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正确率60.0%$$\operatorname{s i n}^{2} 1 5 0^{\circ}+\operatorname{s i n}^{2} 1 3 5^{\circ}+2 \mathrm{s i n} 2 1 0^{\circ}+\operatorname{c o s}^{2} 2 2 5^{\circ}$$的值是（）
A
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{1 1} {4}$$
D.$$\frac{9} {4}$$
2、['正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi) \; ( 0 < \varphi< \pi)$$，且$$f ( 0 )=1$$，则下列结论中
A
A.$$f ( \varphi)=2$$
B.$$( \frac{\pi} {6}， 0 )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个对称中心
C.$$\varphi=\frac{\pi} {3}$$
D.$$x=-\frac{\pi} {6}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴
3、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$( \mathrm{1-t a n^{2} \ 1 5^{\circ} \space)} \ \cos^{2} \ 1 5^{\circ}$$的值等于（）
C
A.$$\frac{1-\sqrt{3}} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
4、['利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} \frac{2} {3} \pi=($$）
D
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
5、['利用诱导公式求值'， '利用单位圆定义任意角的三角函数'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若点$$A ~ ( \textit{x}， \textit{y} )$$是$${{6}{0}{0}^{∘}}$$角终边上异于原点的一点，则$$\frac{y} {x}$$的值是（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
6、['两角和与差的余弦公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%化简式子$$\operatorname{c o s} 4 2^{\circ} \operatorname{c o s} 1 2^{\circ}+\operatorname{s i n} 4 2^{\circ} \operatorname{s i n} 1 2^{\circ}$$的值是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['正切（型）函数的周期性'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%函数$$f ~ ( \sb\mathrm{~ x ~} ) ~=\operatorname{t a n} \omega x ~ ( \mathrm{~ \omega~} > 0 )$$图象的相邻两支被直线$${{y}{=}{1}}$$截得的线段长为$$\frac{\pi} {2}，$$则$$f ( \frac{\pi} {3} )$$的值是（）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
8、['利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} \! \left(-\frac{\overline{{\pi}}} {3} \right)=\langle$$）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
9、['必要不充分条件'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{\epsilon s i n} x=\frac{1} {2}^{，，}$$是$$\omega x=\frac{\pi} {6}，$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%角$${{θ}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴非负半轴重合，终边在直线$${{y}{=}{2}{x}}$$上，则$$\operatorname{t a n} 2 \theta=\c($$）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
1. 计算 $$ \sin^2 150^\circ + \sin^2 135^\circ + 2 \sin 210^\circ + \cos^2 225^\circ $$ 的值：
步骤解析：
$$ \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$
$$ \sin^2 150^\circ = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $$
$$ \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \sin^2 135^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
$$ \sin 210^\circ = \sin (180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} $$
$$ 2 \sin 210^\circ = 2 \times \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 $$
$$ \cos 225^\circ = \cos (180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \cos^2 225^\circ = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
将所有部分相加：
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + (-1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $$
答案为 $$ \boxed{A} $$。
2. 已知函数 $$ f(x) = 2 \sin (2x + \varphi) $$，且 $$ f(0) = 1 $$，判断选项：
步骤解析：
由 $$ f(0) = 2 \sin \varphi = 1 $$，得 $$ \sin \varphi = \frac{1}{2} $$。
因为 $$ 0 < \varphi < \pi $$，所以 $$ \varphi = \frac{\pi}{6} $$ 或 $$ \varphi = \frac{5\pi}{6} $$。
验证选项：
A. 若 $$ \varphi = \frac{\pi}{6} $$，则 $$ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 $$，正确。
B. 检查对称中心：若 $$ \varphi = \frac{\pi}{6} $$，$$ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 0 $$ 不成立，错误。
C. $$ \varphi $$ 可能是 $$ \frac{\pi}{6} $$ 或 $$ \frac{5\pi}{6} $$，不唯一，错误。
D. 若 $$ \varphi = \frac{\pi}{6} $$，检查对称轴：$$ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -1 $$，不是极值点，错误。
答案为 $$ \boxed{A} $$。
3. 计算 $$ (1 - \tan^2 15^\circ) \cos^2 15^\circ $$ 的值：
步骤解析：
利用 $$ \tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} $$，则 $$ \tan^2 15^\circ = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3} $$。
$$ 1 - \tan^2 15^\circ = 1 - (7 - 4\sqrt{3}) = -6 + 4\sqrt{3} $$。
$$ \cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} $$。
相乘：
$$ (-6 + 4\sqrt{3}) \times \frac{2 + \sqrt{3}}{4} = \frac{(-6)(2) + (-6)(\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})(2) + (4\sqrt{3})(\sqrt{3})}{4} $$
$$ = \frac{-12 - 6\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 12}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
答案为 $$ \boxed{C} $$。
4. 计算 $$ \sin \frac{2\pi}{3} $$ 的值：
步骤解析：
$$ \frac{2\pi}{3} = 120^\circ $$，位于第二象限，正弦为正。
$$ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
答案为 $$ \boxed{D} $$。
5. 点 $$ A(x, y) $$ 在 $$ 600^\circ $$ 角终边上，求 $$ \frac{y}{x} $$ 的值：
步骤解析：
$$ 600^\circ = 360^\circ + 240^\circ $$，终边与 $$ 240^\circ $$ 相同。
$$ 240^\circ $$ 在第三象限，$$ \tan 240^\circ = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $$。
但 $$ 240^\circ $$ 的 $$ y $$ 和 $$ x $$ 均为负，故 $$ \frac{y}{x} = \tan 240^\circ = \sqrt{3} $$。
答案为 $$ \boxed{C} $$。
6. 化简 $$ \cos 42^\circ \cos 12^\circ + \sin 42^\circ \sin 12^\circ $$：
步骤解析：
利用余弦差公式：
$$ \cos (42^\circ - 12^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
答案为 $$ \boxed{B} $$。
7. 函数 $$ f(x) = \tan \omega x $$ 的相邻两支被 $$ y = 1 $$ 截得的线段长为 $$ \frac{\pi}{2} $$，求 $$ f\left( \frac{\pi}{3} \right) $$：
步骤解析：
正切函数的周期为 $$ \frac{\pi}{\omega} $$，相邻两支截线段长为周期长度。
故 $$ \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{2} $$，得 $$ \omega = 2 $$。
$$ f(x) = \tan 2x $$，则 $$ f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \tan \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} $$。
答案为 $$ \boxed{B} $$。
8. 计算 $$ \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) $$ 的值：
步骤解析：
正弦函数为奇函数，$$ \sin (-\theta) = -\sin \theta $$。
$$ \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$。
答案为 $$ \boxed{B} $$。
9. 判断 "$$ \sin x = \frac{1}{2} $$" 是 "$$ x = \frac{\pi}{6} $$" 的条件：
步骤解析：
$$ \sin x = \frac{1}{2} $$ 的解为 $$ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi $$ 或 $$ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $$（$$ k \in \mathbb{Z} $$）。
因此，$$ \sin x = \frac{1}{2} $$ 是 $$ x = \frac{\pi}{6} $$ 的必要不充分条件。
答案为 $$ \boxed{B} $$。
10. 角 $$ \theta $$ 终边在直线 $$ y = 2x $$ 上，求 $$ \tan 2\theta $$：
步骤解析：
$$ \tan \theta = 2 $$，利用倍角公式：
$$ \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2 \times 2}{1 - 4} = -\frac{4}{3} $$。
答案为 $$ \boxed{D} $$。