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正确率19.999999999999996%在边长为$${{2}}$$的菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{F}}$$为$${{B}{D}}$$(包括端点)上的一个动点，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{B E}=3 \overrightarrow{E C}， \， \， \， \overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{B D}=-\frac{1} {2}，$$则$$\overrightarrow{A F} \cdot\overrightarrow{B E}$$的最大值为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$${{3}}$$
2、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率60.0%若两个非零向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |=2 | \boldsymbol{a} |，$$则$${{a}{−}{b}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
3、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量垂直']正确率60.0%设向量$${{i}^{→}{，}{{j}^{→}}}$$是互相垂直的单位向量，则与向量$${{i}^{→}{+}{{j}^{→}}}$$垂直的一个单位向量是（）
B
A.$${{i}^{→}{−}{{j}^{→}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{2}} {2} ( \stackrel{\rightarrow} {i}-\stackrel{\rightarrow} {j} )$$
C.$$\sqrt{2} ( \stackrel{\rightarrow} {i}-\stackrel{\rightarrow} {j} )$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {2} (-\stackrel{\rightarrow} {i}-\stackrel{\rightarrow} {j} )$$
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{1}}$$的等边三角形，则$$( \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{B C} ) \cdot( \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{C A} )=$$（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
5、['共线向量基本定理'， '数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率60.0%关于平面向量$$\vec{a} \，， \vec{b} \，， \vec{c} \，，$$有下列四种说法其中正确的个数是
$${①}$$若$$\vec{a} \， \neq\vec{0} \，， \， \， \， \vec{a} \， \cdot\vec{b} \，=0，$$则$${{b}^{⃗}{=}{{0}^{⃗}}}$$
$${②}$$若$$\vec{a} \， \neq\vec{0} \，， \， \， \vec{a} \， \cdot\vec{b} \，=\vec{a} \， \cdot\vec{c} \，，$$则$${{b}^{⃗}{=}{{c}{⃗}}}$$
$${③}$$对任意向量$$\vec{a} \，， \vec{b} \，， \vec{c} \，，$$有$$( \vec{a} \， \cdot\vec{b} \， ) \cdot\vec{c} \，=\vec{a} \， \cdot( \vec{b} \， \cdot\vec{c} \， )$$
$${④}$$若$$\vec{a} \， / \! / \vec{b} \，， \， \， \， \vec{b} \， / \! / \vec{c}$$则$$\vec{a} \， / / \vec{c}$$
$$\odot\ \vec{a}=( x， y )， \ \ \vec{b}=( m， n )$$，若$$\vec{a} \， / / \vec{b}$$则$$x m=n y$$
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$\vert\overrightarrow{a} \vert=\sqrt{2}， \; \vert\overrightarrow{b} \vert=1， \; \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )=1$$，则向量$${{a}^{→}}$$与向量$${{b}^{→}}$$的夹角为
C
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\pi} \\ {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
8、['双曲线的离心率'， '数量积的性质'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，直线$$l \colon~ y=\sqrt{3} x$$与双曲线$${{C}}$$交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若$$\overrightarrow{F P} \cdot\overrightarrow{F Q}=0，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\sqrt3+1$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}}$$
9、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率40.0%若$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是两个单位向量，且$$( \begin{matrix} {2 \overrightarrow{e_{1}}} \\ \end{matrix}+\overrightarrow{e_{2}} ) ~ \perp~ ( \begin{matrix} {-2 \overrightarrow{e_{1}}} \\ \end{matrix}+3 \overrightarrow{e_{2}} )$$，则$$| \vec{e_{1}}+2 \vec{e_{2}} |=($$）
A
A.$${\sqrt {6}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
10、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%己知向量$$\left\vert\vec{a} \right\vert=1， \; \; \left\vert\vec{b} \right\vert=\sqrt{2}， \; \; \vec{a}， \; \; \vec{b}$$的夹角为$${{4}{5}^{∘}}$$，若$$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}，$$则$$\vec{a} \cdot\vec{c}=( \eta)$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 题目解析：
首先，建立坐标系，设菱形 $$ABCD$$ 的顶点为 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(2,2)$$，$$D(0,2)$$。对角线 $$BD$$ 的方程为 $$y = -x + 2$$。
根据题意，点 $$E$$ 满足 $$\overrightarrow{BE} = 3\overrightarrow{EC}$$，即 $$E$$ 将 $$BC$$ 分为 $$1:3$$，因此 $$E$$ 的坐标为 $$(2, \frac{1}{2})$$。
已知 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = -\frac{1}{2}$$，验证：$$\overrightarrow{AE} = (2, \frac{1}{2})$$，$$\overrightarrow{BD} = (-2, 2)$$，点积为 $$2 \times (-2) + \frac{1}{2} \times 2 = -4 + 1 = -3 \neq -\frac{1}{2}$$，与题目矛盾。可能是坐标设定错误。
重新设定：设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(1, \sqrt{3})$$，$$D(-1, \sqrt{3})$$，则 $$BD$$ 的斜率为 $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$，方程为 $$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2)$$。
点 $$E$$ 满足 $$\overrightarrow{BE} = 3\overrightarrow{EC}$$，即 $$E$$ 的坐标为 $$\left(\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$$。
验证 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = \left(\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \cdot (-3, \sqrt{3}) = -\frac{15}{4} + \frac{3}{4} = -3 \neq -\frac{1}{2}$$，仍不符合。
可能是题目理解有误，直接计算 $$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BE}$$ 的最大值。
设 $$F$$ 在 $$BD$$ 上，参数化为 $$F(t, -t + 2)$$，$$t \in [0,2]$$。
$$\overrightarrow{AF} = (t, -t + 2)$$，$$\overrightarrow{BE} = (0, \frac{1}{2})$$，点积为 $$\frac{-t + 2}{2}$$。
最大值为 $$t = 0$$ 时，$$\frac{2}{2} = 1$$，但选项无此答案。
可能题目有其他设定，最终答案为 $$\boxed{C}$$。
2. 题目解析：
由 $$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$$，可得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$，即 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 垂直。
又 $$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{a}|$$，即 $$\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2} = 2|\boldsymbol{a}|$$，解得 $$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{3}|\boldsymbol{a}|$$。
设 $$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 的夹角为 $$\theta$$，则：
$$\cos \theta = \frac{(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{-\boldsymbol{b}^2}{\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2} \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{-3|\boldsymbol{a}|^2}{2|\boldsymbol{a}| \cdot \sqrt{3}|\boldsymbol{a}|} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
因此 $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
3. 题目解析：
向量 $$\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}$$ 与 $$\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}$$ 的点积为 $$1 - 1 = 0$$，故 $$\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}$$ 与之垂直。
但需要单位向量，$$\frac{\sqrt{2}}{2}(\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j})$$ 是单位向量，答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 题目解析：
设 $$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$$，$$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}$$，则 $$\overrightarrow{CA} = -\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$。
原式 $$= (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) \cdot (-2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$$。
展开为 $$-2|\boldsymbol{a}|^2 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 2|\boldsymbol{b}|^2 = -2 + 3\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 2$$。
由于 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \times 1 \times \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$，代入得 $$-2 + 3 \times (-\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{3}{2}$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 题目解析：
① 错误，$$\boldsymbol{b}$$ 可以是非零垂直向量。
② 错误，$$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) = 0$$ 不保证 $$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}$$。
③ 错误，点积结果是标量，不能与向量点积。
④ 错误，$$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$$ 时不一定成立。
⑤ 正确，平行向量分量成比例。
综上，正确个数为 $$1$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
7. 题目解析：
由 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 1$$，得 $$|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$，即 $$2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$，故 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，因此 $$\theta = \frac{\pi}{4}$$，答案为 $$\boxed{C}$$。
8. 题目解析：
设双曲线与直线 $$y = \sqrt{3}x$$ 交于 $$P(x_1, \sqrt{3}x_1)$$ 和 $$Q(-x_1, -\sqrt{3}x_1)$$。
由 $$\overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ} = 0$$，得 $$(x_1 - c)(-x_1 - c) + (\sqrt{3}x_1)(-\sqrt{3}x_1) = 0$$，即 $$-x_1^2 + c^2 - 3x_1^2 = 0$$，解得 $$c^2 = 4x_1^2$$。
将 $$P$$ 代入双曲线方程 $$\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{3x_1^2}{b^2} = 1$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 和 $$c = 2x_1$$，解得离心率 $$e = \frac{c}{a} = 2$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
9. 题目解析：
由 $$(2\boldsymbol{e_1} + \boldsymbol{e_2}) \perp (-2\boldsymbol{e_1} + 3\boldsymbol{e_2})$$，点积为 $$-4|\boldsymbol{e_1}|^2 + 6\boldsymbol{e_1} \cdot \boldsymbol{e_2} - 2\boldsymbol{e_1} \cdot \boldsymbol{e_2} + 3|\boldsymbol{e_2}|^2 = 0$$。
化简为 $$-4 + 4\boldsymbol{e_1} \cdot \boldsymbol{e_2} + 3 = 0$$，解得 $$\boldsymbol{e_1} \cdot \boldsymbol{e_2} = \frac{1}{4}$$。
计算 $$|\boldsymbol{e_1} + 2\boldsymbol{e_2}|^2 = |\boldsymbol{e_1}|^2 + 4|\boldsymbol{e_2}|^2 + 4\boldsymbol{e_1} \cdot \boldsymbol{e_2} = 1 + 4 + 1 = 6$$，故模为 $$\sqrt{6}$$，答案为 $$\boxed{A}$$。
10. 题目解析：
$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 + 1 \times \sqrt{2} \times \cos 45^\circ = 1 + 1 = 2$$，答案为 $$\boxed{C}$$。