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正确率60.0%若$$\left| \vec{a} \right|=1， \left| \vec{b} \right|=\sqrt{2}，$$且$$\left( \vec{a}-\vec{b} \right) \bot\vec{a}，$$则向量$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为
B
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
2、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$是夹角为$${{6}{0}^{o}}$$的单位向量，则$$\overrightarrow{a}=2 \overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$$和$$\vec{b}=-3 \vec{m}+2 \vec{n}$$的夹角是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}^{o}}$$
B.$${{6}{0}^{o}}$$
C.$${{9}{0}^{o}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{o}}$$
3、['数量积的性质'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}=\ ( 1， \ \sqrt{3} ) \， \ \overrightarrow{A C}=\ ( \ -1， \ \sqrt{3} )$$则$$\angle B A C=\alpha$$）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
4、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个非零向量，满足$$\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=2 \left| \overrightarrow{a} \right|，$$则向量$${{b}^{→}}$$与$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}{0}{^{∘}}}$$
B.$${{6}{0}{^{∘}}}$$
C.$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$
D.$${{1}{5}{0}{^{∘}}}$$
5、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角'， '投影的数量']正确率40.0%设单位向量$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {2}，$$$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}，$$$$\vec{b}=2 \vec{e_{1}}-3 \vec{e_{2}}，$$则$${{b}^{⃗}}$$在$${{a}{⃗}}$$方向上的投影为（）
A
A.$$- \frac{4 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{4 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
7、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%若两个非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=2 | \overrightarrow{a} |$$，则向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角的余弦值是（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
8、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为两非零向量，若$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的大小是（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
9、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$\left| \overrightarrow{a} \right|=1， ~ ~ \left| \overrightarrow{b} \right|=2，$$且$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{a}=0$$，则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
C
A.$${{6}{0}^{0}}$$
B.$${{9}{0}^{0}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{0}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{0}}$$
10、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=2 \sqrt{2}， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=3， \， \， \， \overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{b}$$的夹角为$$\frac{\pi} {4}$$，如图所示，若$$\overrightarrow{A B}=5 \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}， \， \， \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}， \， \， D$$为$${{B}{C}}$$的中点，则$$| \overrightarrow{A D} |$$为（）
C
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$$\frac{1 5} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$
1. 已知 $$\left| \vec{a} \right|=1, \left| \vec{b} \right|=\sqrt{2},$$ 且 $$\left( \vec{a}-\vec{b} \right) \bot \vec{a},$$ 则 $$\left( \vec{a}-\vec{b} \right) \cdot \vec{a} = 0.$$
展开：$$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 0.$$
代入：$$1 - 1 \times \sqrt{2} \times \cos\theta = 0 \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
夹角 $$\theta = \frac{\pi}{4}.$$ 答案：B.
2. 已知 $$\vec{m}, \vec{n}$$ 是单位向量，夹角为 $$60^\circ,$$ 则 $$\vec{m} \cdot \vec{n} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$$
计算 $$\vec{a} = 2\vec{m} + \vec{n}, \vec{b} = -3\vec{m} + 2\vec{n}.$$
计算模：$$|\vec{a}|^2 = 4|\vec{m}|^2 + 4\vec{m} \cdot \vec{n} + |\vec{n}|^2 = 4 + 4 \times \frac{1}{2} + 1 = 7,$$ $$|\vec{b}|^2 = 9|\vec{m}|^2 - 12\vec{m} \cdot \vec{n} + 4|\vec{n}|^2 = 9 - 12 \times \frac{1}{2} + 4 = 7.$$
点积：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (-3\vec{m} + 2\vec{n}) = -6|\vec{m}|^2 + 4\vec{m} \cdot \vec{n} - 3\vec{m} \cdot \vec{n} + 2|\vec{n}|^2 = -6 + \frac{1}{2} + 2 = -3.5.$$
余弦：$$\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-3.5}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = -\frac{1}{2}.$$
夹角 $$\phi = 120^\circ.$$ 答案：D.
3. 向量 $$\overrightarrow{AB} = (1, \sqrt{3}), \overrightarrow{AC} = (-1, \sqrt{3}).$$
点积：$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-1) + \sqrt{3} \times \sqrt{3} = -1 + 3 = 2.$$
模：$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2, |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.$$
余弦：$$\cos\alpha = \frac{2}{2 \times 2} = \frac{1}{2},$$ 夹角 $$\alpha = 60^\circ.$$ 答案：C.
4. 已知 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2|\vec{a}|.$$
由 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$$ 得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.$$
设 $$|\vec{a}| = k,$$ 则 $$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = k^2 + |\vec{b}|^2 = 4k^2 \Rightarrow |\vec{b}|^2 = 3k^2.$$
求 $$\vec{b}$$ 与 $$\vec{a} + \vec{b}$$ 夹角 $$\theta:$$
$$\cos\theta = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{b}||\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|^2}{|\vec{b}| \times 2k} = \frac{3k^2}{2k \times \sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$$\theta = 30^\circ.$$ 答案：A.
5. 单位向量 $$\vec{e_1}, \vec{e_2}$$ 夹角 $$\frac{\pi}{2},$$ 即 $$\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = 0.$$
$$\vec{a} = \vec{e_1} + 2\vec{e_2}, \vec{b} = 2\vec{e_1} - 3\vec{e_2}.$$
投影：$$\text{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}.$$
点积：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{e_1} + 2\vec{e_2}) \cdot (2\vec{e_1} - 3\vec{e_2}) = 2|\vec{e_1}|^2 - 3\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} + 4\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} - 6|\vec{e_2}|^2 = 2 - 6 = -4.$$
模：$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.$$
投影：$$\frac{-4}{\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{5}}{5}.$$ 答案：A.
7. 已知 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2|\vec{a}|.$$
由 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$$ 得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.$$
设 $$|\vec{a}| = k,$$ 则 $$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = k^2 + |\vec{b}|^2 = 4k^2 \Rightarrow |\vec{b}|^2 = 3k^2.$$
求 $$\vec{a} + \vec{b}$$ 与 $$\vec{a} - \vec{b}$$ 夹角 $$\phi:$$
点积：$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = k^2 - 3k^2 = -2k^2.$$
模：$$|\vec{a} + \vec{b}| = 2k, |\vec{a} - \vec{b}| = 2k.$$
余弦：$$\cos\phi = \frac{-2k^2}{2k \times 2k} = -\frac{1}{2}.$$ 答案：B.
8. 已知 $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|.$$
平方：$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.$$
夹角为 $$90^\circ.$$ 答案：D.
9. 已知 $$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2,$$ 且 $$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0.$$
展开：$$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow 1 + |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 0.$$
代入：$$1 + 1 \times 2 \times \cos\theta = 0 \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2}.$$
夹角 $$\theta = 120^\circ.$$ 答案：C.
10. 已知 $$|\vec{a}| = 2\sqrt{2}, |\vec{b}| = 3,$$ 夹角 $$\frac{\pi}{4},$$ 则 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \times 3 \times \cos\frac{\pi}{4} = 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6.$$
$$\overrightarrow{AB} = 5\vec{a} + 2\vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{a} - 3\vec{b},$$ D 为 BC 中点，则 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(6\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}.$$
计算模：$$|\overrightarrow{AD}|^2 = (3\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2.$$
代入：$$9 \times (2\sqrt{2})^2 - 3 \times 6 + \frac{1}{4} \times 9 = 9 \times 8 - 18 + \frac{9}{4} = 72 - 18 + 2.25 = 56.25.$$
$$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{56.25} = 7.5 = \frac{15}{2}.$$ 答案：C.