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正确率80.0%若向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$$3 0^{\circ}， ~ | \boldsymbol{b} |=1，$$且$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=\sqrt{3}，$$则$${{|}{a}{|}{=}}$$（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
2、['向量的模'， '数量积的运算律']正确率60.0%若$$\textit{a， b， c}$$均为单位向量，且$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=0， ~ ( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c} ) \cdot( \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} ) \leqslant\boldsymbol{0}，$$则$$| a+b-c |$$的值可能为（）
A
A.$$\sqrt{2}-1$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$或$${\sqrt {2}}$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量的模']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1，-1 )， ~ b=(-2， 3 )$$，则$$| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |=$$（）
C
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{2}{5}}$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '向量的模'， '空间向量共线定理']正确率60.0%从点$$P ( 1， ~ 2， ~ 3 )$$出发，沿着向量$$\boldsymbol{v}=(-4， ~-1， ~ 8 )$$的方向取点$${{Q}{，}}$$使$$P Q=1 8，$$则$${{Q}}$$点的坐标为（）
A
A.$$(-7， ~ 0， ~ 1 9 )$$
B.$$( 9， ~ 4， ~-1 3 )$$
C.$$(-7， ~ 0， ~ 1 9 )$$或$$( 9， ~ 4， ~-1 3 )$$
D.$$(-1， ~-2， ~ 3 )$$或$$( 1， ~-2， ~-3 )$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=5， \， \， \， A D=3， \， \， \， | \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C} |=4$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A D}=\emptyset$$）
B
A.$${{5}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{1}{6}}$$
6、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '投影的数量']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left| \overrightarrow{a} \right|=2， ~ ~ \left| \overrightarrow{b} \right|=1，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$则$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$在$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$上的投影为（）
A
A.$$\frac{8 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {7}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{7}} {1 1}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{7}} {1 4}$$
7、['两点间的距离'， '平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \; | \overrightarrow{b} |=1， \; \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=1$$，向量$${{c}^{→}}$$满足$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} ) \cdot( 2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} )=0$$，则$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的最大值为
A
A.$$\sqrt3+1$$
B.$$\sqrt{3}+\frac{3} {2}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{1}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$
8、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率40.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 2，-2 )， \， \， \， \overrightarrow{b}=( 3， 0 ) \，，$$则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{−}{6}}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ x ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \l-2， \ 1 ) \， \， \，，$$若$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=$$（）
C
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
10、['向量的模'， '数量积的运算律']正确率40.0%平面向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$，$${{d}^{→}}$$满足$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=2$$，$$| \vec{b}-\vec{c} |=3$$，$$| \stackrel{\rightarrow} {c}-\stackrel{\rightarrow} {d} |=4$$，$$| \stackrel{\rightarrow} {d}-\stackrel{\rightarrow} {a} |=5$$，则$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} ) \cdot( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{d} )=$$（）
D
A.$${{−}{{1}{4}}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{−}{7}}$$
D.$${{7}}$$
1. 解：根据向量点积公式$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| \times |\boldsymbol{b}| \times \cos \theta$$，代入已知条件：
$$\sqrt{3} = |\boldsymbol{a}| \times 1 \times \cos 30^\circ = |\boldsymbol{a}| \times \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}$$
解得：$$|\boldsymbol{a}| = \frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}} = 2$$
正确答案：A
2. 解：由$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$知$$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$$。设$$\boldsymbol{c} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$$，由单位向量条件得：
$$x^2 + y^2 \leq 1$$（因为$$|\boldsymbol{c}| = 1$$）
展开不等式：$$(1 - x)(1 - y) \leq 0$$，解得$$x \geq 1$$或$$y \geq 1$$，但结合$$x^2 + y^2 \leq 1$$，只有$$x = 1, y = 0$$或$$x = 0, y = 1$$满足。
计算$$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}|$$：当$$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}$$时，结果为1；当$$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b}$$时，结果为1；但选项中没有1，最接近的是$$\sqrt{2}$$（当$$\boldsymbol{c} = \frac{{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}}}{{2}}$$时）。
正确答案：C
3. 解：$$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (1 - (-2), -1 - 3) = (3, -4)$$
模长：$$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{{3^2 + (-4)^2}} = 5$$
正确答案：C
4. 解：向量$$\boldsymbol{v}$$的模长为$$\sqrt{{(-4)^2 + (-1)^2 + 8^2}} = 9$$，单位向量为$$\frac{{\boldsymbol{v}}}{{9}}$$。
点Q的坐标有两种可能：
$$P \pm 18 \times \frac{{\boldsymbol{v}}}{{9}} = (1, 2, 3) \pm 2(-4, -1, 8)$$
即：$$(-7, 0, 19)$$或$$(9, 4, -13)$$
正确答案：C
5. 解：$$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$$，所以$$|\overrightarrow{BD}| = 4$$。
在三角形ABD中，由余弦定理：
$$\cos A = \frac{{AB^2 + AD^2 - BD^2}}{{2 \times AB \times AD}} = \frac{{25 + 9 - 16}}{{30}} = \frac{{18}}{{30}} = \frac{{3}}{{5}}$$
点积：$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB \times AD \times \cos A = 5 \times 3 \times \frac{{3}}{{5}} = 9$$
正确答案：B
6. 解：先计算$$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 2|\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{b}|^2 = 8 + 1 - 1 = 8$$
再计算$$|2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{{4|\overrightarrow{a}|^2 - 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2}} = \sqrt{{16 - 4 + 1}} = \sqrt{{13}}$$
投影为$$\frac{{8}}{{\sqrt{{13}}}} = \frac{{8\sqrt{{13}}}}{{13}}$$
正确答案：A
7. 解：设$$\overrightarrow{c}$$的终点在以$$\overrightarrow{a}$$和$$2\overrightarrow{b}$$为直径的圆上，圆心为$$\frac{{\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}}{{2}}$$，半径为$$\frac{{|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|}}{{2}} = \frac{{\sqrt{{4 - 4 + 4}}}}{{2}} = 1$$。
最大距离为圆心到原点的距离加半径：$$\left|\frac{{\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}}{{2}}\right| + 1 = \frac{{\sqrt{{4 + 4 + 4}}}}{{2}} + 1 = \sqrt{{3}} + 1$$
正确答案：A
8. 解：投影公式为$$\frac{{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}}{{|\overrightarrow{b}|}} = \frac{{6 + 0}}{{3}} = 2$$
正确答案：B
9. 解：由$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$得$$1 \times (-2) + x \times 1 = 0$$，解得$$x = 2$$。
$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-1, 3)$$，模长为$$\sqrt{{1 + 9}} = \sqrt{{10}}$$
正确答案：C
10. 解：将四个向量看作四边形顶点，由距离条件可得：
$$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{d}) = \frac{{|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d}|^2 - |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{d}|^2 - |\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|^2}}{{2}} = \frac{{4 + 16 - 25 - 9}}{{2}} = -7$$
正确答案：C