函数y=A sin(ωx+φ)，其中（A≠0，ω≠0）的图象及性质-5.6 函数y=Asin(ωx+φ)知识点月考进阶选择题自测题答案-浙江省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1. 已知最小正周期为 $$T = \pi$$，由 $$T = \frac{{2\pi}}{{\omega}} = \pi$$ 得 $$\omega = 2$$。

平移后函数为 $$f(x - \frac{{\pi}}{{6}}) = 2\sin(2(x - \frac{{\pi}}{{6}}) + \varphi) = 2\sin(2x - \frac{{\pi}}{{3}} + \varphi)$$。

由题意，此函数为奇函数，即 $$f(x - \frac{{\pi}}{{6}})$$ 是奇函数，则 $$-\frac{{\pi}}{{3}} + \varphi = k\pi$$，取 $$k = 0$$ 得 $$\varphi = \frac{{\pi}}{{3}}$$（满足 $$|\varphi| < \frac{{\pi}}{{2}}$$）。

所以 $$f(x) = 2\sin(2x + \frac{{\pi}}{{3}})$$。

验证选项：

A. 当 $$x = \frac{{\pi}}{{3}}$$，$$2x + \frac{{\pi}}{{3}} = \pi$$，$$\sin\pi = 0$$，正确。

B. 当 $$x \in (-\frac{{\pi}}{{2}}, \frac{{\pi}}{{2}})$$，$$2x + \frac{{\pi}}{{3}} \in (-\frac{{2\pi}}{{3}}, \frac{{4\pi}}{{3}})$$，不单调，错误。

C. 当 $$x = \frac{{\pi}}{{6}}$$，$$2x + \frac{{\pi}}{{3}} = \frac{{2\pi}}{{3}}$$，非对称轴，错误。

D. 当 $$x = \frac{{\pi}}{{6}}$$，$$\sin\frac{{2\pi}}{{3}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}$$，非最大值，错误。

故选 A。

3. 化简函数：

$$f(x) = 2\sin\omega x \cdot \cos^2(\frac{{\omega x}}{{2}} - \frac{{\pi}}{{4}}) - \sin^2\omega x$$

利用公式 $$\cos^2\theta = \frac{{1 + \cos 2\theta}}{{2}}$$，令 $$\theta = \frac{{\omega x}}{{2}} - \frac{{\pi}}{{4}}$$，则

$$f(x) = 2\sin\omega x \cdot \frac{{1 + \cos(\omega x - \frac{{\pi}}{{2}})}}{{2}} - \sin^2\omega x = \sin\omega x (1 + \sin\omega x) - \sin^2\omega x = \sin\omega x$$。

所以 $$f(x) = \sin\omega x$$。

在区间 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}]$$ 上增函数，则需包含一个单调增区间，且长度足够。

单调增区间为 $$[-\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi, \frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi]$$。

取 $$k = 0$$，区间为 $$[-\frac{{\pi}}{{2}}, \frac{{\pi}}{{2}}]$$，需满足 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}] \subseteq [-\frac{{\pi}}{{2}}, \frac{{\pi}}{{2}}]$$，但 $$\frac{{5\pi}}{{6}} > \frac{{\pi}}{{2}}$$，不成立。

取 $$k = 1$$，区间为 $$[\frac{{3\pi}}{{2}}, \frac{{5\pi}}{{2}}]$$，超出给定区间。

故需调整周期，使增区间包含在给定区间内。实际上，需满足区间长度 $$\frac{{5\pi}}{{6}} - (-\frac{{2\pi}}{{5}}) = \frac{{25\pi + 12\pi}}{{30}} = \frac{{37\pi}}{{30}}$$ 大于半个周期 $$\frac{{\pi}}{{\omega}}$$，即 $$\frac{{\pi}}{{\omega}} < \frac{{37\pi}}{{30}}$$，得 $$\omega > \frac{{30}}{{37}}$$。

同时在 $$[0, \pi]$$ 上恰好取得一次最大值，即 $$\sin\omega x = 1$$ 在 $$[0, \pi]$$ 上恰有一解。

最大值点满足 $$\omega x = \frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi$$，即 $$x = \frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}$$。

在 $$[0, \pi]$$ 内恰有一个解，需满足：

当 $$k = 0$$，$$x = \frac{{\pi}}{{2\omega}} \in [0, \pi]$$ 恒成立，但需避免 $$k = -1$$ 或 $$k = 1$$ 的解也落入区间。

对于 $$k = -1$$，$$x = \frac{{\pi}}{{2\omega}} - \frac{{2\pi}}{{\omega}} = -\frac{{3\pi}}{{2\omega}} < 0$$，不落入。

对于 $$k = 1$$，$$x = \frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2\pi}}{{\omega}} = \frac{{5\pi}}{{2\omega}}$$，需满足 $$\frac{{5\pi}}{{2\omega}} > \pi$$ 或 $$\frac{{5\pi}}{{2\omega}} \leq 0$$（不可能），即 $$\frac{{5}}{{2\omega}} > 1$$，得 $$\omega < \frac{{5}}{{2}}$$。

同时，增区间条件需具体分析：单调增区间为 $$[-\frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}, \frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}]$$。

为使 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}]$$ 包含一个完整增区间，需存在整数 $$k$$ 使得该增区间被包含。

取 $$k = 0$$，增区间为 $$[-\frac{{\pi}}{{2\omega}}, \frac{{\pi}}{{2\omega}}]$$，需满足 $$-\frac{{\pi}}{{2\omega}} \geq -\frac{{2\pi}}{{5}}$$ 且 $$\frac{{\pi}}{{2\omega}} \leq \frac{{5\pi}}{{6}}$$。

由 $$-\frac{{\pi}}{{2\omega}} \geq -\frac{{2\pi}}{{5}}$$ 得 $$\frac{{1}}{{2\omega}} \leq \frac{{2}}{{5}}$$，即 $$\omega \geq \frac{{5}}{{4}}$$。

由 $$\frac{{\pi}}{{2\omega}} \leq \frac{{5\pi}}{{6}}$$ 得 $$\frac{{1}}{{2\omega}} \leq \frac{{5}}{{6}}$$，即 $$\omega \geq \frac{{3}}{{5}}$$。

所以 $$\omega \geq \frac{{5}}{{4}}$$。

结合 $$\omega < \frac{{5}}{{2}}$$，得 $$\omega \in [\frac{{5}}{{4}}, \frac{{5}}{{2}})$$。

但选项中没有此区间，需检查 $$k$$ 的取值。

若取 $$k = 1$$，增区间为 $$[\frac{{3\pi}}{{2\omega}}, \frac{{5\pi}}{{2\omega}}]$$，需包含于 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}]$$，但左端点 $$\frac{{3\pi}}{{2\omega}} > 0$$，而给定区间左端为负，不可能包含。

若取 $$k = -1$$，增区间为 $$[-\frac{{5\pi}}{{2\omega}}, -\frac{{3\pi}}{{2\omega}}]$$，右端为负，不可能包含。

故只有 $$k = 0$$ 可能，但所得区间与选项不符。重新审题："在区间 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}]$$ 上是增函数" 可能不要求包含完整增区间，而是该区间是某个增区间的子集。

即存在 $$k$$ 使得 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}] \subseteq [-\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi, \frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi]$$（角度除以 $$\omega$$ 前需调整）。

实际上，函数为 $$\sin\omega x$$，其增区间满足 $$\omega x \in [-\frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi, \frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi]$$，即 $$x \in [-\frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}, \frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}]$$。

需存在 $$k$$ 使得 $$[-\frac{{2\pi}}{{5}}, \frac{{5\pi}}{{6}}] \subseteq [-\frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}, \frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}]$$。

即 $$-\frac{{2\pi}}{{5}} \geq -\frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}$$ 且 $$\frac{{5\pi}}{{6}} \leq \frac{{\pi}}{{2\omega}} + \frac{{2k\pi}}{{\omega}}$$。

整理得：

$$\frac{{2k\pi}}{{\omega}} - \frac{{\pi}}{{2\omega}} \leq \frac{{2\pi}}{{5}}$$ 且 $$\frac{{2k\pi}}{{\omega}} + \frac{{\pi}}{{2\omega}} \geq \frac{{5\pi}}{{6}}$$。

解得：$$\frac{{4k - 1}}{{2\omega}} \leq \frac{{2}}{{5}}$$ 且 $$\frac{{4k + 1}}{{2\omega}} \geq \frac{{5}}{{6}}$$。

即 $$\omega \geq \frac{{5(4k - 1)}}{{4}}$$ 且 $$\omega \leq \frac{{3(4k + 1)}}{{5}}$$。

尝试 $$k = 0$$：$$\omega \geq -\frac{{5}}{{4}}$$（自动满足）且 $$\omega \leq \frac{{3}}{{5}}$$。

同时最大值条件：$$\omega < \frac{{5}}{{2}}$$，且 $$x = \frac{{\pi}}{{2\omega}} \in [0, \pi]$$ 为唯一最大值点，需 $$\frac{{5\pi}}{{2\omega}} > \pi$$，即 $$\omega < \frac{{5}}{{2}}$$，已满足。

但 $$\omega \leq \frac{{3}}{{5}}$$ 且 $$\omega > 0$$，得 $$\omega \in (0, \frac{{3}}{{5}}]$$，对应选项 A。

故选 A。

4. 曲线 $$\frac{{x^2}}{{4}} + y^2 = 1$$ 是椭圆，设 $$x = 2\cos\theta$$，$$y = \sin\theta$$。

则 $$x + 2y = 2\cos\theta + 2\sin\theta = 2(\cos\theta + \sin\theta) = 2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{{\pi}}{{4}})$$。

最大值为 $$2\sqrt{2}$$，当 $$\sin(\theta + \frac{{\pi}}{{4}}) = 1$$ 时取得。

故选 A。

5. 化简 $$f(x) = -2\sin^2\frac{{x}}{{2}} + \sin x + 1$$。

利用 $$\sin^2\frac{{x}}{{2}} = \frac{{1 - \cos x}}{{2}}$$，得 $$f(x) = -2 \cdot \frac{{1 - \cos x}}{{2}} + \sin x + 1 = -(1 - \cos x) + \sin x + 1 = \cos x + \sin x$$。

所以 $$f(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{{\pi}}{{4}})$$。

向右平移 $$\frac{{\pi}}{{3}}$$ 得 $$f(x - \frac{{\pi}}{{3}}) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{{\pi}}{{3}} + \frac{{\pi}}{{4}}) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{{\pi}}{{12}})$$。

横坐标缩短到原来的 $$\frac{{1}}{{2}}$$ 倍，即 $$x \to 2x$$，得 $$g(x) = \sqrt{2}\sin(2x - \frac{{\pi}}{{12}})$$。

对称轴满足 $$2x - \frac{{\pi}}{{12}} = \frac{{\pi}}{{2}} + k\pi$$，即 $$2x = \frac{{7\pi}}{{12}} + k\pi$$，$$x = \frac{{7\pi}}{{24}} + \frac{{k\pi}}{{2}}$$。

故选 A。

6. 先求 $$a$$：$$f(x) = \frac{{1}}{{x^2}} + x^2 + 2 \geq 2\sqrt{\frac{{1}}{{x^2}} \cdot x^2} + 2 = 4$$，当 $$x^2 = 1$$ 时取等，故 $$a = 4$$。

$$g(x) = \sin(\frac{{1}}{{a}}x + \frac{{\pi}}{{3}}) = \sin(\frac{{x}}{{4}} + \frac{{\pi}}{{3}})$$。

向左平移 $$\frac{{2\pi}}{{3}}$$ 得 $$h(x) = g(x + \frac{{2\pi}}{{3}}) = \sin(\frac{{x + \frac{{2\pi}}{{3}}}}{{4}} + \frac{{\pi}}{{3}}) = \sin(\frac{{x}}{{4}} + \frac{{\pi}}{{6}} + \frac{{\pi}}{{3}}) = \sin(\frac{{x}}{{4}} + \frac{{\pi}}{{2}}) = \cos\frac{{x}}{{4}}$$。

$$h(x) = \cos\frac{{x}}{{4}}$$ 是偶函数，故 A 错。

在 $$[-\pi, \pi]$$ 上，$$\frac{{x}}{{4}} \in [-\frac{{\pi}}{{4}}, \frac{{\pi}}{{4}}]$$，余弦函数在此区间单调递减，故 B 错。

关于点对称：若关于 $$(2\pi, 0)$$ 对称，则 $$h(2\pi + t) + h(2\pi - t) = 0$$。

$$h(2\pi + t) = \cos(\frac{{2\pi + t}}{{4}}) = \cos(\frac{{\pi}}{{2}} + \frac{{t}}{{4}}) = -\sin\frac{{t}}{{4}}$$。

$$h(2\pi - t) = \cos(\frac{{2\pi - t}}{{4}}) = \cos(\frac{{\pi}}{{2}} - \frac{{t}}{{4}}) = \sin\frac{{t}}{{4}}$$。

和为 0，故 C 正确。

关于直线 $$x = 2\pi$$ 对称需 $$h(2\pi + t) = h(2\pi - t)$$，但上述计算显示二者互为相反数，故 D 错。

故选 C。

8. $$y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{{\pi}}{{4}})$$。

给定函数 $$y = \sqrt{2}\sin(x - \frac{{\pi}}{{12}})$$。

需将后者变为前者：$$\sin(x - \frac{{\pi}}{{12}} + \phi) = \sin(x + \frac{{\pi}}{{4}})$$，即 $$-\frac{{\pi}}{{12}} + \phi = \frac{{\pi}}{{4}}$$，得 $$\phi = \frac{{\pi}}{{3}}$$。

故向左平移 $$\frac{{\pi}}{{3}}$$ 个单位。

故选 A。

9. $$f(x) = \sin(\omega x + \frac{{\pi}}{{3}})$$ 在 $$(0, 2]$$ 上恰有一个最大值 1 和一个最小值 -1。

即一个完整周期内恰有一个最大值和一个最小值，但区间长度 2 应大于半个周期且小于等于一个周期，或类似情况。

最大值点满足 $$\omega x + \frac{{\pi}}{{3}} = \frac{{\pi}}{{2}} + 2k\pi$$，最小值点满足 $$\omega x + \frac{{\pi}}{{3}} = \frac{{3\pi}}{{2}} + 2k\pi$$。

在 $$(0, 2]$$ 内恰各有一个，需考虑 $$k$$ 的取值。

设最大值点为 $$x_1 = \frac{{\frac{{\pi}}{{2}} - \frac{{\pi}}{{3}} + 2k\pi}}{{\omega}} = \frac{{\frac{{\pi}}{{6}} + 2k\pi}}{{\omega}}$$。

最小值点为 $$x_2 = \frac{{\frac{{3\pi}}{{2}} - \frac{{\pi}}{{3}} + 2k\pi}}{{\omega}} = \frac{{\frac{{7\pi}}{{6}} + 2k\pi}}{{\omega}}$$。

为使在 $$(0, 2]$$ 内恰有一个最大值和一个最小值，可取 $$k = 0$$，则 $$x_1 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}