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正确率60.0%在四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$\angle A C D=\angle B D C=9 0^{\circ}，$$且$$A B=2， \， \， \， C D=1，$$则$$\overrightarrow{A B}$$在$$\overrightarrow{C D}$$上的投影为（）
B
A.$$\overrightarrow{A B}$$
B.$$\overrightarrow{C D}$$
C.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}$$
D.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{C D}$$
2、['数量积的性质'， '投影向量（投影）']正确率40.0%设非零向量$${{m}{，}{n}}$$满足$$| \boldsymbol{m} |=2， ~ | \boldsymbol{n} |=3， ~ | \boldsymbol{m}+\boldsymbol{n} |=3 \sqrt{2}.$$则$${{m}}$$在$${{n}}$$上的投影向量为（）
C
A.$$- \frac{5} {1 8} n$$
B.$$- \frac5 8 m$$
C.$${\frac{5} {1 8}} n$$
D.$${\frac{5} {8}} m$$
3、['向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率80.0%下列说法中正确的是（）
D
A.若$${{a}{≠}{0}{，}}$$则对任意$${{b}{≠}{0}{，}}$$有$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} \neq0$$
B.若$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=0，$$则$${{a}{，}{b}}$$中至少有一个为$${{0}}$$
C.$$| \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} |$$表示向量$${{a}{⋅}{b}}$$的长度
D.$${{b}}$$在$${{a}}$$上的投影向量与$${{a}}$$共线
4、['向量的数量积'， '投影向量（投影）'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=( 1， 1， 2 )$$，$$\overrightarrow{O B}=(-1， 0， 2 )$$，$$\overrightarrow{O C}=( 2， 1， \lambda)$$，若$${{O}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$共面，则$$\overrightarrow{O C}$$在$$\overrightarrow{O B}$$上的投影向量的模为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
5、['向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\overrightarrow{A O}=\lambda\overrightarrow{A B}+( 1-\lambda) \overrightarrow{A C}.$$若向量$$\overrightarrow{B A}$$在向量$$\overrightarrow{B C}$$上的投影向量为$$\mu\overrightarrow{B C}$$，则$$\mu\cdot\operatorname{c o s} \angle A O C$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$$- \frac{1} {8}$$
C.$$- \frac1 {1 6}$$
D.$${{0}}$$
6、['投影向量（投影）']正确率60.0%若$$| \overrightarrow{a} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=4，$$向量$${{a}^{→}}$$与向量$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\mathbf{1 2 0}^{\circ}，$$记向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$上的投影向量为$${{γ}^{→}}$$，则$${{|}{{γ}^{→}}{|}{=}}$$（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
7、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '投影向量（投影）']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=3$$且$$\vec{b}=( 0， ~-1 )，$$若向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影为$${{−}{2}}$$，则$$| \overrightarrow{a} |=($$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{1}{2}}$$
8、['数量积的性质'， '投影向量（投影）']正确率40.0%设$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$为单位向量，且$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$若$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{e_{1}}+3 \overrightarrow{e_{2}}， \; \; \overrightarrow{b}=2 \overrightarrow{e_{1}}，$$则向量$${{a}{⃗}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['向量减法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角']正确率60.0%已知两个单位向量$${{a}^{→}}$$和$${{b}^{→}}$$夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则向量$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$在向量$${{a}^{→}}$$方向上的投影为（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['向量的模'， '投影向量（投影）'， '投影的数量']正确率60.0%向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影为（）
C
A.
B.
C.
D.
1. 解析：
在四面体$$ABCD$$中，已知$$\angle ACD = \angle BDC = 90^\circ$$，且$$AB=2$$，$$CD=1$$。求$$\overrightarrow{AB}$$在$$\overrightarrow{CD}$$上的投影。
由于$$\angle ACD = 90^\circ$$，$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$$；同理，$$\angle BDC = 90^\circ$$，$$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$$。
设$$\overrightarrow{CD}$$的方向向量为$$\vec{d}$$，则$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$$。
投影长度为$$\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}) \cdot \vec{d}}{1} = \overrightarrow{CB} \cdot \vec{d}$$。
由于$$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}$$，且$$\overrightarrow{DB} \cdot \vec{d} = 0$$，所以投影长度为$$|\overrightarrow{CD}| = 1$$，即$$\frac{1}{2} \overrightarrow{CD}$$。
答案为：$$D$$。
2. 解析：
已知非零向量$$\vec{m}$$和$$\vec{n}$$满足$$|\vec{m}| = 2$$，$$|\vec{n}| = 3$$，$$|\vec{m} + \vec{n}| = 3\sqrt{2}$$。
利用向量长度公式：$$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = |\vec{m}|^2 + |\vec{n}|^2 + 2\vec{m} \cdot \vec{n}$$，代入得：$$18 = 4 + 9 + 2\vec{m} \cdot \vec{n}$$，解得$$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{5}{2}$$。
投影向量为$$\left(\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|^2}\right) \vec{n} = \frac{5}{18} \vec{n}$$。
答案为：$$C$$。
3. 解析：
选项分析：
A. 错误。若$$\vec{a} \neq \vec{0}$$，存在非零向量$$\vec{b}$$使得$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$（如正交向量）。
B. 错误。$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$时，$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$可以都不为零（正交）。
C. 错误。$$|\vec{a} \cdot \vec{b}|$$是标量，不表示向量长度。
D. 正确。投影向量与参考向量$$\vec{a}$$共线。
答案为：$$D$$。
4. 解析：
已知向量$$\overrightarrow{OA} = (1, 1, 2)$$，$$\overrightarrow{OB} = (-1, 0, 2)$$，$$\overrightarrow{OC} = (2, 1, \lambda)$$，且$$O, A, B, C$$共面。
共面条件为$$\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$$，解得$$x = 1$$，$$y = -1$$，$$\lambda = 0$$。
投影向量的模为$$\left|\frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}\right| = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
答案为：$$A$$。
5. 解析：
设$$O$$为$$\triangle ABC$$的外心，$$\overrightarrow{AO} = \lambda \overrightarrow{AB} + (1 - \lambda)\overrightarrow{AC}$$。
由外心性质，$$\overrightarrow{BA}$$在$$\overrightarrow{BC}$$上的投影向量为$$\mu \overrightarrow{BC}$$，其中$$\mu = \frac{1}{2} - \lambda$$。
利用向量关系及余弦定理，可得$$\mu \cdot \cos \angle AOC$$的最小值为$$-\frac{1}{8}$$。
答案为：$$B$$。
6. 解析：
已知$$|\vec{a}| = 2$$，$$|\vec{b}| = 4$$，夹角为$$120^\circ$$。
投影长度$$|\vec{\gamma}| = |\vec{a}| \cos 120^\circ = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$，取绝对值为$$1$$。
答案为：$$D$$。
7. 解析：
已知$$\vec{b} = (0, -1)$$，$$|\vec{a} - \vec{b}| = 3$$，且$$\vec{a}$$在$$\vec{b}$$上的投影为$$-2$$。
设$$\vec{a} = (x, y)$$，则$$\vec{a} \cdot \vec{b} = -y = -2$$，得$$y = 2$$。
由$$|\vec{a} - \vec{b}| = 3$$，得$$\sqrt{x^2 + (2 + 1)^2} = 3$$，解得$$x = 0$$。
$$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$$。
答案为：$$A$$。
8. 解析：
单位向量$$\vec{e_1}$$和$$\vec{e_2}$$夹角为$$\frac{\pi}{3}$$，$$\vec{a} = \vec{e_1} + 3\vec{e_2}$$，$$\vec{b} = 2\vec{e_1}$$。
投影为$$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1 \cdot 2 + 3 \cdot 0)}{2} = 1$$。
但重新计算$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{e_1} + 3\vec{e_2}) \cdot 2\vec{e_1} = 2 + 6 \cdot \frac{1}{2} = 5$$，$$|\vec{b}| = 2$$，投影为$$\frac{5}{2}$$。
答案为：$$B$$。
9. 解析：
单位向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$夹角为$$60^\circ$$，求$$\vec{a} - \vec{b}$$在$$\vec{a}$$上的投影。
投影为$$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$。
答案为：$$D$$。
10. 解析：
题目描述不完整，但根据选项推断，投影结果为$$\frac{1}{2}$$。
答案为：$$D$$。