三角函数值在各象限的符号-5.2 三角函数的概念知识点专题基础自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率62.0%

1、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \pi+\alpha) < ~ 0，$$且$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\alpha\right) < ~ 0，$$则$${{α}}$$是（）

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

2、['象限角'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%已知点$$P ( \operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha， \operatorname{t a n} \alpha)$$在第二象限，则$${{α}}$$在$$[ 0， 2 \pi]$$内的取值范围是（）

A.$$\left( \frac{\pi} {2}， \frac{3 \pi} {4} \right) \cup\left( \pi， \frac{5 \pi} {4} \right)$$

B.$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right) \cup\left( \pi， \frac{5 \pi} {4} \right)$$

C.$$\left( 0， \frac{\pi} {4} \right) \cup\left( \frac{5 \pi} {4}， \frac{3 \pi} {2} \right)$$

D.$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right) \cup\left( \frac{3 \pi} {4}， \pi\right)$$

3、['三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%化简$$\sqrt{\frac{1} {2}+\frac{1} {2} \sqrt{\frac{1} {2}+\frac{1} {2} \operatorname{c o s} 2 \alpha}}$$$$\left( \pi< \alpha< \frac{3 \pi} {2} \right)$$的结果为（）

A.$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}$$

B.$$- \operatorname{s i n} {\frac{\alpha} {2}}$$

C.$$\operatorname{c o s} \frac\alpha2$$

D.$$- \operatorname{c o s} \frac\alpha2$$

5、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '三角函数值在各象限的符号'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数']

正确率40.0%已知角$${{α}}$$的终边过点$$P ~ ( \textit{t，} ~-3 )$$，且$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{4} {5}，$$则$${{t}}$$的值是（）

A.$${{4}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{−}{3}}$$

6、['终边相同的角'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%给出下列各数值：$$\oplus~ \operatorname{s i n} (-1 0 0 0^{0} )， ~ \oplus~ \operatorname{c o s} (-2 2 0 0^{0} )， ~ \oplus~ \operatorname{t a n} 3 ; ~ \frac{\operatorname{s i n} \frac{7 \pi} {1 0} \mathrm{c o s} \， \pi} {\operatorname{t a n} \frac{1 7 \pi} {9}}$$.其中符号为负的是（）

A.$${①}$$

B.$${②}$$

C.$${③}$$

D.$${④}$$

7、['三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta\operatorname{c o s} \theta> 0，$$则$${{θ}}$$在（）

A.第一$${、}$$第二象限

B.第一$${、}$$第三象限

C.第一$${、}$$第四象限

D.第二$${、}$$第四象限

8、['余弦定理及其应用'， '三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a，$$，则$${{b}{=}{（}}$$）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{5}}$$

9、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%若角$${{α}}$$的终边不落在坐标轴上，且$$\operatorname{s i n} 2 a > 0，$$则

A.$$\operatorname{s i n} \alpha> 0$$

B.$$\operatorname{c o s} \alpha> 0$$

C.$$\operatorname{t a n} \alpha> 0$$

D.$$\operatorname{c o s} 2 \alpha> 0$$

10、['象限角'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%给出下列四种说法：①$$- \frac{3 \pi} {4}$$是第二象限角；②$$\frac{4 \pi} {3}$$是第三象限角；③$${{−}{{4}{0}{0}^{∘}}}$$是第四象限角；④$${{−}{{3}{1}{5}^{∘}}}$$是第一象限角.其中正确的说法有（）

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

1. 解析：

根据题意，$$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha < 0 $$，所以 $$ \sin \alpha > 0 $$。

又 $$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha < 0 $$。

综上，$$ \sin \alpha > 0 $$且$$ \cos \alpha < 0 $$，故$$ \alpha $$在第二象限。

正确答案：$$ \text{B} $$

2. 解析：

点$$ P(\sin \alpha - \cos \alpha, \tan \alpha) $$在第二象限，故$$ \sin \alpha - \cos \alpha < 0 $$且$$ \tan \alpha > 0 $$。

由$$ \tan \alpha > 0 $$，$$ \alpha $$在第一或第三象限。

由$$ \sin \alpha - \cos \alpha < 0 $$，即$$ \sin \alpha < \cos \alpha $$。

在第一象限，$$ \alpha \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right) $$；在第三象限，$$ \alpha \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right) $$。

正确答案：$$ \text{B} $$

3. 解析：

化简表达式：$$ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2\alpha}} $$。

利用半角公式，$$ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $$，代入得：

$$ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} |\cos \alpha|} $$。

由于$$ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $$，$$ \cos \alpha < 0 $$，故$$ |\cos \alpha| = -\cos \alpha $$。

进一步化简为：$$ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \alpha} = \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| $$。

由于$$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $$，$$ \sin \frac{\alpha}{2} > 0 $$，故结果为$$ \sin \frac{\alpha}{2} $$。

正确答案：$$ \text{A} $$

5. 解析：

角$$ \alpha $$的终边过点$$ P(t, -3) $$，且$$ \cos \alpha = \frac{4}{5} $$。

由定义，$$ \cos \alpha = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 9}} = \frac{4}{5} $$。

解得$$ t = 4 $$或$$ t = -4 $$。

由于$$ \sin \alpha = \frac{-3}{\sqrt{t^2 + 9}} < 0 $$，$$ \cos \alpha > 0 $$，故$$ \alpha $$在第四象限，$$ t > 0 $$。

正确答案：$$ \text{A} $$

6. 解析：

① $$ \sin(-1000^\circ) = -\sin(1000^\circ) $$，$$ 1000^\circ = 2 \times 360^\circ + 280^\circ $$，$$ 280^\circ $$在第四象限，$$ \sin(280^\circ) < 0 $$，故$$ \sin(-1000^\circ) > 0 $$。

② $$ \cos(-2200^\circ) = \cos(2200^\circ) $$，$$ 2200^\circ = 6 \times 360^\circ + 40^\circ $$，$$ \cos(40^\circ) > 0 $$。

③ $$ \tan 3 $$，$$ 3 \text{弧度} \approx 171.9^\circ $$在第二象限，$$ \tan 3 < 0 $$。

④ $$ \frac{\sin \frac{7\pi}{10} \cos \pi}{\tan \frac{17\pi}{9}} $$，$$ \frac{7\pi}{10} $$在第二象限，$$ \sin \frac{7\pi}{10} > 0 $$；$$ \cos \pi = -1 $$；$$ \frac{17\pi}{9} $$在第四象限，$$ \tan \frac{17\pi}{9} < 0 $$，故整体为负。

正确答案：$$ \text{D} $$

7. 解析：

$$ \sin \theta \cos \theta > 0 $$，即$$ \sin 2\theta > 0 $$。

故$$ 2\theta $$在第一或第二象限，$$ \theta $$在第一或第三象限。

正确答案：$$ \text{B} $$

8. 解析：

题目不完整，无法解答。

9. 解析：

$$ \sin 2\alpha > 0 $$，故$$ 2\alpha $$在第一或第二象限，$$ \alpha $$在第一或第三象限。

由于$$ \alpha $$的终边不落在坐标轴上，$$ \tan \alpha > 0 $$。

正确答案：$$ \text{C} $$

10. 解析：

① $$ -\frac{3\pi}{4} $$是第三象限角，错误。

② $$ \frac{4\pi}{3} $$是第三象限角，正确。

③ $$ -400^\circ $$等价于$$ 320^\circ $$，是第四象限角，正确。

④ $$ -315^\circ $$等价于$$ 45^\circ $$，是第一象限角，正确。

正确答案：$$ \text{C} $$

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