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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n}^{2} ( x+\frac{\pi} {4} )， \ g ( x )=1+\operatorname{c o s} ( \frac{x} {2}+\frac{\pi} {4} )$$的图象在区间$$( \frac{\pi} {2}-m， \ \frac{\pi} {2}+m )$$上有且只有$${{9}}$$个交点，记为$${（{{x}_{i}}{，}{{y}_{i}}{）}{（}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{，}{9}{）}}$$，则$$\sum_{i=1}^{9} ( x_{i}+y_{i} )=\L$$）
D
A.$$\frac{9 \pi} {2}$$
B.$${{8}}$$
C.$$\frac{9 \pi} {2}+8$$
D.$$\frac{9 \pi} {2}+9$$
2、['函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {3} \right)$$在$$[ 0， \ \frac{\pi} {2} \ ]$$上的取值范围为（）
A
A.$$[-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 1 ]$$
B.$$\left[-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} \right]$$
C.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 1 \brack1$$
D.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$
3、['余弦曲线的对称轴'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{3}{{c}{o}{s}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{+}{k}{，}}$$对任意实数$${{x}{，}}$$都有$$f \left( \frac{\pi} {5}+x \right)=f \left( \frac{\pi} {5}-x \right)，$$且$$f \left( \frac{\pi} {5} \right)=-4.$$则$${{k}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{7}}$$
C.$${{−}{1}}$$或$${{−}{7}}$$
D.$${{1}}$$或$${{7}}$$
4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数的新定义问题'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{[}{{c}{o}{s}}{x}{]}{+}{{c}{o}{s}}{[}{{s}{i}{n}}{x}{]}}$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过实数$${{x}}$$的最大整数，关于$${{f}{(}{x}{)}}$$有下述四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期是$${{2}{π}}$$；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数；
③$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值大于$${\sqrt {2}}$$；
④$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{π}{)}}$$单调递减$${{.}}$$
其中所有正确结论的编号是（）
B
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
5、['函数的对称性'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%已知函数$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=\operatorname{s i n} \begin{matrix} {( \frac{\pi} {3} x-\frac{\pi} {4} )} \\ \end{matrix}$$的图象与函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象关于$${{x}{=}{1}}$$对称，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$在$${（{−}{6}{，}{−}{4}{）}}$$上（）
B
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
6、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi) \left( | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {1 2}$$对称，且当$$x_{1}， \， \， x_{2} \in\left(-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} \right)， \， \， x_{1} \neq x_{2}$$时，$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{2}}{)}}$$，则$${{f}{(}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{)}{=}{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
7、['三角函数的图象变换'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率60.0%将函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{c}{o}{s}}{(}{2}{x}{+}{φ}{)}{(}{0}{<}{φ}{<}{π}{)}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$，若$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象关于$$x=\frac{\pi} {2}$$对称，则$${{φ}}$$的值为
A
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
8、['三角函数的图象变换'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {4} ) ( x \in R )$$，将$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的$$\frac{1} {2}$$倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移$${{|}{φ}{|}}$$个单位长度，所得的图象关于原点对称，则$${{φ}}$$的一个值是$${{(}{)}}$$．
A
A.$$\frac{3 \pi} {1 6}$$
B.$$\frac{5 \pi} {1 6}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{3 \pi} {8}$$
10、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{4}{{c}{o}{s}^{2}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{−}{2}}$$$$( \omega> 0， 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} )$$的相邻两条对称轴间的距离为$$\frac{\pi} {2}， f ( x )$$的图象与$${{y}}$$轴交点坐标为$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$，则下列说法不正确的是（）
A
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {6} )$$上单调递增
B.$${{ω}{=}{1}}$$
C.$$x=\frac{5 \pi} {6}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴
D.$$\varphi=\frac{\pi} {6}$$
### 第一题解析 **题目分析**： 我们需要求函数 $$f(x) = 2 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ 和 $$g(x) = 1 + \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$ 在区间 $$\left(\frac{\pi}{2} - m, \frac{\pi}{2} + m\right)$$ 上有 9 个交点的条件下，求和 $$\sum_{i=1}^9 (x_i + y_i)$$ 的值。 **步骤解析**： 1. **化简函数**： - 利用三角恒等式，将 $$f(x)$$ 化简为： $$f(x) = 2 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin(2x)$$ - $$g(x)$$ 保持不变： $$g(x) = 1 + \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$ 2. **求交点**： 令 $$f(x) = g(x)$$，即： $$1 + \sin(2x) = 1 + \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$ 化简得： $$\sin(2x) = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$ 利用余弦与正弦的关系，可以转化为： $$\sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$$ 3. **解方程**： 一般解为： $$2x = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} + 2k\pi \quad \text{或} \quad 2x = \pi - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + 2k\pi$$ 解得： $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{4k\pi}{5} \quad \text{或} \quad x = \frac{3\pi}{10} + \frac{4k\pi}{3}$$ 4. **确定交点范围**： 题目要求在区间 $$\left(\frac{\pi}{2} - m, \frac{\pi}{2} + m\right)$$ 上有 9 个交点。通过观察解的周期性，可以确定 $$m = \frac{3\pi}{5}$$，使得区间内恰好有 9 个解。 5. **对称性求和**： 由于函数和区间对称，交点关于 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 对称，因此： $$\sum_{i=1}^9 x_i = 9 \times \frac{\pi}{2}$$ 而 $$y_i = f(x_i) = g(x_i)$$，由于 $$f(x) + f(\pi - x) = 2$$ 和 $$g(x) + g(\pi - x) = 2$$，因此： $$\sum_{i=1}^9 y_i = 9$$ 最终和为： $$\sum_{i=1}^9 (x_i + y_i) = \frac{9\pi}{2} + 9$$ **答案**：D. $$\frac{9 \pi} {2}+9$$
--- ### 第二题解析 **题目分析**： 求函数 $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 在区间 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上的取值范围。 **步骤解析**： 1. **确定角度范围**： 当 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right]$$。 2. **分析正弦函数**： - 在 $$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$$ 上，$$\sin$$ 函数递增，最大值为 $$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$。 - 在 $$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}\right]$$ 上，$$\sin$$ 函数递减，最小值为 $$\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。 3. **综合结果**： 因此，$$f(x)$$ 的取值范围为 $$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$$。 **答案**：A. $$[-\frac{\sqrt{3}} {2}, ~ 1 ]$$
--- ### 第三题解析 **题目分析**： 已知函数 $$f(x) = 3 \cos(\omega x + \phi) + k$$ 满足 $$f\left(\frac{\pi}{5} + x\right) = f\left(\frac{\pi}{5} - x\right)$$ 且 $$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = -4$$，求 $$k$$ 的值。 **步骤解析**： 1. **对称性分析**： 条件 $$f\left(\frac{\pi}{5} + x\right) = f\left(\frac{\pi}{5} - x\right)$$ 表明函数关于 $$x = \frac{\pi}{5}$$ 对称，因此 $$\frac{\pi}{5}$$ 是极值点。 2. **极值点性质**： 由于 $$\cos$$ 函数的极值为 $$\pm 1$$，因此： $$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = 3 \times (\pm 1) + k = -4$$ 解得： - 若 $$\cos$$ 取 $$1$$，则 $$k = -7$$。 - 若 $$\cos$$ 取 $$-1$$，则 $$k = -1$$。 **答案**：C. $${{−}{1}}$$ 或 $${{−}{7}}$$
--- ### 第四题解析 **题目分析**： 判断函数 $$f(x) = \sin[\cos x] + \cos[\sin x]$$ 的性质，其中 $$[x]$$ 表示取整函数。 **步骤解析**： 1. **周期性**： $$\cos x$$ 和 $$\sin x$$ 的周期为 $$2\pi$$，且取整函数不破坏周期性，因此 $$f(x)$$ 的周期为 $$2\pi$$（结论①正确）。 2. **偶函数性**： $$f(-x) = \sin[\cos(-x)] + \cos[\sin(-x)] = \sin[\cos x] + \cos[-\sin x] = \sin[\cos x] + \cos[\sin x] = f(x)$$，因此 $$f(x)$$ 是偶函数（结论②正确）。 3. **最大值**： 当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = \sin[1] + \cos[0] = \sin 1 + 1 > \sqrt{2}$$（结论③正确）。 4. **单调性**： 在 $$(0, \pi)$$ 上，$$[\cos x]$$ 和 $$[\sin x]$$ 的变化不规律，$$f(x)$$ 并非单调递减（结论④错误）。 **答案**：B. ①③
--- ### 第五题解析 **题目分析**： 函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{3} x - \frac{\pi}{4}\right)$$ 的图像与 $$g(x)$$ 关于 $$x = 1$$ 对称，求 $$g(x)$$ 在 $$(-6, -4)$$ 上的单调性。 **步骤解析**： 1. **对称变换**： 若 $$f(x)$$ 关于 $$x = 1$$ 对称的函数为 $$g(x)$$，则： $$g(x) = f(2 - x) = \sin\left(\frac{\pi}{3}(2 - x) - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3} x + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$$ 2. **化简**： $$g(x) = \sin\left(-\frac{\pi}{3} x + \frac{5\pi}{12}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3} x - \frac{5\pi}{12}\right)$$ 3. **单调性分析**： 在 $$x \in (-6, -4)$$ 时，$$\frac{\pi}{3} x - \frac{5\pi}{12} \in \left(-\frac{13\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}\right)$$，此时 $$\sin$$ 函数单调递减，因此 $$g(x)$$ 单调递增。 **答案**：A. 单调递增
--- ### 第六题解析 **题目分析**： 函数 $$f(x) = \sin(2x + \phi)$$ 关于 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 对称，且在 $$\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$$ 上有 $$f(x_1) = f(x_2)$$，求 $$f(x_1 + x_2)$$ 的值。 **步骤解析**： 1. **对称性条件**： 对称轴 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 满足 $$2 \times \frac{\pi}{12} + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\phi = \frac{\pi}{3}$$。 2. **函数表达式**： $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 3. **对称点性质**： 若 $$f(x_1) = f(x_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = 2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$。 因此： $$f(x_1 + x_2) = f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **答案**：C. $$\frac{\sqrt3} {2}$$
--- ### 第七题解析 **题目分析**： 函数 $$f(x) = \cos(2x + \phi)$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 得到 $$g(x)$$，且 $$g(x)$$ 关于 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 对称，求 $$\phi$$ 的值。 **步骤解析**： 1. **平移后的函数**： $$g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \phi\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2} + \phi\right)$$ 2. **对称性条件**： $$g(x)$$ 关于 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 对称，因此： $$2 \times \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \phi = k\pi$$ 解得 $$\phi = k\pi + \frac{\pi}{2}$$。 3. **范围限制**： 由 $$0 < \phi < \pi$$，取 $$k = 0$$，得 $$\phi = \frac{\pi}{2}$$。 **答案**：A. $$\frac{\pi} {2}$$
--- ### 第八题解析 **题目分析**： 函数 $$f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$ 经过横坐标缩短和向右平移后图像关于原点对称，求 $$\phi$$ 的一个值。 **步骤解析**： 1. **变换后的函数**： - 横坐标缩短为 $$\frac{1}{2}$$ 倍：$$f_1(x) = \cos(4x + \frac{\pi}{4})$$ - 向右平移 $$\phi$$：$$f_2(x) = \cos(4(x - \phi) + \frac{\pi}{4}) = \cos(4x - 4\phi + \frac{\pi}{4})$$ 2. **奇函数条件**： 图像关于原点对称，即 $$f_2(x)$$ 为奇函数，因此： $$-4\phi + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$ 解得： $$\phi = -\frac{\pi}{16} - \frac{k\pi}{4}$$ 3. **取正值解**： 当 $$k = -1$$ 时，$$\phi = \frac{3\pi}{16}$$。 **答案**：A. $$\frac{3 \pi} {1 6}$$
--- ### 第十题解析 **题目分析**： 函数 $$f(x) = 4 \cos^2(\omega x + \phi) - 2$$ 的相邻对称轴距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，且 $$f(0) = 1$$，判断选项正误。 **步骤解析**： 1. **化简函数**： $$f(x) = 2 \cos(2\omega x + 2\phi)$$ 2. **周期与对称轴**： 相邻对称轴距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，因此周期为 $$\pi$$，即 $$\frac{2\pi}{2\omega} = \pi$$，解得 $$\omega = 1$$（选项 B 正确）。 3. **初始条件**： $$f(0) = 2 \cos(2\phi) = 1$$，解得 $$\phi = \frac{\pi}{6}$$（选项 D 正确）。 4. **对称轴验证**： 当 $$x = \frac{5\pi}{6}$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi$$，此时 $$f(x) = 2 \cos(2\pi) = 2 \neq \pm 2$$，因此 $$x = \frac{5\pi}{6}$$ 不是对称轴（选项 C 错误）。 5. **单调性分析**： 在 $$\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right)$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)$$，$$\cos$$ 函数在此区间单调递增（选项 A 正确）。 **答案**：C. $$x=\frac{5 \pi} {6}$$ 是 $${{f}{(}{x}{)}}$$ 的一条对称轴
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