向量垂直-向量的数量积知识点月考进阶自测题解析-天津市等高二数学必修,平均正确率52.0%

1. 已知 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$$，且 $$(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$。

由垂直条件得：$$(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0$$

展开：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 0$$

即：$$|\overrightarrow{a}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta = 0$$

代入模长：$$1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = 0$$

解得：$$\cos\theta = -\frac{1}{2}$$

所以夹角为：$$\theta = 120^\circ$$

答案：C

2. 已知 $$\overrightarrow{a} = (m, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, n-2)$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，$$m > 0$$，$$n > 0$$。

由垂直条件：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = m \cdot 1 + 1 \cdot (n-2) = m + n - 2 = 0$$

即：$$m + n = 2$$

目标函数：$$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$$

代入 $$n = 2 - m$$：$$\frac{1}{m} + \frac{2}{2 - m}$$

令 $$f(m) = \frac{1}{m} + \frac{2}{2 - m}$$，$$0 < m < 2$$

求导找最小值：$$f'(m) = -\frac{1}{m^2} + \frac{2}{(2 - m)^2}$$

令导数为零：$$-\frac{1}{m^2} + \frac{2}{(2 - m)^2} = 0$$

解得：$$2m^2 = (2 - m)^2$$，即 $$\sqrt{2}m = 2 - m$$

所以：$$m = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} = 2(\sqrt{2} - 1)$$

代入得最小值：$$\frac{1}{2(\sqrt{2} - 1)} + \frac{2}{2 - 2(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} + \frac{2}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$$

答案：B

4. 动点 $$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \lambda\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C} \right)$$

注意 $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}$$ 方向为高线方向，因此动点沿垂线运动，过垂心。

答案：B

5. 分析各选项：

A. 若 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$$，则 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 反向，不一定垂直。

B. 若 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，则 $$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2} \neq |\vec{a}| - |\vec{b}|$$。

C. 若 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$$，则 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 反向共线，存在 $$\lambda$$ 使 $$\vec{a} = \lambda \vec{b}$$。

D. 若 $$\vec{a} = \lambda \vec{b}$$，当 $$\lambda < 0$$ 时成立，但需具体条件。

答案：C

6. 双曲线焦点 $$F_1(-\sqrt{10}, 0)$$，$$F_2(\sqrt{10}, 0)$$，故 $$c = \sqrt{10}$$。

设 $$M(x, y)$$，由 $$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} = 0$$ 得 $$MF_1 \perp MF_2$$。

且 $$|\overrightarrow{MF_1}| \cdot |\overrightarrow{MF_2}| = 2$$。

由双曲线定义：$$||MF_1| - |MF_2|| = 2a$$。

又 $$|MF_1|^2 + |MF_2|^2 = |F_1F_2|^2 = 40$$。

设 $$u = |MF_1|$$，$$v = |MF_2|$$，则 $$uv = 2$$，$$u^2 + v^2 = 40$$。

解得 $$(u - v)^2 = u^2 + v^2 - 2uv = 40 - 4 = 36$$，所以 $$2a = 6$$，$$a = 3$$。

于是 $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10 - 9} = 1$$。

双曲线方程：$$\frac{x^2}{9} - y^2 = 1$$。

答案：C

7. 已知 $$|\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{7} |\overrightarrow{a}|$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$$。

由垂直条件：$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = 0$$，即 $$|\overrightarrow{a}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，所以 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2$$。

由模长条件平方：$$|\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = 7|\overrightarrow{a}|^2$$

展开：$$|\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7|\overrightarrow{a}|^2$$

代入点积：$$|\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2 = 7|\overrightarrow{a}|^2$$

即：$$|\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}|^2 = 7|\overrightarrow{a}|^2$$

所以：$$4|\overrightarrow{b}|^2 = 4|\overrightarrow{a}|^2$$，即 $$|\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|$$。

设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2}{|\overrightarrow{a}|^2} = \frac{1}{2}$$

所以 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。

答案：C

8. 分析各命题：

① "存在 $$x_0 \in R$$，$$x_0^2 + x_0 - 1 < 0$$" 的否定是 "对所有 $$x \in R$$，$$x^2 + x - 1 \geq 0$$"，原命题错误。

② "$$\varphi = k\pi + \frac{\pi}{2}$$" 是 $$f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$$ 为偶函数的充分必要条件，正确。

③ 等比数列中 $$a_3 = \pm \sqrt{a_1 a_5} = \pm 2$$，但 $$a_3$$ 符号需由公比决定，不一定为 $$\pm 2$$，错误。

④ 由 $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$$ 得 $$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}$$，即 AB 与 CD 平行且相等。

由 $$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$ 得 $$\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，即对角线垂直。

结合知为菱形，正确。

真命题：②④

答案：A

9. 已知 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2$$，且 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$。

由垂直条件：$$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0$$

即：$$|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$

所以：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$

设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$$

所以 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。

答案：C

10. 已知 $$\overrightarrow{a} = (-1, 1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, 0, 2)$$，且 $$(k\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \perp (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$$。

计算：$$k\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-k + 1, k + 0, 0 + 2) = (1 - k, k, 2)$$

$$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (-1 - 2, 1 - 0, 0 - 4) = (-3, 1, -4)$$

由垂直条件点积为零：$$(1 - k, k, 2) \cdot (-3, 1, -4) = 0$$

即：$$(1 - k)(-3) + k \cdot 1 + 2 \cdot (-4) = 0$$

展开：$$-3 + 3k + k - 8 = 0$$

合并：$$4k - 11 = 0$$

所以：$$k = \frac{11}{4}$$

答案：D