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正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-2， 2 )， \overrightarrow{b}=( x， 1 ) ( x \in R )$$，若$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，则$$| \vec{a}+\vec{b} |=( \textit{} )$$
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
2、['向量垂直'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 1， 2 )$$，$$\vec{b}=(-2， x， 2 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 4，-2， 3 )$$，若$$\vec{b} \perp( \vec{a}+\vec{c} )$$，则$${{x}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{6}}$$
3、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率60.0%已知非零向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$满足$$\left( \vec{b}-2 \vec{a} \right) \perp\vec{b}，$$且$$\vec{a} \perp\left( \vec{a}-2 \vec{b} \right)，$$则$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角是（）
A
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
4、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量垂直'， '向量的线性运算']正确率40.0%设$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的一点，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\left( \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A} \right)=2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$且$$\overrightarrow{A B}^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}-2 \overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{A P}$$.则点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
C
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
5、['共线向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率40.0%在直角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，$$C=\frac{\pi} {2}， \; \; | A C |=3$$，对于平面$${{A}{B}{C}}$$内的任一点$${{M}}$$，平面$${{A}{B}{C}}$$内总有一点$${{D}}$$使$$3 \overrightarrow{M D}=\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M A}$$，则$$\overrightarrow{C D} \cdot\overrightarrow{C A}=\emptyset$$）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
6、['双曲线的离心率'， '向量垂直'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知点$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上一点，若$$\vec{P F_{1}} \cdot\vec{P F_{2}}=0， \， \， \， \operatorname{t a n} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1} {2}，$$则双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
7、['向量的模'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率40.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$( \begin{matrix} {\overrightarrow{a}} \\ \end{matrix}-2 \begin{matrix} {\overrightarrow{b}} \\ \end{matrix} ) \perp\begin{matrix} {( 3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} \\ \end{matrix} )$$，且$$| \overrightarrow{a} |=\frac{1} {2} | \overrightarrow{b} |$$，则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
8、['数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%在$$R t \triangle A B C$$中，$$\angle C=9 0^{\circ}， ~ A C=4$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=( \eta)$$
B
A.$${{−}{{1}{6}}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{−}{9}}$$
D.$${{9}}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%在$$R t \triangle A B C$$中，点$${{D}}$$为斜边$${{B}{C}}$$的中点，$$| \overrightarrow{A B} |=8， \， \， \， | \overrightarrow{A C} |=6$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A B}=~ ($$）
C
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{4}{0}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{1}{6}}$$
10、['平面向量数乘的坐标运算'， '向量垂直'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( t， 2 \right)， \， \， \vec{b}=\left( 3， 4 \right)， \， \， \， \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \bot\vec{b}$$，则$${{a}{⃗}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影为（）
A
A.$${{−}{5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
1. 由向量垂直的条件，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2x + 2 \times 1 = 0$$，解得 $$x = 1$$。因此 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-2 + 1, 2 + 1) = (-1, 3)$$，其模长为 $$| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} | = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$。故选 D。
2. 先计算 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = (2 + 4, 1 - 2, 2 + 3) = (6, -1, 5)$$。由 $$\overrightarrow{b} \perp (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c})$$，有 $$\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = -2 \times 6 + x \times (-1) + 2 \times 5 = -12 - x + 10 = 0$$，解得 $$x = -2$$。故选 A。
3. 由题意得两个垂直条件：
(1) $$(\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$；
(2) $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。
设夹角为 $$\theta$$，由 (2) 得 $$|\overrightarrow{a}|^2 = 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，代入 (1) 得 $$|\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2$$，即 $$|\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|$$。因此 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 / 2}{|\overrightarrow{a}|^2} = \frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。选 A。
4. 由 $$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$，化简得 $$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} - 2\overrightarrow{CP}) = 0$$。注意到 $$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} = 2\overrightarrow{CM}$$（M 为 AB 中点），故 $$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CP}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PM} = 0$$，说明 P 在 AB 的中垂线上。
再由 $$\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{AC}^2 - 2\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AP}$$，利用向量运算可得 P 为三角形的外心。故选 C。
5. 由 $$3\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MA}$$，整理得 $$\overrightarrow{D} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M} + 2(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}))$$，解得 $$\overrightarrow{D} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B}$$。因此 D 是 AB 的一个三等分点。在直角三角形中，$$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} = \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}\right) \cdot \overrightarrow{CA} = \frac{2}{3}|\overrightarrow{CA}|^2 = \frac{2}{3} \times 9 = 6$$。故选 D。
6. 由 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，知 PF₁ ⊥ PF₂。设 $$|PF_1| = m$$，$$|PF_2| = n$$，由双曲线性质有 $$m - n = 2a$$。在直角三角形中，$$\tan \angle PF_1F_2 = \frac{n}{m} = \frac{1}{2}$$，解得 $$m = 2n$$。代入得 $$2n - n = 2a$$，即 $$n = 2a$$，$$m = 4a$$。由勾股定理 $$(4a)^2 + (2a)^2 = (2c)^2$$，得 $$20a^2 = 4c^2$$，故离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$$。选 C。
7. 由 $$(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \perp (3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$，有 $$(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \cdot (3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 3|\overrightarrow{a}|^2 - 5\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2|\overrightarrow{b}|^2 = 0$$。设 $$|\overrightarrow{a}| = k$$，则 $$|\overrightarrow{b}| = 2k$$，代入得 $$3k^2 - 5\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 8k^2 = 0$$，解得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -k^2$$。因此 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{-k^2}{k \times 2k} = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。选 C。
8. 在直角三角形中，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos \angle BAC$$。由勾股定理 $$|\overrightarrow{AB}| = 5$$（若 $$|\overrightarrow{BC}| = 3$$），但题目未给出 BC 长度。实际上，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2 = 16$$，因为 $$\overrightarrow{AB}$$ 在 $$\overrightarrow{AC}$$ 上的投影就是 AC 本身。故选 B。
9. D 为 BC 中点，故 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。因此 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{AB}|^2 + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB})$$。在直角三角形中，$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，故结果为 $$\frac{1}{2} \times 8^2 = 32$$。选 C。
10. 由 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{b}$$，有 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = 0$$。计算得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3t + 8$$，$$|\overrightarrow{b}|^2 = 25$$，故 $$3t + 8 + 25 = 0$$，解得 $$t = -11$$。因此 $$\overrightarrow{a} = (-11, 2)$$，投影为 $$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{-33 + 8}{5} = -5$$。选 A。