函数y=A sin(ωx+φ)，其中（A≠0，ω≠0）的图象及性质-函数y=Asin(ωx+φ)知识点课后进阶自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学必修,平均正确率54.0%

正确率80.0%要得到$$y=\operatorname{s i n} ( \frac{x} {2}-\frac{\pi} {3} )$$的图象，只需将函数$$y=\operatorname{s i n} {\frac{x} {2}}$$的图象$${{(}{)}}$$

A.向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度

B.向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度

C.向左平移$$\frac{2 \pi} {3}$$个单位长度

D.向右平移$$\frac{2 \pi} {3}$$个单位长度

正确率40.0%科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以$${{3}{3}}$$天，$${{2}{8}}$$天和$${{2}{3}}$$天为周期，按$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}}$$进行变化，记智力曲线为$${{I}}$$，情绪曲线为$${{E}}$$，体力曲线为$${{P}}$$，且现在三条曲线都处于$${{x}}$$轴的同一点处且都处于上升期，那么第$${{3}{2}{2}}$$天时 （）

D

A.智力曲线$${{I}}$$处于最低点

B.情绪曲线$${{E}}$$与体力曲线$${{P}}$$都处于上升期

C.智力曲线$${{I}}$$与情绪曲线$${{E}}$$相交

D.情绪曲线$${{E}}$$与体力曲线$${{P}}$$都关于$${{(}{{3}{2}{2}}{，}{0}{)}}$$对称

正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{ω}{x}{+}{φ}{）}{（}{ω}{>}{0}{，}{0}{<}{φ}{<}{π}{）}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$将函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度后所得的函数图象过点$${{P}{（}{0}{，}{1}{）}}$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$（）

B

A.有一个对称中心$$( \frac{\pi} {1 2}， \; 0 )$$

B.有一条对称轴$$x=\frac{\pi} {6}$$

C.在区间$$[-\frac{\pi} {1 2}， \ \frac{5 \pi} {1 2} ]$$上单调递减

D.在区间$$[-\frac{5 \pi} {1 2}， ~ \frac{\pi} {1 2} ]$$上单调递增

正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}^{2}}{x}{−}{{c}{o}{s}^{2}}{x}{+}{2}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象的一条对称轴为（）

C

A.$$x=\frac{\pi} {6}$$

B.$$x=\frac{\pi} {4}$$

C.$$x=\frac{\pi} {3}$$

D.$$x=\frac{\pi} {2}$$

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} \left( \omega x+\varphi\right) \left( \omega> 0， \left\vert\varphi\right\vert\leqslant\frac{\pi} {2} \right)， x=-\frac{\pi} {4} \U6 x=\frac{\pi} {4}$$分别是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$取得零点和最小值点横坐标，且$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$(-\frac{\pi} {1 2}， \frac{\pi} {2 4} )$$单调，则$${{ω}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

B

A.$${{3}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{9}}$$

正确率40.0%将函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变$${{)}}$$，再向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度得到$${{y}{=}{g}{{(}{x}{)}}}$$的图象，则函数$${{y}{=}{g}{{(}{x}{)}}}$$的单调递增区间为（）

B

A.$$\left[ 2 k \pi-\frac{\pi} {1 2}， 2 k \pi+\frac{5 \pi} {1 2} \right]， ( k \in{\bf Z} )$$

B.$$\left[ k \pi-\frac{\pi} {1 2}， k \pi+\frac{5 \pi} {1 2} \right]， ( k \in{\bf Z} )$$

C.$$\left[ 2 k \pi-\frac{\pi} {6}， 2 k \pi+\frac{5 \pi} {6} \right]， ( k \in{\bf Z} )$$

D.$$\left[ k \pi-\frac{\pi} {6}， k \pi+\frac{\pi} {3} \right]， ( k \in{\bf Z} )$$

正确率40.0%将函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的$${{2}}$$倍，得到$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，下面四个结论正确的是（）

D

A.函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{π}{，}{2}{π}{]}}$$上的最大值为$${{1}}$$

B.将函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后得到的图象关于原点对称

C.点$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$是函数$${{g}{(}{x}{)}}$$图象的一个对称中心

D.函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 0， \frac{2 \pi} {3} ]$$上为增函数

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{2}{x}{−}{{c}{o}{s}}{2}{x}{−}{2}{m}}$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$上有两个零点，则$${{m}}$$的取值范围为（）

A

A.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$

B.$$( \; \frac{1} {2}， \; 1 ]$$

C.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， \ 1 )$$

D.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}， \ 1 ]$$

正确率40.0%将$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$的图象向右平移$${{θ}}$$个单位长度$${{(}{θ}{>}{0}{)}}$$后，所得函数是偶函数，则$${{θ}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

B

A.$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{3 \pi} {8}$$

C.$$\frac{7 \pi} {8}$$

D.以上都不对

1. 解析：函数 $$y=\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$ 可以表示为 $$y=\sin\left(\frac{1}{2}\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)\right)$$，即将 $$y=\sin\frac{x}{2}$$ 向右平移 $$\frac{2\pi}{3}$$ 个单位长度。因此，正确答案是 D。

2. 解析：三条曲线的周期分别为 33 天、28 天和 23 天。第 322 天时：
- 智力曲线：$$322 \div 33 \approx 9.757$$，余数为 $$322 - 33 \times 9 = 25$$ 天，处于下降期。
- 情绪曲线：$$322 \div 28 = 11.5$$，余数为 14 天，处于上升期。
- 体力曲线：$$322 \div 23 \approx 14$$，余数为 0 天，处于平衡点且开始上升。
因此，情绪曲线和体力曲线都处于上升期，正确答案是 B。

3. 解析：函数 $$f(x)$$ 的最小正周期为 $$\pi$$，故 $$\omega = 2$$。平移后的函数为 $$f\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3} + \phi\right)$$，代入点 $$P(0,1)$$ 得 $$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \phi\right) = 1$$，解得 $$\phi = \frac{\pi}{6}$$。因此 $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$。
- A 选项：对称中心需满足 $$2x + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$$，当 $$k=0$$ 时为 $$(-\frac{\pi}{12}, 0)$$，不匹配。
- B 选项：对称轴需满足 $$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$，当 $$k=0$$ 时为 $$x=\frac{\pi}{6}$$，正确。
- C 选项：函数在 $$[-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}]$$ 上先增后减，不符合单调递减。
- D 选项：函数在 $$[-\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}]$$ 上单调递增，正确。
但题目要求单选，最直接的是 B 选项，因此答案为 B。

4. 解析：化简函数 $$f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$。对称轴满足 $$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$$。当 $$k=0$$ 时为 $$x=\frac{\pi}{3}$$，正确答案是 C。

5. 解析：由题意，$$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0$$ 和 $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$$，代入函数得：
$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\omega + \phi\right) = 0$$ 和 $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\omega + \phi\right) = -1$$。
解得 $$\phi = \frac{\pi}{4}\omega - \frac{\pi}{2}$$，且 $$\omega$$ 为奇数。在区间 $$(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{24})$$ 单调，要求周期 $$T \geq \frac{\pi}{24} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{8}$$，即 $$\omega \leq 16$$。最大奇数为 9，验证 $$\omega=9$$ 满足单调性，正确答案是 D。

7. 解析：将 $$f(x) = \sin x$$ 横坐标缩短为一半得到 $$\sin 2x$$，再向右平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 得到 $$g(x) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$。单调递增区间为 $$2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$$，即 $$k\pi - \frac{\pi}{12} \leq x \leq k\pi + \frac{5\pi}{12}$$，正确答案是 B。

8. 解析：将 $$f(x) = 2\sin x$$ 左移 $$\frac{\pi}{6}$$ 得 $$2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$，再横坐标变为 2 倍得 $$g(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$$。
- A 选项：在 $$[\pi, 2\pi]$$ 上，$$g(x)$$ 的最大值为 $$2\sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -1$$，错误。
- B 选项：右移 $$\frac{\pi}{6}$$ 后为 $$2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$，关于原点对称，正确。
- C 选项：$$g\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \neq 0$$，错误。
- D 选项：导数 $$g'(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$$ 在 $$[0, \frac{2\pi}{3}]$$ 上为正，函数单调递增，正确。
正确答案是 B 和 D，但题目要求单选，可能是 B。

9. 解析：函数 $$f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) - 2m$$ 在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上有两个零点，即 $$2\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 2m$$ 有两解。$$2x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$$，因此 $$1 \leq 2m < 2$$，即 $$m \in [\frac{1}{2}, 1)$$，正确答案是 A。

10. 解析：平移后的函数为 $$y = \sin\left(2(x - \theta) + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2x - 2\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$。为偶函数，需 $$-2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\theta = -\frac{\pi}{8} - \frac{k\pi}{2}$$。最小正 $$\theta$$ 为 $$\frac{3\pi}{8}$$（当 $$k=-1$$），正确答案是 B。