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正确率80.0%已知某扇形的面积和弧长的数值都是$${{2}{，}}$$则该扇形圆心角的弧度数为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
2、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率80.0%已知扇形面积为$${{8}}$$，扇形的圆心角为$${{2}{r}{a}{d}}$$，扇形的周长为$${{(}{)}}$$
A.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{2}}$$
3、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率40.0%已知一扇形的周长为$${{2}{0}{c}{m}}$$，当这个扇形的面积最大时，半径$${{R}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}{c}{m}}$$
B.$${{5}{c}{m}}$$
C.$${{6}{c}{m}}$$
D.$${{7}{c}{m}}$$
4、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率80.0%svg异常，非svg图片
B
A.$${{6}}$$平方米
B.$${{9}}$$平方米
C.$${{1}{2}}$$平方米
D.$${{1}{5}}$$平方米
5、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率40.0%
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》 $${{[}}$$ 三三 $${{]}{{:}{"}}}$$ 今有宛田 $${{;}}$$ 下周三十步，径十六步 $${{.}}$$ 问为田几何 $${{?}{"}}$$ 译成现代汉语，其意思为有一块扇形的田，弧长 $${{3}{0}}$$ 步，其所在圆的直径是 $${{1}{6}}$$ 步，问这块田的面积是多少 $${{(}}$$ 平方步 $${{)}{?}{(}{)}}$$
A
A.$${{1}{2}{0}}$$
B.$${{2}{4}{0}}$$
C.$${{3}{6}{0}}$$
D.$${{4}{8}{0}}$$
6、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率80.0%《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一$${{.}}$$其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积$$= \frac{1} {2} \cdot( \nparallel\times\ddag+\ddag\times\ddag)$$，弧田是由圆弧$${{(}}$$简称为弧田弧$${{)}}$$和以圆弧的两端为顶点的线段$${{(}}$$简称为弧田弦$${{)}}$$围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差$${{.}}$$现有一弧田，其弦长$${{A}{B}}$$等于$${{6}}$$米，其弧所在圆为圆$${{O}}$$，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为$$\frac{7} {2}$$平方米，则$$\operatorname{c o s} \angle A O B=( \it{\phi} )$$
A
A.$$\frac{7} {2 5}$$
B.$$\frac{3} {2 5}$$
C.$$\frac{1 2} {2 5}$$
D.$$\frac2 {2 5}$$
7、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率40.0%已知在扇形$${{A}{O}{B}}$$中，$$\angle A O B=4$$，弦$${{A}{B}}$$的长为$${{2}}$$，则该扇形的周长为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{4} {\operatorname{s i n} 1}$$
B.$$\frac{6} {\operatorname{s i n} 1}$$
C.$$\frac{4} {\operatorname{s i n} 2}$$
D.$$\frac6 {\operatorname{s i n} 2}$$
8、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率80.0%svg异常，非svg图片
A
A.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}+1} {4}$$
C.$$\sqrt{5}-2$$
D.$$\frac{\sqrt{2 \sqrt{5}-2}} {2}$$
9、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率80.0%已知一个扇形的周长为$${{8}}$$，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
10、['弧长公式及扇形面积公式的两种表示']正确率60.0%《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一$${{.}}$$其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积$$= {\frac{1} {2}} ($$弦$${{×}}$$矢$${{+}}$$矢$${{×}}$$矢$${{)}{.}}$$弧田是由圆弧$${{(}}$$弧田弧$${{)}}$$及圆弧两端点的弦$${{(}}$$弧田弦$${{)}}$$围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于$${{8}}$$米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为$${{1}{2}{8}}$$平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{6 0} {1 6 9}$$
B.$$\frac{1 2 0} {1 6 9}$$
C.$${\frac{1 1 9} {1 6 9}}$$
D.$$\frac{5 9} {1 6 9}$$
1. 已知扇形面积和弧长数值均为2，设圆心角为$$\theta$$，半径为$$r$$。
面积公式：$$S = \frac{1}{2} \theta r^2 = 2$$
弧长公式：$$L = \theta r = 2$$
联立方程：$$\frac{1}{2} \theta r^2 = \theta r$$
化简：$$\frac{1}{2} r = 1$$，得$$r = 2$$
代入弧长公式：$$\theta \times 2 = 2$$，得$$\theta = 1$$
答案：D.$$1$$
2. 已知扇形面积$$S = 8$$，圆心角$$\theta = 2$$ rad。
面积公式：$$S = \frac{1}{2} \theta r^2$$
代入：$$8 = \frac{1}{2} \times 2 \times r^2$$，得$$r^2 = 8$$，$$r = 2\sqrt{2}$$
弧长：$$L = \theta r = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$
周长：$$C = 2r + L = 2 \times 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$
答案：A.$$8\sqrt{2}$$
3. 扇形周长$$C = 2R + L = 20$$，其中$$L = \theta R$$。
面积$$S = \frac{1}{2} \theta R^2 = \frac{1}{2} L R$$
由周长得：$$L = 20 - 2R$$
代入面积：$$S = \frac{1}{2} R (20 - 2R) = 10R - R^2$$
求最大值：$$S = - (R^2 - 10R) = - [(R - 5)^2 - 25] = 25 - (R - 5)^2$$
当$$R = 5$$时，面积最大。
答案：B.$$5cm$$
4. 题目描述不完整，无法解析。
5. 弧长$$L = 30$$步，直径$$d = 16$$步，半径$$r = 8$$步。
由弧长公式：$$L = \theta r$$，得$$\theta = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$$
面积公式：$$S = \frac{1}{2} \theta r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{15}{4} \times 64 = \frac{1}{2} \times 15 \times 16 = 120$$
答案：A.$$120$$
6. 弦长$$AB = 6$$米，面积$$S = \frac{7}{2}$$平方米。
弧田面积公式：$$S = \frac{1}{2} (\text{弦} \times \text{矢} + \text{矢}^2)$$
设矢为$$h$$，则$$\frac{1}{2} (6h + h^2) = \frac{7}{2}$$
化简：$$6h + h^2 = 7$$，即$$h^2 + 6h - 7 = 0$$
解得$$h = 1$$（舍去负值）
设圆半径$$R$$，弦心距$$d = R - h = R - 1$$
由弦长公式：$$\frac{AB}{2} = 3 = R \sin \frac{\theta}{2}$$
且$$d = R \cos \frac{\theta}{2} = R - 1$$
$$\cos \angle AOB = \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$$
由$$R^2 = d^2 + 3^2$$得：$$R^2 = (R - 1)^2 + 9$$
展开：$$R^2 = R^2 - 2R + 1 + 9$$，得$$2R = 10$$，$$R = 5$$
则$$d = 4$$，$$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{d}{R} = \frac{4}{5}$$
$$\cos \theta = 2 \times (\frac{4}{5})^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}$$
答案：A.$$\frac{7}{25}$$
7. 圆心角$$\angle AOB = 4$$ rad，弦长$$AB = 2$$。
弦长公式：$$AB = 2R \sin \frac{\theta}{2} = 2R \sin 2$$
得$$R = \frac{1}{\sin 2}$$
弧长$$L = \theta R = 4 \times \frac{1}{\sin 2} = \frac{4}{\sin 2}$$
周长$$C = 2R + L = \frac{2}{\sin 2} + \frac{4}{\sin 2} = \frac{6}{\sin 2}$$
答案：D.$$\frac{6}{\sin 2}$$
8. 题目描述不完整，无法解析。
9. 扇形周长$$C = 2R + L = 8$$，其中$$L = \theta R$$。
面积$$S = \frac{1}{2} \theta R^2 = \frac{1}{2} L R$$
由周长得：$$L = 8 - 2R$$
代入面积：$$S = \frac{1}{2} R (8 - 2R) = 4R - R^2$$
求最大值：$$S = - (R^2 - 4R) = - [(R - 2)^2 - 4] = 4 - (R - 2)^2$$
当$$R = 2$$时面积最大，此时$$L = 8 - 4 = 4$$
圆心角$$\theta = \frac{L}{R} = \frac{4}{2} = 2$$ rad
答案：D.$$2$$
10. 矢长$$h = 8$$米，面积$$S = 128$$平方米。
弧田面积公式：$$S = \frac{1}{2} (\text{弦} \times h + h^2)$$
代入：$$128 = \frac{1}{2} (\text{弦} \times 8 + 64)$$
化简：$$256 = 8 \times \text{弦} + 64$$，得$$\text{弦} = \frac{192}{8} = 24$$米
设圆半径$$R$$，弦心距$$d = R - h = R - 8$$
由弦长公式：$$\frac{\text{弦}}{2} = 12 = R \sin \frac{\theta}{2}$$
且$$d = R \cos \frac{\theta}{2} = R - 8$$
由$$R^2 = d^2 + 12^2$$得：$$R^2 = (R - 8)^2 + 144$$
展开：$$R^2 = R^2 - 16R + 64 + 144$$，得$$16R = 208$$，$$R = 13$$
则$$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{12}{13}$$，$$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{5}{13}$$
$$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 2 \times \frac{12}{13} \times \frac{5}{13} = \frac{120}{169}$$
答案：B.$$\frac{120}{169}$$