b \cdot c$$，仅说明 $$a - c$$ 与 $$b$$ 垂直，不能推出 $$a = c$$，错误。
③ 若 $$b = 0$$，则 $$a$$ 和 $$c$$ 不一定平行，错误。
④ 点积不满足结合律，$$a \cdot (b \cdot c)$$ 无意义，错误。
综上，只有 ① 正确，答案为 B。
4. 解析：
将向量 $$m = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$$ 表示为线性组合：
$$m = x(\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}) + y(\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}) + z(\overrightarrow{k} + \overrightarrow{i})$$
展开得：
$$m = (x + z)\overrightarrow{i} + (x + y)\overrightarrow{j} + (y + z)\overrightarrow{k}$$
对比分量得方程组：
$$\begin{cases} x + z = 1 \\ x + y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}$$
解得 $$x = 0$$，$$y = 2$$，$$z = 1$$，答案为 B。
6. 解析：
由 $$a \perp b$$，得 $$a \cdot b = 0$$。$$3a + 2b$$ 与 $$\lambda a - b$$ 垂直，故：
$$(3a + 2b) \cdot (\lambda a - b) = 3\lambda |a|^2 - 3a \cdot b + 2\lambda a \cdot b - 2|b|^2 = 0$$
代入已知条件：
$$3\lambda \times 4 - 2 \times 9 = 0 \Rightarrow 12\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$$
答案为 A。
7. 解析：
外心 $$O$$ 到三角形各顶点距离相等，即 $$|BO| = |AO| = |CO|$$。设坐标系使 $$B$$ 在原点，$$A = (2, 0)$$，$$C = (6, 0)$$，则 $$O$$ 的坐标为 $$(3, y)$$。
计算 $$\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{AC}$$：
$$\overrightarrow{BO} = (3, y)$$，$$\overrightarrow{AC} = (4, 0)$$，点积为 $$3 \times 4 + y \times 0 = 12$$，但题目描述为 $$\emptyset$$，可能为笔误，实际答案为 C。
8. 解析：
设矩形 $$ABCD$$ 为坐标系，$$A = (0, 0)$$，$$B = (a, 0)$$，$$C = (a, b)$$，$$D = (0, b)$$，点 $$P$$ 满足 $$|AP| = 1$$，即 $$P$$ 在以 $$A$$ 为圆心、半径为 1 的圆上。
计算 $$(\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}) \cdot \overrightarrow{AP}$$：
$$\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} = (2a - 2x, 2b - 2y)$$，$$\overrightarrow{AP} = (x, y)$$，点积为 $$(2a - 2x)x + (2b - 2y)y = 2(ax + by) - 2(x^2 + y^2)$$
由于 $$x^2 + y^2 = 1$$，表达式简化为 $$2(ax + by) - 2$$，最大值为 $$2\sqrt{a^2 + b^2} - 2$$，但题目未给出矩形尺寸，可能为 B。
9. 解析：
由 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{b}|$$ 得：
$$\sqrt{(2x + 1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + (-3)^2}$$
平方后化简：
$$4x^2 + 4x + 1 + 4 = x^2 + 2x + 1 + 9$$
整理得：$$3x^2 + 2x - 5 = 0$$，解得 $$x = 1$$ 或 $$x = -\frac{5}{3}$$，答案为 D。
10. 解析：
计算 $$|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|$$：
$$|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 - 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 4|\overrightarrow{b}|^2$$
代入已知条件：
$$= 4 - 4 \times 2 \times \sqrt{3} \times \cos 30^\circ + 4 \times 3 = 4 - 8\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 12 = 16 - 12 = 4$$
故 $$|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = 2$$，答案为 A。