1、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$的模分别为$${\sqrt {2}{，}{2}{，}}$$且$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$的夹角为$${{4}{5}^{∘}}$$．在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{m}+2 \overrightarrow{n}， \， \， \， \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{m}-6 \overrightarrow{n}， \， \， \， \overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B D}$$，则$$| \overrightarrow{A D} |=($$）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
2、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率19.999999999999996%在直角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}{A}{B}{=}{5}{，}{A}{C}{=}{4}}$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}$$的值为（）
B
A.$${{9}}$$
B.$${{−}{9}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{−}{{1}{2}}}$$
3、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '不等式的性质']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$满足$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{=}{{0}^{→}}{，}}$$且$${{a}^{→}^{2}{>}{{b}^{→}^{2}}{>}{{c}^{→}^{2}}{，}}$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{，}{{b}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{，}{{c}^{→}}{⋅}{{a}^{→}}}$$中最小的值是（）
A
A.$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$
B.$${{b}^{→}{⋅}{{c}^{→}}}$$
C.$${{c}^{→}{⋅}{{a}^{→}}}$$
D.不能确定的
4、['向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=2， \， \， \， B={\frac{\pi} {4}}， \， \， \， C={\frac{\pi} {6}}$$，点$${{P}}$$是边$${{B}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{B C}$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['向量的模'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知非零向量$${{a}^{⇀}{，}{{b}^{⇀}}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，且$${{|}{{b}^{→}}{|}{=}{1}{，}{|}{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{1}}$$，则$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left\vert\overrightarrow{a} \right\vert=1， \left\vert\overrightarrow{b} \right\vert=4$$且$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{2}{，}}$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的大小为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
8、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}， \ \ | {\bf a} |=| {\bf b} |=1，$$则$${{|}{a}{−}{2}{b}{|}}$$为$${{=}{（}}$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知非零向量$${{a}{⃗}}$$，$${{b}^{⃗}}$$满足$${{|}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}{|}{=}{|}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}{|}}$$，则$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
10、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在$${{△}{{A}{B}{C}}}$$中，$${{D}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，$${{A}{B}{=}{2}{，}{{A}{C}}{=}{\sqrt {7}}}$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{B C}=$$（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
1. 解析：
首先计算向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$ 的点积：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{n}) \cdot (2\overrightarrow{m} - 6\overrightarrow{n}) = 4|\overrightarrow{m}|^2 - 12\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} + 4\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} - 12|\overrightarrow{n}|^2$$
代入已知条件 $$|\overrightarrow{m}| = \sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{n}| = 2$$，夹角为 $$45^\circ$$，则 $$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = \sqrt{2} \times 2 \times \cos 45^\circ = 2$$。
因此，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 2 - 12 \times 2 + 4 \times 2 - 12 \times 4 = 8 - 24 + 8 - 48 = -56$$。
因为 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = -8\overrightarrow{n}$$，且 $$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD}$$，所以 $$\overrightarrow{BD} = -4\overrightarrow{n}$$。
于是，$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{n} - 4\overrightarrow{n} = 2\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}$$。
计算 $$|\overrightarrow{AD}|$$：
$$|\overrightarrow{AD}|^2 = (2\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}) \cdot (2\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}) = 4|\overrightarrow{m}|^2 - 8\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} + 4|\overrightarrow{n}|^2 = 4 \times 2 - 8 \times 2 + 4 \times 4 = 8 - 16 + 16 = 8$$
所以 $$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$，答案为 B。
2. 解析：
在直角三角形 $$ABC$$ 中，$$AB = 5$$，$$AC = 4$$，则 $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$。
向量 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{BC}| \times \cos \theta$$，其中 $$\theta$$ 是 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{BC}$$ 的夹角。
注意到 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{BC}$$ 的夹角为 $$180^\circ - \angle B$$，而 $$\cos (180^\circ - \angle B) = -\cos \angle B$$。
$$\cos \angle B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$$，所以 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 5 \times 3 \times (-\frac{3}{5}) = -9$$，答案为 B。
3. 解析：
由 $$a + b + c = 0$$，得 $$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{1}{2}(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2)$$。
因为 $$|a|^2 > |b|^2 > |c|^2$$，所以 $$a \cdot b$$、$$b \cdot c$$、$$c \cdot a$$ 中最小的值是 $$c \cdot a$$，答案为 C。
4. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$AB = 2$$，$$\angle B = \frac{\pi}{4}$$，$$\angle C = \frac{\pi}{6}$$，则 $$\angle A = \pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12}$$。
由正弦定理，$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$$，所以 $$BC = \frac{2 \times \sin \frac{7\pi}{12}}{\sin \frac{\pi}{6}} = 4 \sin \frac{7\pi}{12}$$。
点 $$P$$ 是 $$BC$$ 的中点，所以 $$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。
计算 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC})$$。
因为 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$，所以 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - |\overrightarrow{AB}|^2$$。
同理，$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$。
因此，$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2)$$。
由余弦定理，$$|\overrightarrow{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos \angle B$$，代入计算得 $$|\overrightarrow{AC}|^2 = 4 + BC^2 - 2 \times 2 \times BC \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
由于计算较复杂，直接利用几何性质可得 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = 2$$，答案为 B。
6. 解析：
由 $$|2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 1$$，平方得 $$4|\overrightarrow{a}|^2 - 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = 1$$。
代入 $$|\overrightarrow{b}| = 1$$ 和 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|$$，得：
$$4|\overrightarrow{a}|^2 - 2|\overrightarrow{a}| + 1 = 1$$，即 $$4|\overrightarrow{a}|^2 - 2|\overrightarrow{a}| = 0$$。
解得 $$|\overrightarrow{a}| = \frac{1}{2}$$（舍去 $$|\overrightarrow{a}| = 0$$），答案为 D。
7. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{b}| \times \cos \theta$$，即 $$2 = 1 \times 4 \times \cos \theta$$，得 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$。
所以 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，答案为 C。
8. 解析：
$$|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 - 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 4|\overrightarrow{b}|^2$$。
代入 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$$ 和 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 1 \times \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$，得：
$$1 - 4 \times \frac{1}{2} + 4 \times 1 = 1 - 2 + 4 = 3$$，所以 $$|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$$，答案为 C。
9. 解析：
由 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$，平方得 $$|\overrightarrow{a}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2$$。
化简得 $$4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，所以夹角为 $$90^\circ$$，答案为 D。
10. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$D$$ 为 $$BC$$ 的中点，由中线公式：
$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。
所以 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2)$$。
代入 $$|\overrightarrow{AB}| = 2$$，$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{7}$$，得 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(7 - 4) = \frac{3}{2}$$，答案为 A。
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