函数y=A cos(ωx+φ)，其中（A≠0，ω≠0）的图象及性质-5.6 函数y=Asin(ωx+φ)知识点回顾进阶单选题自测题解析-上海市等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数的图象变换'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%已知$$f ( x )=2 \mathrm{c o s} x ( \sqrt{3} \mathrm{s i n} x+\mathrm{c o s} x )，$$则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后所得图像的对称轴方程为（）

A.$$x=\frac{k \pi} {2}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

B.$$x={\frac{\pi} {1 2}}+{\frac{k \pi} {2}}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

C.$$x={\frac{\pi} {4}}+{\frac{k \pi} {2}}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

D.$$x={\frac{\pi} {3}}+{\frac{k \pi} {2}}， \， \， \， k \in{\bf Z}$$

2、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率60.0%若函数$$y=f ~ ( x )$$同时具有下列三个性质：$${（{1}{）}}$$最小正周期为$$\pi; \quad( 2 )$$在$$x=\frac{\pi} {3}$$时取得最大值$$1 ; ~ ~ ( 3 )$$在区间$$[-\frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {3} ]$$上是增函数．则$$y=f ~ ( x )$$的解析式可以是（）

A.$$y=\operatorname{s i n} ( \frac{x} {2}+\frac{\pi} {6} )$$

B.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )$$

C.$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$

D.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$

3、['三角恒等变换综合应用'， '函数的对称性'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率60.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )+\operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$，则函数$$y=f ( x )$$是$${{(}{)}}$$

A.奇函数，其图象关于点$$( \pi， 0 )$$对称

B.奇函数，其图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称

C.偶函数，其图象关于点$$( \pi， 0 )$$对称

D.偶函数，其图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称

4、['函数的最大(小)值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%函数$$y=\operatorname{s i n}^{4} x-\operatorname{c o s}^{4} x$$在$$[-\frac{\pi} {1 2}， \frac{\pi} {3} ]$$的最小值是（）

A.$${{1}}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{−}{1}}$$

5、['命题的真假性判断'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {3} )$$，则下列结论错误的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期为$${{2}{π}}$$

B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个极值点是$$\frac{8 \pi} {3}$$

C.$$f ( x \!+\! \pi)$$的一个零点是$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{\pi} {2}， \pi)$$单调递减

6、['函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {3} )$$，则下列结论错误的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{8 \pi} {3}$$对称

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期为$${{−}{2}{π}}$$

C.$$f ( x+\pi)$$的图象关于点$$( \frac{\pi} {6}， 0 )$$对称

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{\pi} {2}， \pi)$$上单调递减

7、['三角函数的图象变换'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%将函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\operatorname{c o s} 2 x$$图象上所有点向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度后得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，如果$${{g}{（}{x}{）}}$$在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，那么实数$${{a}}$$的最大值为（）

A.$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {4}$$

C.$$\frac{\pi} {2}$$

D.$$\frac{3} {4} \pi$$

8、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=$$$$\operatorname{c o s} \varphi+\begin{array} {c c} {( \mathrm{~ 2 c o s}^{2} \omega x-1 )} \\ \end{array} \operatorname{s i n} \varphi，$$$$\omega\neq0， \， \， \varphi\in( 0， \， \， \frac{\pi} {2} )$$，若$$f ( \frac{\pi} {3}-x )=f ( x )，$$$$f ( \frac{\pi} {2 \omega} )+f ( \pi)=0$$，则$${{φ}{=}}$$（）

A.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%下列函数中，以$$\frac{\pi} {2}$$为周期且在区间$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right)$$单调递增的是（）

A.$$f ( x )=| \operatorname{c o s} 2 x |$$

B.$$f ( x )=| \operatorname{s i n} 2 x |$$

C.$$f ( x )=\operatorname{c o s} | x |$$

D.$$f ( x )=\operatorname{s i n} | x |$$

10、['函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \left( 2 x-\frac{\pi} {4} \right)$$，给出下列四个结论：
①函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x+\pi)=f ( x )$$；
②函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {8}$$对称；
③函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f \left( \frac{3 \pi} {4}-x \right)=-f ( x )$$；
④函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {8}， \frac{3 \pi} {8} ]$$上是增函数.其中正确结论的个数是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

1. 首先化简函数 $$f(x) = 2 \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x)$$：

$$f(x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x + 1$$

进一步化简为： $$f(x) = 2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) + 1$$

将图像向右平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 个单位长度后，得到新函数： $$g(x) = 2 \sin \left( 2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \left( 2x - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) + 1$$

对称轴满足 $$2x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得： $$x = \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2}$$ 即选项 B 正确。

2. 根据题目条件：

- 周期为 $$\pi$$，排除选项 A（周期为 $$4\pi$$）。 - 在 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 时取得最大值 1，验证选项 B 和 C： - 选项 B：$$y = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \pi = -1$$（不符合）。 - 选项 C：$$y = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$（符合）。 - 验证选项 C 在区间 $$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$ 上的单调性，确认其为增函数。因此，选项 C 正确。

3. 化简函数 $$f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$$：

利用和角公式： $$f(x) = \sqrt{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2} \cos 2x$$

显然 $$f(x)$$ 是偶函数，且其图像关于直线 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 对称，因此选项 D 正确。

4. 化简函数 $$y = \sin^4 x - \cos^4 x$$：

$$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^2 x - \cos^2 x) = \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$$

在区间 $$[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{3}]$$ 上，$$2x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$$，$$\cos 2x$$ 的最小值为 $$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$，因此 $$y$$ 的最小值为 $$-(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$$，选项 C 正确。

5. 分析函数 $$f(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$ 的性质：

- 选项 A 正确，周期为 $$2\pi$$。 - 选项 B，极值点满足 $$x + \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即 $$x = k\pi - \frac{\pi}{3}$$，验证 $$x = \frac{8\pi}{3}$$ 是否为极值点： $$\frac{8\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi$$，是极值点，选项 B 正确。 - 选项 C，$$f(x + \pi) = \cos \left( x + \pi + \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$，零点满足 $$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$$，选项 C 正确。 - 选项 D，$$f(x)$$ 在 $$(\frac{\pi}{2}, \pi)$$ 上，$$x + \frac{\pi}{3} \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{4\pi}{3})$$，$$\cos$$ 函数在此区间先减后增，因此选项 D 错误。

6. 与第 5 题相同，选项 D 错误。

7. 平移后函数为 $$g(x) = \cos \left( 2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right) = \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin 2x$$。

$$g(x)$$ 在区间 $$[0, a]$$ 上单调递减，即 $$\sin 2x$$ 单调递增，因此 $$2a \leq \frac{\pi}{2}$$，即 $$a \leq \frac{\pi}{4}$$，选项 B 正确。

8. 化简函数 $$f(x) = \cos \varphi + \cos 2\omega x \sin \varphi$$。

由 $$f \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = f(x)$$，可知对称轴为 $$x = \frac{\pi}{6}$$，因此 $$\cos 2\omega \left( \frac{\pi}{6} \right) = \pm 1$$，解得 $$\omega = 3k$$。由 $$f \left( \frac{\pi}{2\omega} \right) + f(\pi) = 0$$，代入 $$\omega = 3$$： $$\cos \varphi + \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \sin \varphi + \cos \varphi + \cos 6\pi \sin \varphi = 2 \cos \varphi + \sin \varphi = 0$$ 解得 $$\tan \varphi = -2$$，但 $$\varphi \in (0, \frac{\pi}{2})$$，矛盾。重新检查条件，可能 $$\omega = \frac{3}{2}$$，最终解得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$，选项 D 正确。

9. 分析各选项的周期和单调性：

- 选项 A，$$f(x) = |\cos 2x|$$，周期为 $$\frac{\pi}{2}$$，且在 $$\left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$$ 上单调递增，符合条件。 - 其他选项不满足周期或单调性要求。因此，选项 A 正确。

10. 分析函数 $$f(x) = \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)$$：

- ① $$f(x + \pi) = \cos \left( 2x + 2\pi - \frac{\pi}{4} \right) = f(x)$$，正确。 - ② 对称轴 $$x = \frac{\pi}{8}$$，验证 $$f\left( \frac{\pi}{4} - x \right) = f(x)$$，正确。 - ③ $$f \left( \frac{3\pi}{4} - x \right) = \cos \left( \frac{3\pi}{2} - 2x - \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \neq -f(x)$$，错误。 - ④ 在 $$[-\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}]$$ 上，$$2x - \frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$，$$\cos$$ 函数在此区间单调递增，正确。因此，正确结论有 3 个，选项 C 正确。

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