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正确率60.0%已知$$\vert\overrightarrow{a} \vert=1， \; \; \vert\overrightarrow{b} \vert=6， \; \; \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} )=2$$，则向量$${{a}^{→}}$$与向量$${{b}^{→}}$$的夹角是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
2、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，且$$| \overrightarrow{a} |=2， ~ ~ | \overrightarrow{b} |=2$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['向量的夹角']正确率40.0%已知向量$$\vec{a}=( 2， 1 ) \，， \， \， \， \vec{b}=( 1， 3 ) \，，$$则向量$${{2}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}}$$与$${{a}{⃗}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
4、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=1$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$则向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
B
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$${{π}}$$
D.$${{0}}$$
5、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%若$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是夹角为$${{6}{0}^{o}}$$的两个单位向量，则$$\overrightarrow{a}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}， \; \; \overrightarrow{b}=-3 \overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}$$夹角为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}^{o}}$$
B.$${{6}{0}^{o}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{o}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{o}}$$
6、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}^{→}}$$是单位向量，$$| \vec{b} |=\sqrt{6}$$，且$$( \begin{matrix} {2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} \\ \end{matrix} ) \ \cdot\ ( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} ) \ =4-\sqrt{3}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
D
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
7、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量$${{m}^{→}{，}{{m}^{→}}}$$满足$$\left| \overrightarrow{m} \right|=4， \left| \overrightarrow{n} \right|=5， \left| \overrightarrow{m}-2 \overrightarrow{n} \right|=9，$$则$${{m}^{→}}$$与$${{n}^{→}}$$夹角的余弦值是（）
A
A.$$\frac{7} {1 6}$$
B.$$\frac{9} {1 6}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 3}} {1 6}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{2 3}} {1 6}$$
8、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%svg异常
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， \; \; x )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， \; \;-4 )$$，若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为锐角，则实数$${{x}}$$的取值范围为（）
C
A.$$\{x | x < \frac{1} {2} \}$$
B.$$\{x | x > \frac{1} {2} \}$$
C.$$\{x | x < \frac{1} {2} \ss x \neq-2 \}$$
D.$$\{x | x > \frac{1} {2} \ss x \neq2 \}$$
10、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是夹角为$${{9}{0}^{∘}}$$的两个单位向量，则$$\overrightarrow{a}=3 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}， \; \; \overrightarrow{b}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}$$的夹角为（）
C
A.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
1. 已知 $$|\overrightarrow{a}|=1$$，$$|\overrightarrow{b}|=6$$，$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=2$$。求向量 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角。
解析：
展开点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 2$$
代入已知条件：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 1 = 2$$，得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$
利用点积公式：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta$$
代入数值：$$3 = 1 \times 6 \times \cos \theta$$，解得 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$
因此，夹角 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选 C。
2. 已知向量 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角为 $$60^\circ$$，且 $$|\overrightarrow{a}|=2$$，$$|\overrightarrow{b}|=2$$，求 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
解析：
直接利用点积公式：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta$$
代入数值：$$2 \times 2 \times \cos 60^\circ = 4 \times \frac{1}{2} = 2$$
因此，答案为 A。
3. 已知向量 $$\overrightarrow{a}=(2,1)$$，$$\overrightarrow{b}=(1,3)$$，求向量 $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{a}$$ 的夹角。
解析：
计算 $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = (4-1, 2-3) = (3, -1)$$
计算点积：$$(3, -1) \cdot (2,1) = 6 -1 = 5$$
计算模长：$$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$，$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$
利用点积公式：$$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
因此，夹角 $$\theta = 45^\circ$$，选 C。
4. 已知 $$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$$，且夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，求向量 $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ 的夹角。
解析：
计算点积：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 - |\overrightarrow{b}|^2 = 1 - 1 = 0$$
因为点积为 0，所以两向量垂直，夹角为 $$\frac{\pi}{2}$$，选 B。
5. 若 $$\overrightarrow{e_1}$$ 和 $$\overrightarrow{e_2}$$ 是夹角为 $$60^\circ$$ 的单位向量，求 $$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$$ 与 $$\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$$ 的夹角。
解析：
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(-3) + (1)(2) + (2)(2)\cos 60^\circ = -6 + 2 + 2 = -2$$
计算模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2 \times 2 \times 1 \times \cos 60^\circ} = \sqrt{4 + 1 + 2} = \sqrt{7}$$
$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 2 \times (-3) \times 2 \times \cos 60^\circ} = \sqrt{9 + 4 - 6} = \sqrt{7}$$
利用点积公式：$$\cos \theta = \frac{-2}{7}$$，因此 $$\theta = 120^\circ$$，选 C。
6. 已知 $$\overrightarrow{a}$$ 是单位向量，$$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$$，且 $$(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) = 4 - \sqrt{3}$$，求 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角。
解析：
展开点积：$$2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 - \sqrt{3}$$
化简得：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2 + 6 = 4 - \sqrt{3}$$，即 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{3}$$
利用点积公式：$$\sqrt{3} = 1 \times \sqrt{6} \times \cos \theta$$，解得 $$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此，夹角 $$\theta = 45^\circ$$，选 A。
7. 若向量 $$\overrightarrow{m}$$ 和 $$\overrightarrow{n}$$ 满足 $$|\overrightarrow{m}|=4$$，$$|\overrightarrow{n}|=5$$，$$|\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}|=9$$，求 $$\overrightarrow{m}$$ 与 $$\overrightarrow{n}$$ 夹角的余弦值。
解析：
展开模长公式：$$|\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}|^2 = |\overrightarrow{m}|^2 + 4|\overrightarrow{n}|^2 - 4\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}$$
代入数值：$$81 = 16 + 100 - 4\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}$$，解得 $$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = \frac{35}{4}$$
利用点积公式：$$\cos \theta = \frac{\frac{35}{4}}{4 \times 5} = \frac{35}{80} = \frac{7}{16}$$
因此，答案为 A。
9. 已知 $$\overrightarrow{a}=(1,x)$$，$$\overrightarrow{b}=(2,-4)$$，若 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角为锐角，求实数 $$x$$ 的取值范围。
解析：
夹角为锐角的条件是 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0$$ 且 $$\overrightarrow{a}$$ 不与 $$\overrightarrow{b}$$ 同向。
计算点积：$$1 \times 2 + x \times (-4) = 2 - 4x > 0$$，解得 $$x < \frac{1}{2}$$
排除同向情况：$$\frac{1}{2} = \frac{x}{-4}$$，得 $$x = -2$$
因此，$$x < \frac{1}{2}$$ 且 $$x \neq -2$$，选 C。
10. 已知 $$\overrightarrow{e_1}$$ 和 $$\overrightarrow{e_2}$$ 是夹角为 $$90^\circ$$ 的单位向量，求 $$\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$$ 与 $$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$$ 的夹角。
解析：
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \times 2 + (-1) \times 1 = 5$$
计算模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$
利用点积公式：$$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
因此，夹角 $$\theta = 45^\circ$$，选 C。