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正确率60.0%已知$${{α}}$$是锐角，$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{3} {4}， \mathrm{~ s i n} \alpha\right)， \ \overrightarrow{b}=\left( \frac{\sqrt{3}} {4}， \mathrm{~ c o s} \alpha\right)，$$且$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{α}}$$的值为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$或$${{6}{0}^{∘}}$$
2、['利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{c}{o}{s}{{4}{0}^{∘}}{+}{{c}{o}{s}}{{6}{0}^{∘}}{+}{{c}{o}{s}}{{8}{0}^{∘}}{+}{{c}{o}{s}}{{1}{6}{0}^{∘}}{=}}$$
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{c o s} \frac{2 0 1 8 \pi} {3}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
4、['两点间的斜率公式'， '两条直线垂直'， '特殊角的三角函数值'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%已知经过$${{A}{{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}}{，}{B}{{(}{4}{，}{0}{)}}}$$两点的直线$${{A}{B}}$$与直线$${{l}}$$垂直，则直线$${{l}}$$的倾斜角是
A
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
5、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%计算$$\operatorname{s i n} \frac\pi{1 2} \operatorname{c o s} \frac\pi{1 2}$$的值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
6、['余弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$三边的长，若满足等式$${{(}{a}{+}{b}{−}{c}{)}{(}{a}{+}{b}{+}{c}{)}{=}{a}{b}}$$，则$${{C}{=}}$$（）
A
A.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
7、['在给定区间上恒成立问题'， '导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '导数与最值'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知函数$$f \left( \， x \， \right) \ =\cos\ ( \， {\frac{2 \pi} {3}} x \， ) \ +\ ( \， a-1 \， ) \ \sin\ ( \， {\frac{\pi} {3}} x \， \Bigr) \ +a. \ g \ ( \， x \， \Bigr) \ =3^{x}-x$$，若$${{f}{（}{g}{（}{x}{）}{）}{⩽}{0}}$$对任意的$${{x}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${（{−}{∞}{，}{\sqrt {3}}{−}{1}{]}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{0}{]}}$$
C.$${{[}{0}{，}{\sqrt {3}}{−}{1}{]}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{1}{−}{\sqrt {3}}{]}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '等差中项'， '等比数列的通项公式'， '等比中项'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列，若$${{a}_{4}{⋅}{{a}_{8}}{⋅}{{a}_{9}}{=}{−}{3}{\sqrt {3}}{，}{{b}_{4}}{+}{{b}_{8}}{+}{{b}_{9}}{=}{5}{π}}$$，则$$\operatorname{t a n} \frac{b_{4}+b_{1 0}} {a_{3} \cdot a_{1 1}-1}=\c($$$${）}$$
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
9、['特殊角的三角函数值'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%已知直线$${{l}{：}{y}{=}{−}{\sqrt {3}}{x}}$$，则直线$${{l}}$$的倾斜角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
1. 由于向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 平行，存在实数 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b}$$，即：
$$\frac{3}{4} = k \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$$ 和 $$\sin \alpha = k \cos \alpha$$
解得 $$k = \sqrt{3}$$，代入第二式得 $$\sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha$$，即 $$\tan \alpha = \sqrt{3}$$。
因为 $$\alpha$$ 是锐角，所以 $$\alpha = 60^\circ$$，答案为 C。
2. 利用余弦函数的性质：
$$\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$$，$$\cos 80^\circ = \cos 80^\circ$$，$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$，$$\cos 40^\circ = \cos 40^\circ$$。
原式化简为 $$\cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos 80^\circ - \cos 20^\circ$$。
利用和差化积公式，进一步化简可得结果为 $$\frac{1}{2}$$，答案为 D。
3. 计算 $$\cos \frac{2018\pi}{3}$$：
先化简角度：$$\frac{2018\pi}{3} = 672\pi + \frac{2\pi}{3}$$。
因为 $$\cos$$ 函数的周期为 $$2\pi$$，所以 $$\cos \left(672\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$。
答案为 A。
4. 直线 $$AB$$ 的斜率 $$k_{AB} = \frac{0 - \sqrt{3}}{4 - 1} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
与之垂直的直线 $$l$$ 的斜率 $$k_l = \sqrt{3}$$。
因此，直线 $$l$$ 的倾斜角为 $$60^\circ$$，答案为 B。
5. 利用二倍角公式：
$$\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{4}$$。
答案为 C。
6. 展开等式 $$(a + b - c)(a + b + c) = ab$$：
$$(a + b)^2 - c^2 = ab$$，即 $$a^2 + b^2 - c^2 = -ab$$。
根据余弦定理，$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$$。
因此，$$C = 120^\circ$$，答案为 A。
7. 分析函数 $$g(x) = 3^x - x$$ 在 $$x \in [0, 1]$$ 的值域为 $$[g(0), g(1)] = [1, 2]$$。
问题转化为 $$f(y) \leq 0$$ 对所有 $$y \in [1, 2]$$ 成立。
设 $$f(y) = \cos \left(\frac{2\pi}{3} y\right) + (a - 1) \sin \left(\frac{\pi}{3} y\right) + a \leq 0$$。
通过分析 $$f(y)$$ 在 $$[1, 2]$$ 的极值，可得 $$a \leq 0$$，答案为 B。
8. 设等比数列 $$\{a_n\}$$ 的公比为 $$q$$，等差数列 $$\{b_n\}$$ 的公差为 $$d$$。
由 $$a_4 \cdot a_8 \cdot a_9 = -3\sqrt{3}$$，解得 $$a_7 = -\sqrt{3}$$。
由 $$b_4 + b_8 + b_9 = 5\pi$$，解得 $$b_7 = \frac{5\pi}{3}$$。
所求表达式为 $$\tan \frac{b_4 + b_{10}}{a_3 \cdot a_{11} - 1} = \tan \frac{2b_7}{a_7^2 - 1} = \tan \frac{\frac{10\pi}{3}}{3 - 1} = \tan \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}$$。
答案为 A。
9. 直线 $$l: y = -\sqrt{3}x$$ 的斜率 $$k = -\sqrt{3}$$。
倾斜角 $$\theta$$ 满足 $$\tan \theta = -\sqrt{3}$$，因此 $$\theta = 120^\circ$$。
答案为 C。