探究φ对函数y=A sin(ωx+φ)的图象的影响-函数y=Asin(ωx+φ)知识点回顾基础自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['函数图象的平移变换'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%若将函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{2}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象向左平移$${{φ}}$$个单位长度，得到函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{2}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象，则$${{c}{o}{s}{φ}{=}}$$（）

A.$$- \frac{4} {5}$$

B.$$\frac{4} {5}$$

C.$$- \frac{3} {5}$$

D.$$\frac{3} {5}$$

2、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{(}{2}{x}{+}{φ}{)}{(}}$$其中$$| \varphi| < \! \frac{\pi} {2} )$$图象的一个对称中心为$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$，为了得到$$g ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$的图象，只需将$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象$${{(}{)}}$$

A.向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位

B.向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位

C.向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位

D.向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位

4、['探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '三角函数的图象变换'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的周期性'， '余弦曲线的对称中心']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s} \left( 2 x+\frac{2 \pi} {3} \right)，$$则下列说法中正确的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {2}$$

B.将$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度后，得到函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{−}{2}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$的图像

C.点$$\left(-\frac{\pi} {1 2}， \ 0 \right)$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$图像的一个对称中心

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( \frac{\pi} {3}， \， \， \frac{2 \pi} {3} \right)$$上存在最大值

5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响']

正确率80.0%将函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图像向右平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位长度，所得图像对应的函数解析式为（）

A.$${{y}{=}{−}{{s}{i}{n}}{x}}$$

B.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$

C.$${{y}{=}{−}{{c}{o}{s}}{x}}$$

D.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

6、['三角恒等变换综合应用'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%为了得到函数$$y=2 \mathrm{s i n} \left( x+\frac{\pi} {6} \right)$$的图像，只需把函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图像（）

A.向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度

B.向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度

C.向左平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位长度

D.向右平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位长度

7、['探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响']

正确率80.0%把函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图像上所有的点向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度后所得图像对应的函数解析式为（）

A.$$y=\operatorname{s i n} x-\frac{\pi} {6}$$

B.$$y=\operatorname{s i n} \! x+\frac{\pi} {6}$$

C.$$y=\operatorname{s i n} \left( x-\frac{\pi} {6} \right)$$

D.$$y=\operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {6} \right)$$

8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '探究w(w>0)对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '正弦（型）函数的周期性'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '辅助角公式'， '函数的单调区间']

正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{−}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{(}{x}{∈}{R}{)}}$$的图象与$${{x}}$$轴的两个相邻交点的距离是$$\frac{\pi} {2}，$$若将$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，得到$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在下列区间为增函数的是（）

A.$$(-\pi，-\frac{\pi} {6} )$$

B.$$( \frac{\pi} {3}， \pi)$$

C.$$( 0， \frac{\pi} {3} )$$

D.$$\left(-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {6} \right)$$

9、['函数图象的平移变换'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响']

正确率40.0%函数$${{y}{=}{2}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象经由下列变换可以得到函数$$y=2 \operatorname{s i n} \ ( \ 2 x+\frac{\pi} {3} )$$的图象的是（）

A.先将图象向左平移$$\frac{\pi} {3}，$$再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半

B.先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$

C.先将图象向左平移$$\frac{\pi} {3}，$$再将图象上每一点的横坐标变为原来的$${{2}}$$倍

D.先将图象上每一点的横坐标变为原来的$${{2}}$$倍，再将所得图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$

10、['函数图象的平移变换'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响']

正确率40.0%将函数$$y=2 \operatorname{s i n} ~ ( \mathbf{2} x-\frac{\pi} {6} )$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度，所得图象的一个对称中心为（）

A.$$( \frac{\pi} {1 2}， \ 0 )$$

B.$$( \， \frac{\pi} {6}， \， \， 0 )$$

C.$$( \， \frac{\pi} {3}， \， \， 0 )$$

D.$$( \mathrm{\frac{\pi} {2}， \ 0 )}$$

1. 解析：

首先将函数 $$f(x) = \sin x - 2 \cos x$$ 和 $$g(x) = \sin x + 2 \cos x$$ 表示为单一三角函数形式：

$$f(x) = \sqrt{1^2 + (-2)^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{5} \sin(x + \alpha)$$，其中 $$\tan \alpha = -2$$。

$$g(x) = \sqrt{1^2 + 2^2} \sin(x + \beta) = \sqrt{5} \sin(x + \beta)$$，其中 $$\tan \beta = 2$$。

将 $$f(x)$$ 向左平移 $$\phi$$ 个单位得到 $$g(x)$$，故有：

$$\sqrt{5} \sin(x + \phi + \alpha) = \sqrt{5} \sin(x + \beta)$$，即 $$\phi + \alpha = \beta + 2k\pi$$。

由于 $$\tan \alpha = -2$$ 和 $$\tan \beta = 2$$，利用三角恒等式：

$$\tan(\beta - \alpha) = \frac{2 - (-2)}{1 + 2 \times (-2)} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$$。

又因为 $$\phi = \beta - \alpha$$，所以 $$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \phi}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}} = \frac{3}{5}$$。

但题目中 $$\phi$$ 是向左平移，因此 $$\cos \phi = \frac{4}{5}$$（选项 B）。

2. 解析：

已知函数 $$f(x) = \sin(2x + \phi)$$ 的一个对称中心为 $$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$$，代入得：

$$\sin\left(2 \times \frac{\pi}{3} + \phi\right) = 0$$，即 $$\frac{2\pi}{3} + \phi = k\pi$$。

解得 $$\phi = k\pi - \frac{2\pi}{3}$$，由于 $$|\phi| < \frac{\pi}{2}$$，取 $$k=1$$，得 $$\phi = \frac{\pi}{3}$$。

目标函数 $$g(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$，将 $$f(x)$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 个单位得到：

$$\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$，即选项 D。

4. 解析：

函数 $$f(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$$ 的周期为 $$\pi$$（选项 A 错误）。

将 $$f(x)$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位得到：

$$g(x) = 2 \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$，与选项 B 不符。

验证对称中心：$$f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 2 \cos\left(2 \times \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，选项 C 正确。

在区间 $$\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)$$，$$2x + \frac{2\pi}{3}$$ 的范围是 $$\left(\frac{4\pi}{3}, 2\pi\right)$$，$$f(x)$$ 在此区间有最大值 2（选项 D 正确）。

5. 解析：

将 $$y = \sin x$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{2}$$ 个单位得到：

$$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$，即选项 C。

6. 解析：

函数 $$y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$$ 可表示为 $$2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$。

目标函数 $$y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$，需将原函数向左平移 $$\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2}$$ 个单位，即选项 C。

7. 解析：

将 $$y = \sin x$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位得到：

$$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$，即选项 D。

8. 解析：

函数 $$f(x) = \sin \omega x - \sqrt{3} \cos \omega x = 2 \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right)$$。

与 $$x$$ 轴相邻交点距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，故周期 $$T = \pi$$，$$\omega = 2$$。

将 $$f(x)$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 个单位得到：

$$2 \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。

再将横坐标伸长到原来的 2 倍得到：

$$g(x) = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$。

求增区间：$$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，解得 $$-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$。

在选项中，$$(0, \frac{\pi}{3})$$ 是增区间（选项 C）。

9. 解析：

目标函数 $$y = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 可由 $$y = 2 \sin x$$ 通过以下变换得到：

1. 横坐标变为原来的一半（周期压缩为 $$\pi$$）。

2. 向左平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位（注意系数影响）。

选项 B 描述正确。

10. 解析：

将 $$y = 2 \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 个单位得到：

$$y = 2 \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。

求对称中心：$$2x + \frac{\pi}{3} = k\pi$$，解得 $$x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$$。

当 $$k=1$$ 时，$$x = \frac{\pi}{3}$$（选项 C）。

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