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正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是平面$${{α}}$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$${{c}^{→}}$$在直线$${{l}}$$上，则$${{“}}$$$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{a}=0$$，且$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{b}=0$$$${{”}}$$是$${{l}{⊥}{α}}$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['向量的数量积'， '向量垂直']正确率80.0%已知非零向量$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$满足$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0， | \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=1， \overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}$$，则$${{b}^{→}}$$与$${{c}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '向量垂直'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '利用基本不等式求最值'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率19.999999999999996%已知$${{F}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，过点$${{F}}$$作两条直线$${{l}_{1}}$$，$${{l}_{2}}$$，直线$${{l}_{1}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，直线$${{l}_{2}}$$与$${{C}}$$交于$${{D}}$$，$${{E}}$$两点，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{D E}=0$$，则四边形$${{A}{D}{B}{E}}$$面积的最小值为（）
B
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{3}{2}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{8}}$$
4、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%设非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则（）
D
A.$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |$$
B.$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$
C.$$| \overrightarrow{a} | < | \overrightarrow{b} |$$
D.$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |$$
5、['平面向量的概念'， '向量垂直']正确率60.0%若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$是非零向量，且$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |$$，下列结论中正确的是（）
D
A.$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$
B.$$( \vec{a}+\vec{b} )=( \vec{a}-\vec{b} )$$
C.$$( \vec{a}+\vec{b} ) / / ( \vec{a}-\vec{b} )$$
D.$$( \vec{a}+\vec{b} ) \perp( \vec{a}-\vec{b} )$$
6、['向量的模'， '向量垂直'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$为单位向量，且$$\vec{a} \perp\vec{b}，$$向量$${{c}{⃗}}$$满足$$\left| \vec{c}-\vec{a}-\vec{b} \right|=2，$$则$${{|}{{c}{⃗}}{|}}$$的范围为（）
B
A.$$[ 1， 1+\sqrt{2} ]$$
B.$$[ 2-\sqrt{2}， 2+\sqrt{2} ]$$
C.$$[ \sqrt{2}， 2 \sqrt{2} ]$$
D.$$[ 3-2 \sqrt{2}， 3+2 \sqrt{2} ]$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-\frac{1} {2}， ~ ~ \frac{\sqrt{3}} {2} )， ~ ~ \overrightarrow{b}=( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~-\frac{1} {2} )，$$则下列关系正确的是（）
C
A.$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{b}$$
B.$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{a}$$
C.$$( \vec{a}+\vec{b} ) \perp( \vec{a}-\vec{b} )$$
D.$$( \vec{a}+\vec{b} ) / / ( \vec{a}-\vec{b} )$$
8、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '判断三角形的形状'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知$${{D}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且满足$$( \overrightarrow{\mathrm{B C}}-\overrightarrow{\mathrm{C A}} ) \cdot( \overrightarrow{\mathrm{B D}}-\overrightarrow{\mathrm{A D}} )=0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$
A
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
9、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的夹角']正确率60.0%向量$$\vec{a} \，， \， \， \vec{b} \，，$$满足$$| \vec{a} \， |=\sqrt{3}， \， \， \， | \vec{b} \， |=2， \， \， \， \vec{a} \， \bot( \vec{a} \， \，-\vec{b} \， )$$，则$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['向量加法的运算律'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面上三点$$A， ~ B， ~ C$$，满足$$| \overrightarrow{\mathrm{A B}} |=6， \， \， \， | \overrightarrow{\mathrm{A C}} |=8， \， \， \， | \overrightarrow{\mathrm{B C}} |=1 0$$，则$$\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot\overrightarrow{\mathrm{B C}}+\overrightarrow{\mathrm{B C}} \cdot\overrightarrow{\mathrm{C A}}+\overrightarrow{\mathrm{C A}} \cdot\overrightarrow{\mathrm{A B}}=( \it\ )$$
D
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{−}{{4}{8}}}$$
C.$${{1}{0}{0}}$$
D.$${{−}{{1}{0}{0}}}$$
1. 解析：
向量 $$\overrightarrow{c}$$ 与平面 $$\alpha$$ 内的两个不共线向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 都垂直，意味着 $$\overrightarrow{c}$$ 垂直于平面 $$\alpha$$，即直线 $$l$$ 垂直于平面 $$\alpha$$。反之亦然。因此条件是充要条件。
正确答案：$$C$$
2. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 0$$ 得 $$\overrightarrow{c} = -(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$。已知 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$ 且 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$$，则 $$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。
设 $$\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 的夹角为 $$\theta$$，则：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}| \cdot |\overrightarrow{c}|} = \frac{\overrightarrow{b} \cdot (-(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}))}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
因此 $$\theta = \frac{3\pi}{4}$$。
正确答案：$$C$$
3. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 的斜率分别为 $$k$$ 和 $$-\frac{1}{k}$$（因为 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} = 0$$ 表示两直线垂直）。
计算四边形 $$ADBE$$ 的面积，利用参数法可得最小面积为 $$32$$。
正确答案：$$B$$
4. 解析：
若 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，则 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2$$，即 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$$。
正确答案：$$D$$
5. 解析：
若 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$$，则 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 - |\overrightarrow{b}|^2 = 0$$，即 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \perp (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$$。
正确答案：$$D$$
6. 解析：
设 $$\overrightarrow{a} = (1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (0, 1)$$，则 $$\overrightarrow{c}$$ 满足 $$|\overrightarrow{c} - (1, 1)| = 2$$，即 $$\overrightarrow{c}$$ 在以 $$(1, 1)$$ 为圆心、半径为 $$2$$ 的圆上。
$$|\overrightarrow{c}|$$ 的范围为 $$[|\sqrt{2} - 2|, \sqrt{2} + 2] = [2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$$。
正确答案：$$B$$
7. 解析：
计算 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}, \frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right)$$，$$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \left(-\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\right)$$。
验证 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0$$，即两者垂直。
正确答案：$$C$$
8. 解析：
由 $$(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CA}) \cdot (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AD}) = 0$$，化简得 $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，即 $$BA \perp AB$$，矛盾。重新推导：
实际上，条件化简后表明 $$BA$$ 与某向量垂直，可能为直角三角形。
正确答案：$$B$$
9. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \perp (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$$，得 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0$$，即 $$|\overrightarrow{a}|^2 = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$。
正确答案：$$A$$
10. 解析：
由边长可知 $$\triangle ABC$$ 为直角三角形，$$AB \perp AC$$。计算各项点积：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = -36 + 0 + (-64) = -100$$。
正确答案：$$D$$