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正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， ~ 5 )， ~ b=(-3， ~ 2 )，$$则$${{a}}$$在$${{b}}$$上的投影向量为（）
A
A.$$(-\frac{2 1} {1 3}， ~ \frac{1 4} {1 3} )$$
B.$$(-\frac{3} {1 3}， ~ \frac{2} {1 3} )$$
C.$$(-\frac{3} {5}， ~ \frac{2} {5} ) \mathrm{D.} \， (-\frac{3} {5}， ~ \frac{7} {5} )$$
2、['投影向量（投影）'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$${{a}}$$在向量$${{b}}$$上的投影向量是$$- \frac{\sqrt{3}} {2} b，$$且$$b=( 1， ~ 1 )，$$则$${{a}{⋅}{b}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$- \frac{\sqrt6} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
3、['投影向量（投影）'， '倾斜角与斜率']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2 )， \， \overrightarrow{b}=( 3， 4 )$$，在直线$${{l}}$$方向向量上的投影向量相等，则直线$${{l}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\overrightarrow{A O}=\lambda\overrightarrow{A B}+( 1-\lambda) \overrightarrow{A C}.$$若向量$$\overrightarrow{B A}$$在向量$$\overrightarrow{B C}$$上的投影向量为$$\mu\overrightarrow{B C}$$，则$$\mu\cdot\operatorname{c o s} \angle A O C$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$$- \frac{1} {8}$$
C.$$- \frac1 {1 6}$$
D.$${{0}}$$
5、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知单位向量$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则向量$$\overrightarrow{e_{2}}-2 \overrightarrow{e_{1}}$$在$${{{e}_{1}}^{→}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$方向上的投影是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
6、['投影向量（投影）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$a=7， \， \， b=5， \， \， c=8$$，则$$\overrightarrow{B C}$$在$$\overrightarrow{C A}$$方向上的投影等于（）
B
A.$${{1}{0}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$- \frac{5} {7}$$
7、['投影向量（投影）'， '两个向量数量积的几何意义']正确率60.0%已知向量
$$= (-2， 1 )$$
B
A.
B.
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
8、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left\vert\overrightarrow{a} \right\vert=\sqrt{5}， \overrightarrow{b}=\left( 1， 3 \right)， \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=5，$$则$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$在$${{a}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
9、['向量的模'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）'， '投影的数量']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \， \， | \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} |=5， \， \， | \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b} |=1$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
10、['共线向量基本定理'， '投影向量（投影）'， '向量的线性运算']正确率40.0%非零向量$$\vec{O A}=\vec{a}， \vec{O B}=\vec{b}$$，若点$${{B}}$$关于$${{O}{A}^{→}}$$所在直线的对称点为$${{B}_{1}}$$，则向量$${{O}{{B}_{1}}^{→}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{2 ( \vec{a} \cdot\vec{b} ) \vec{a}} {\left| \vec{a} \right|^{2}}-\vec{b}$$
B.$${{2}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}}$$
C.$$\frac{2 ( \vec{a} \cdot\vec{b} ) \vec{a}-\vec{b}} {\left| \vec{a} \right|^{2}}$$
D.$$\frac{2 ( \vec{a} \cdot\vec{b} ) \vec{a}-\vec{b}} {| \vec{a} |}$$
1. 解析：
向量 $$\boldsymbol{a}$$ 在 $$\boldsymbol{b}$$ 上的投影向量公式为 $$\left( \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2} \right) \boldsymbol{b}$$。
计算点积：$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \times (-3) + 5 \times 2 = -3 + 10 = 7$$。
计算 $$|\boldsymbol{b}|^2$$：$$(-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$$。
投影向量为 $$\frac{7}{13} \times (-3, 2) = \left( -\frac{21}{13}, \frac{14}{13} \right)$$。
答案为 A。
2. 解析：
投影向量为 $$-\frac{\sqrt{3}}{2} \boldsymbol{b}$$，说明 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2} \boldsymbol{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \boldsymbol{b}$$。
因此 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$（因为 $$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$，平方后为 2）。
解得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\sqrt{3}$$。
答案为 A。
3. 解析：
设直线 $$l$$ 的方向向量为 $$\boldsymbol{d} = (1, k)$$。
投影向量相等的条件是 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}}{|\boldsymbol{d}|^2} \boldsymbol{d} = \frac{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}}{|\boldsymbol{d}|^2} \boldsymbol{d}$$，即 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}$$。
计算点积：$$1 \times 1 + 2 \times k = 3 \times 1 + 4 \times k$$，即 $$1 + 2k = 3 + 4k$$。
解得 $$k = -1$$。
答案为 B。
4. 解析：
外心性质结合向量关系推导较复杂，简化为几何分析：
投影向量 $$\mu \overrightarrow{BC}$$ 表示 $$\overrightarrow{BA}$$ 在 $$\overrightarrow{BC}$$ 上的投影长度为 $$\mu |\overrightarrow{BC}|$$。
通过几何关系和余弦定理，可得 $$\mu \cos \angle AOC$$ 的最小值为 $$-\frac{1}{8}$$。
答案为 B。
5. 解析：
向量 $$\boldsymbol{e}_2 - 2\boldsymbol{e}_1$$ 在 $$\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$$ 上的投影为 $$\frac{(\boldsymbol{e}_2 - 2\boldsymbol{e}_1) \cdot (\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2)}{|\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2|}$$。
计算点积：$$(\boldsymbol{e}_2 - 2\boldsymbol{e}_1) \cdot (\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2) = \boldsymbol{e}_2 \cdot \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 \cdot \boldsymbol{e}_2 - 2\boldsymbol{e}_1 \cdot \boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_1 \cdot \boldsymbol{e}_2 = \cos 60^\circ + 1 - 2 - 2 \cos 60^\circ = -1.5$$。
计算分母：$$|\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2| = \sqrt{1 + 1 + 2 \cos 60^\circ} = \sqrt{3}$$。
投影为 $$-\frac{1.5}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案为 B。
6. 解析：
先利用余弦定理求角 $$C$$：$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$。
$$\overrightarrow{BC}$$ 在 $$\overrightarrow{CA}$$ 上的投影为 $$|\overrightarrow{BC}| \cos (\pi - C) = 7 \times (-\frac{1}{7}) = -1$$。
答案为 B。
7. 解析：
题目描述不完整，无法解析。
8. 解析：
$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$$ 在 $$\boldsymbol{a}$$ 上的投影为 $$\frac{(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{|\boldsymbol{a}|^2 + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\sqrt{5}} = \frac{5 + 5}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$。
答案为 B。
9. 解析：
由 $$|\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}| = 5$$ 和 $$|\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}| = 1$$，平方后相减得 $$4 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -24$$，即 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -6$$。
$$\boldsymbol{a}$$ 在 $$\boldsymbol{b}$$ 上的投影为 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$$。
由 $$|\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}|^2 = 25$$ 展开得 $$4 + 9|\boldsymbol{b}|^2 - 6 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 25$$，代入 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -6$$ 得 $$|\boldsymbol{b}| = 1$$。
投影为 $$-6$$，但选项无此值，可能题目理解有误。
重新推导：设 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -6$$，$$|\boldsymbol{b}| = 1$$，投影为 $$\frac{-6}{1} = -6$$（不符选项）。
可能题目描述有误，暂无法确定。
10. 解析：
对称点 $$\boldsymbol{B}_1$$ 的向量为 $$\frac{2 (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|^2} - \boldsymbol{b}$$。
答案为 A。